“我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)很忌諱不講發(fā)明，只講證明；不講道理，只講定理。所以我希望數(shù)學(xué)文化發(fā)生改變，變成講道理的學(xué)問，變成講發(fā)明的科學(xué)?！?/p>

林群

中國科學(xué)院院士

聊聊各個(gè)階段的數(shù)學(xué)

林群：各位聽眾，今天很有幸能跟各位談?wù)撘稽c(diǎn)有關(guān)數(shù)學(xué)的事情。

數(shù)學(xué)知識(shí)太多了，我們不可能統(tǒng)統(tǒng)掌握，所以只能在眾多的數(shù)學(xué)分支里面，挑選那些最重要的進(jìn)行學(xué)習(xí)。

什么是最重要的呢？比如說我們小學(xué)學(xué)的算術(shù)，那是人類幾萬年智慧的結(jié)晶。小學(xué)念完念中學(xué)，中學(xué)是簡單的代數(shù)，也相當(dāng)于算術(shù)的發(fā)展，還有一些初等的幾何學(xué)，這是人類幾千年的智慧結(jié)晶，所以我們要學(xué)。

中學(xué)念完念大學(xué)，大學(xué)學(xué)什么呢？大學(xué)主要學(xué)微積分和線性代數(shù)，這個(gè)是人類幾百年探索的結(jié)果。

總而言之，人類留下的財(cái)富需要我們站在巨人的肩膀上來吃透它，消化它。所以我們必須學(xué)習(xí)，否則就要回到黑暗中重新探討，那太可怕了。

我想引用哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)系教授邱成桐的講話。聽說他經(jīng)常告誡學(xué)生，“要學(xué)好微積分和線性代數(shù)，歸根結(jié)底一切高級(jí)的數(shù)學(xué)都是微積分和線性代數(shù)的各種變化。”

所以，我們學(xué)習(xí)必須有重點(diǎn)，不能夠鋪開學(xué)，太多了，反而學(xué)不好。“多則少”，你想學(xué)很多，你得到很少；反過來“少則多”，如果你學(xué)得很少，比如你就學(xué)一點(diǎn)小學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)一點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)，再學(xué)一點(diǎn)大學(xué)數(shù)學(xué)，大學(xué)數(shù)學(xué)就是指微積分和線性代數(shù)，這些學(xué)習(xí)內(nèi)容對(duì)我們的一生都是非常有助益的。

我再重復(fù)一遍，多則少！大家不要什么都學(xué)，不要學(xué)得很多，也不要做很多?，F(xiàn)在有各種活動(dòng)吸引我們，但是我覺得對(duì)于學(xué)習(xí)來說，這些只能起到輔助的作用。

最重要的還是在課堂上學(xué)習(xí)，把正課學(xué)好。把小學(xué)的數(shù)學(xué)，最簡單的算術(shù)學(xué)好，把中學(xué)數(shù)學(xué)最簡單的代數(shù)和幾何學(xué)好，把大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)好，就是把微積分和線性代數(shù)學(xué)好，這是最重要的。

然后，在接下來的工作中再發(fā)展，繼續(xù)學(xué)習(xí)，因?yàn)閷W(xué)無止境。這是第一點(diǎn)意見，供各位家長和學(xué)生參考。

怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

怎么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)呢？數(shù)學(xué)太難了，我是最怕數(shù)學(xué)的，我們一家人都怕數(shù)學(xué)，我認(rèn)識(shí)很多朋友，包括各種各樣工作場合，都最怕數(shù)學(xué)。

所以數(shù)學(xué)怎么學(xué)，是我很苦惱的問題。我是經(jīng)常在心里面思考這個(gè)問題的。

剛才我說了，邱成桐先生認(rèn)為，微積分是一切高級(jí)數(shù)學(xué)的基本功。但是，微積分怎么學(xué)呢？你翻開一本教課書，講解微積分要用好幾百頁。

