一，

平面向量的概念和內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)必修課的一個重點，進(jìn)入大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)后，往往還會接觸一門課程《空間解析幾何》，這門課程的一大主題是空間向量。我發(fā)現(xiàn)不論是中學(xué)教材講平面向量，還是大學(xué)教材講空間向量，都是開宗明義地強(qiáng)調(diào)，向量和數(shù)量不一樣，數(shù)量只有大小，沒有方向，而向量既有大小(長度)，又有方向。

其實，強(qiáng)調(diào)向量和數(shù)量的不同是沒有問題的。但更應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是，向量和數(shù)量，在概念上的延續(xù)性！

二，

我們可以有平面(二維空間上的)向量，可以有空間(三維空間上的)向量，為什么不可以有一維空間上的向量，就是數(shù)軸直線上的向量呢？

想象一下，如果人類只生活在二維空間中，雖然二維空間比我們現(xiàn)在生活的空間要單調(diào)多了，已經(jīng)不能跳躍了，但二維空間中還是可以有很多方向可走，比如東南西北方向，東偏南30度方向等等。

再想象一下，如果人類只生活在一維空間中，那就更單調(diào)了，只能左右移動，注意這時我們根本無法想象其他方向。

也就是說，在一維空間(數(shù)軸直線)上，我們只有兩種方向：左和右。

雖然方向只有兩個，很少，但是，只要有方向，生活在一維空間中的我們也可以談向量。這種向量方向始終是沿著數(shù)軸的方向，如果我們讓向量的起點與數(shù)軸原點重合，那么向量的終點就會對應(yīng)于數(shù)軸上的一個點

三

這樣，一維向量，和數(shù)軸上的點，和實數(shù)，就建立起了一一對應(yīng)的關(guān)系，方向為右的一維向量對應(yīng)正實數(shù)，方向為左的一維向量對應(yīng)負(fù)實數(shù)，零向量對應(yīng)于0這個數(shù)。接下來我們按這種方式把全體一維向量和全體實數(shù)等同起來。所以，實數(shù)就是一維向量，實數(shù)的符號就是它的方向，實數(shù)的絕對值就是它的長度?？梢哉f向量就是數(shù)量的推廣。

我們也可以用首尾相接的方法定義一維向量的加法，這時一維向量的加法正好對應(yīng)于實數(shù)的加法。我們再來看看平面向量內(nèi)積的定義，

兩個向量的內(nèi)積是定義為一個數(shù)，等于兩個向量的長度乘以夾角余弦：

對于兩個一維向量，或者兩個實數(shù)而言，他們的夾角，只能是0度(方向或者符號相同時)或者180度(方向或者符號相反時)。所以兩個一維向量的內(nèi)積，絕對值等于長度的乘積，方向相同時符號為正，相反時，符號為負(fù)。注意，這實質(zhì)上就是實數(shù)的乘法，和眾所周知的負(fù)負(fù)得正(參見相關(guān)文章《【通俗數(shù)學(xué)】負(fù)數(shù)介紹——為什么負(fù)負(fù)得正？》)。

類似地，數(shù)和向量之間還有數(shù)乘運算。一個正數(shù)a乘以一個向量后，得到一個方向不變，大小(長度)變?yōu)樵瓉淼腶倍的新向量。—1乘以一個向量后，得到一個大小(長度)，方向相反的新向量。在一維向量的情況中，這也正是對應(yīng)著實數(shù)的乘法和負(fù)負(fù)得正的法則。所以在一維向量中，數(shù)乘運算和內(nèi)積運算實質(zhì)上是一樣的，都對應(yīng)于實數(shù)的乘法。

四，

所以，初中學(xué)的實數(shù)，數(shù)軸，實數(shù)加法乘法，交換律，結(jié)合律，分配律，和高中學(xué)的平面向量，大學(xué)學(xué)的空間向量，向量加法，數(shù)乘，內(nèi)積，交換律，結(jié)合律，分配律其實是完全一脈相承的，許多關(guān)于向量的知識點，都有一維，二維，三維的版本，形式上應(yīng)該完全相似。再舉個例子說明，比如由空間向量知識導(dǎo)出的空間兩點距離公式是

平面上兩點的距離公式是

而初中學(xué)的數(shù)軸上兩點距離公式卻是，

此時，這個公式應(yīng)該寫成

這樣就可以和上面兩個距離公式形成完美的類比。

四，

從實數(shù)及其加減乘除運算，到平面向量，空間向量及其運算，從一維，到二維到三維，是一脈相承的。但三維不應(yīng)該成為我們的終點，向量，加法，數(shù)乘，內(nèi)積運算，兩點距離公式完全可以延伸到四維，五維，任意有限維空間，稱為向量空間。這種延伸已經(jīng)從初等數(shù)學(xué)跨越到了高等數(shù)學(xué)，相關(guān)的數(shù)學(xué)課程是大學(xué)里的《高等代數(shù)》和《線性代數(shù)》。還可以繼續(xù)從有限維向量空間延伸到無限維向量空間，相關(guān)的數(shù)學(xué)課程是數(shù)學(xué)專業(yè)高年級開設(shè)的《泛函分析》?！斗汉治觥愤@樣的課程內(nèi)容即使對于許多數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，也是非常抽象，深刻的。但是無論延伸到多么抽象，多么深刻的現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，起點都是簡單的實數(shù)加減乘除。

很多人可能覺得一維向量的情況非常簡單，沒必要強(qiáng)調(diào)。我認(rèn)為恰恰是因為非常簡單，所以容易被忽視。怎么說呢？一個“正統(tǒng)”的數(shù)學(xué)理論，往往是不受維數(shù)限制的，可以推廣到任意高維。但是在推廣到高維之前，不妨先將其在一二三維的情況徹底搞清楚，它可以被推廣到高維的一個先決條件是，它可以推廣到一維。