我從50年前就開始學(xué)微積分了，但是看一些教課書，我看得暈頭轉(zhuǎn)向，講的內(nèi)容太多了。

許多教科書很煩瑣，大家要警惕。所以我們要把微積分學(xué)好，不是讀萬卷書，不是走萬里路，而是盡量“投機(jī)取巧”。

我認(rèn)為學(xué)微積分跟學(xué)別的數(shù)學(xué)一樣，“假傳萬卷書，真?zhèn)饕话咐保?/strong>把一個(gè)案例學(xué)好，你就把整個(gè)微積分的精神掌握了。

學(xué)習(xí)微積分用什么案例呢？應(yīng)該用我們平常生活里經(jīng)常見到、經(jīng)常用到的案例。

比如我們經(jīng)常坐高鐵，高鐵車廂里頭有一個(gè)標(biāo)志顯示當(dāng)前的時(shí)速是多少，也就是一小時(shí)走多遠(yuǎn)。速度就是路程除以時(shí)間。

我們經(jīng)過天津站的時(shí)候，就顯示時(shí)速多少，經(jīng)過大連站時(shí)也會(huì)顯示時(shí)速多少。時(shí)速是什么意思呢？就是指某一時(shí)刻的速度，某一時(shí)刻的速度是什么意思？

你看，那個(gè)時(shí)刻不動(dòng)，時(shí)間等于零，沒有時(shí)間，火車不能運(yùn)行，所謂當(dāng)時(shí)的速度，你仔細(xì)想想，是一個(gè)0除以0的問題，沒有時(shí)間，就沒有路程。那么路程比時(shí)間，速度就是0比0。0比0的問題是很嚴(yán)重的，使得牛頓這樣的大物理學(xué)家都覺得傷腦筋。

但是牛頓很聰明，他想出了辦法計(jì)算瞬時(shí)速度。他設(shè)想，火車在很短的時(shí)間里，走過很短的距離，因?yàn)闀r(shí)間很短，火車沒有時(shí)間加速，所以它的瞬時(shí)速度應(yīng)該是可以這么計(jì)算的，把它變換成一個(gè)在很短的時(shí)間里面走過的很短路程。

微積分說明書

大家好好想想看，時(shí)間很短，火車沒有時(shí)間加速，所以，速度只有很小的變化，用這個(gè)辦法來計(jì)算，我這里寫的，小路程，由x點(diǎn)跑到x+h點(diǎn)，很短的時(shí)間內(nèi)，瞬時(shí)速度變化很小，因?yàn)闆]有時(shí)間變化，時(shí)間太短了，瞬時(shí)速度很小。

瞬時(shí)速度+小變化，再乘以短時(shí)間，小路程是這么算出來的，小路程是瞬時(shí)速度+小變化，然后再乘以短時(shí)間。把它分開，小學(xué)的算術(shù)學(xué)過了，（A+B）×C=A×C+B×C，瞬時(shí)速度×短時(shí)間+小變化×短時(shí)間，時(shí)間縮短以后，小變化就很小，基本上被消滅掉。

全路程就是小路程加起來，小路程加起來是什么意思呢？就是瞬時(shí)速度×短時(shí)間，加起來，再加上小變化×短時(shí)間，短時(shí)間加起就是總時(shí)間。

比如說北京到上海是一小時(shí)，一小時(shí)就是總時(shí)間?？倳r(shí)間是固定的，比如說一小時(shí)，總時(shí)間乘以小變化還是很小，因?yàn)闀r(shí)間是固定的，時(shí)間不變，就是一小時(shí)，乘以小變化，還是小變化。

總而言之，全路程是瞬時(shí)速度乘以短時(shí)間相加，再加上小變化乘以總時(shí)間，小變化乘總時(shí)間還是小變化，因?yàn)榭倳r(shí)間是固定的。

比如說一小時(shí)，小變化乘一小時(shí)，還是小變化。通常是這樣，如果瞬時(shí)速度不斷走，短時(shí)間加起來，積累得很多，就是積分了。這個(gè)是等于把小學(xué)、中學(xué)的數(shù)學(xué)，到大學(xué)換了一個(gè)名詞。

小學(xué)的數(shù)學(xué)跟大學(xué)的數(shù)學(xué)、初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)，本質(zhì)的區(qū)別不大，但是要換一個(gè)稱呼，把原來的相加變成積分了。

這樣的話，就變成一個(gè)速度×?xí)r間的積分，然后加上小變化×總時(shí)間。如果時(shí)間不斷縮短，小變化就沒有了，整個(gè)就是速度×?xí)r間的積分，也就是路程是速度×?xí)r間的積分。這樣子就是大學(xué)微積分的制高點(diǎn)了，有了這個(gè)制高點(diǎn)就好辦了。

以火車的瞬時(shí)速度為案例講這么多，是希望把整個(gè)微積分展開在你面前，面對(duì)案例要認(rèn)真分析，認(rèn)真思考，看以下附錄。

從小朋友到年齡大一點(diǎn)的人，都應(yīng)該把瞬時(shí)速度作為我們的思考題，在某一時(shí)刻，火車的速度究竟是多少？某一時(shí)刻，時(shí)間沒有變化，速度等于路程除以時(shí)間，某一時(shí)刻，如果時(shí)間沒有變化，路程還是那個(gè)路程，所以速度應(yīng)該是0比0。

但是牛頓很聰明，把這個(gè)問題變通了，最后變成瞬時(shí)速度+小變化，再乘以短時(shí)間，后面的演算是比較簡單的，這樣微積分就掌握了。

我強(qiáng)調(diào)一下，“假傳萬卷書，真?zhèn)饕话咐保?/strong>所以我們要找真?zhèn)?，不要讀很多書。很多人認(rèn)為應(yīng)該“走萬里路，讀萬卷書”。

我的經(jīng)驗(yàn)不是這樣的，因?yàn)槲沂呛鼙康娜?，我讀書讀得很慢，不可能讀萬卷書。我讀一本書就滿頭大汗，讀幾年都讀不懂，最后才發(fā)現(xiàn)上當(dāng)了，原來真?zhèn)髦挥幸粋€(gè)案例。今天要講的就是從哲學(xué)的角度來講學(xué)習(xí)方法，你們要記?。杭賯魅f卷書，真?zhèn)饕话咐?/p>

我想再說一說，我們現(xiàn)在教科書有很大的問題。容許我批評(píng)一點(diǎn)，我們的教科書把簡單的東西講得很復(fù)雜。能夠通過一個(gè)案例說清楚的，不講案例，卻講怎么證明，怎么推導(dǎo)定理，這就是假話。

事實(shí)上，證明是靠發(fā)明的，定理是靠道理的，所以我們首先應(yīng)該給學(xué)生講道理，講發(fā)明，而不是講定理，講證明。

當(dāng)我們把道理弄清楚了，多數(shù)情況下證明自動(dòng)就弄清楚了。比如說剛才講的微積分，把火車瞬時(shí)速度的案例搞清楚，證明兩行、三行，最多四行就出來了。

現(xiàn)在書上不講道理，現(xiàn)在的教科書證明剛才這樣的一個(gè)定理就是一本書。我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)很忌諱“不講發(fā)明，只講證明；不講道理，只講定理”。

所以我希望數(shù)學(xué)文化發(fā)生改變，變成講道理的學(xué)問，變成講發(fā)明的科學(xué)。

其實(shí)據(jù)介紹說，牛頓是三一學(xué)院里的平凡學(xué)生，當(dāng)時(shí)倫敦出現(xiàn)瘟疫，他逃到鄉(xiāng)間，在鄉(xiāng)間思考，蘋果打到頭上發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律。

不管故事是否真實(shí)，但是說明了一個(gè)問題，只有在鄉(xiāng)間，不在學(xué)校里面，不過忙碌的生活，思考才能做出創(chuàng)造。

現(xiàn)在我們的活動(dòng)太多了，沒時(shí)間思考。你看小學(xué)生參加多少活動(dòng)、競賽，中學(xué)生的活動(dòng)更多。

家長要改變自己的做法，讓孩子有閑暇的時(shí)間，在樹下散散步，在湖里游游泳，讓他們?nèi)ニ伎?，去發(fā)明，不要整天考試。

考試是一個(gè)機(jī)器，我也接觸了個(gè)別的考試能手，我非常佩服他們，他們做題比我快得多，一眨眼就做出來了，但是他們不知道在做什么題。

所以家長們最好不要希望孩子一個(gè)個(gè)都是考試能手，應(yīng)該讓孩子過平常的生活。天天都可以考試，你從小學(xué)考起，中學(xué)也考，大學(xué)也考，我進(jìn)大學(xué)就考了一百題，一天考一百題。

所以考試很平常，沒什么了不得，讓他去考，考得好，考不好都不要緊。牛頓之后最偉大的科學(xué)家是愛因斯坦，愛因斯坦大學(xué)畢業(yè)的時(shí)候成績不算好，在專利局做三級(jí)科員。

就是這樣一個(gè)三級(jí)科員，一個(gè)在大學(xué)學(xué)的很差的平凡學(xué)生，結(jié)果做出很大成就。因?yàn)樗麜?huì)思考，他反對(duì)不思考就進(jìn)行推理，反對(duì)不思考就進(jìn)行證明，這讓他成為繼牛頓之后最偉大的科學(xué)家。

我們希望各位同學(xué)都應(yīng)該把自己看作一個(gè)平凡的人，看作是三級(jí)科員，看作是很差的學(xué)生，但是我們有正確的學(xué)習(xí)方法，我們知道案例學(xué)習(xí)，我們一個(gè)案例頂萬卷書，這樣的話效率其實(shí)是很高的。

所以我今天就講這些，希望一個(gè)案例頂萬卷書，希望大家學(xué)得少，學(xué)得好，千萬不要圖多，嚼不爛，結(jié)果什么都懂，又什么都不懂。

一個(gè)很有名的故事，一個(gè)牧師在布道，牧師越講越激動(dòng)，可是觀眾一片睡著了，我希望你們沒有睡著，那就是成功了，謝謝大家！

主持人：非常感謝林老師精彩的報(bào)告，如雷貫耳，現(xiàn)在和現(xiàn)場觀眾朋友們進(jìn)行互動(dòng)。

林群：我再補(bǔ)充一句，為了防止很多人攻擊我，我首先說，我自己就不懂得數(shù)學(xué)，我自己學(xué)得很差。說實(shí)在話，我們這些人都沒有成就，哪些人有成就呢？

比如屠呦呦的成就可能很多人都想不到，我相信屠呦呦的智商并不一定很高。我不認(rèn)識(shí)她，我覺得她可能是很平常的人。可是她一輩子鉆研了一件事情，少則多，她只做一件事，研究中藥——青蒿素。

就這一件事情救了非洲多少萬人，這就是她的貢獻(xiàn)。誰偉大？還是屠呦呦偉大。BBC選出100年來最偉大的三位科學(xué)家，就是愛因斯坦、圖靈和屠呦呦”。

與觀眾互動(dòng)

主持人：接下來進(jìn)入一個(gè)互動(dòng)的環(huán)節(jié)，在場的選兩個(gè)問題，一個(gè)小朋友，一個(gè)家長，誰想提問，舉手。

觀眾1：現(xiàn)在這個(gè)社會(huì)，我認(rèn)為是比較注重考分的，很多大學(xué)，他們都是以考分為準(zhǔn)。在工作方面，很多公司也是要看你是從哪個(gè)大學(xué)畢業(yè)。雖然我非常贊同您的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)確實(shí)應(yīng)該去多思考，不應(yīng)該那樣死板?？荚嚹切〇|西沒用，但是對(duì)于現(xiàn)在這個(gè)社會(huì)，還是以考分為主，您對(duì)此持什么觀點(diǎn)？

林群：最近大家都經(jīng)常講到考試的問題，我覺得這個(gè)不重要。剛才說的奧賽冠軍，當(dāng)然很厲害，比我不知道厲害多少，我做一年，他可能一下子就做完了。

要知道，他是一個(gè)解題能手，但是他沒有提出問題的能力，有什么用處呢？你給他這個(gè)題做，他給你做，但是他沒有想法，所以不要羨慕這些人。

我自己認(rèn)為，屠呦呦是我們的榜樣，玩青蒿素玩了一輩子，玩出了諾貝爾獎(jiǎng)。

你說她是天才嗎？她是神童嗎？所以我們家長要求太低了，就要求孩子考得好，可以找到好職業(yè)，這算什么呢？考得好，好職業(yè)算什么，真的有貢獻(xiàn)的人，就不能僅僅靠考試。

考試很平常，考試沒什么的，我告訴你，我進(jìn)大學(xué)，一天考一百道題，考好又怎么樣？現(xiàn)在誰問你考多好？

我們很值得追查屠呦呦這個(gè)人的經(jīng)歷，究竟她小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)學(xué)得怎么樣，我相信對(duì)我們會(huì)帶來鼓勵(lì)。

普通人都能學(xué)好數(shù)學(xué)，普通人都有貢獻(xiàn)，只要有屠呦呦那樣的精神。能做出貢獻(xiàn)的不是那些“才子佳人”，我覺得那些都靠不住。

主持人：謝謝，我理解林老師說數(shù)學(xué)這個(gè)東西，普通人只要努力用功就能學(xué)好，考100分算不了什么，要有更遠(yuǎn)大的目標(biāo)。

林群：考100分不算什么，要求不能太低。比如說我進(jìn)廈門大學(xué)的時(shí)候，一天做100題，你就考了100分又算什么？

我后來進(jìn)中科院，到現(xiàn)在沒做什么好工作，我敢這么說自己，我都看不上自己，因?yàn)槲覜]有屠呦呦那樣的精神。

只是我年紀(jì)大知道已經(jīng)晚了，屠呦呦年輕時(shí)就找到了正確的方向。她看中了中草藥，最后成功了。

所以家長對(duì)你們的孩子，要求要更高，一定不能說僅僅要考得好，找到好職業(yè)就行了，好職業(yè)算什么？

我們中國還有一個(gè)世界名人，研究三體問題的數(shù)學(xué)家，在世界范圍內(nèi)都很有影響力，大家都認(rèn)為他是非常了不起的榜樣，可是他是一個(gè)來自山西的很普通的學(xué)生。他的生活也很普通，職業(yè)也一般，但是他做得很好。

我們?cè)诤芎玫牡胤?，?956年就在中科院，多好的地方，可是我做出什么成績來，我看到他，覺得差太遠(yuǎn)了。像我這樣的人，在科學(xué)上根本不值一提，為什么呢？家長們，一定要要求高，不能只要求孩子考得好，找到好職業(yè)。

主持人：應(yīng)該再狠一點(diǎn)，不能僅僅要求他們100分。

林群：對(duì)，我再講一個(gè)。我們都很關(guān)心人大，人大開完會(huì)，選出很多部長。你看看部長的經(jīng)歷，大部分是從基層出來的，這才是真正的人才。

部長是國家棟梁，大部分人都是小學(xué)念得很普通，在農(nóng)村一步步成長的，然后從科員、科長慢慢鍛煉出來，這才是中國真正的人才。

主持人：給大家解釋一下，林院士是30后，1935年出生的，跟我爺爺年紀(jì)差不多。

林群：我比他爺爺大得多了，我84歲。

觀眾2：林院士好，主持人好！大家的掌聲已經(jīng)說明了對(duì)您的觀點(diǎn)的認(rèn)可，但是在數(shù)學(xué)上，否定一件事情比肯定一件事情容易很多。

我的問題是，現(xiàn)在的評(píng)價(jià)制度，或者說分?jǐn)?shù)的評(píng)價(jià)制度是不好的。我們要引導(dǎo)孩子們?nèi)ニ伎?，養(yǎng)成思考的習(xí)慣或者思維方式，但是我們到底應(yīng)該怎么做呢？

主持人：您覺得有沒有什么更好的方式，比現(xiàn)在的制度更適合我們目前的狀況的？

林群：對(duì)于這個(gè)問題，我是沒有經(jīng)驗(yàn)的，但是我覺得，家長要對(duì)孩子管得嚴(yán)，還是應(yīng)該強(qiáng)調(diào)成績的。

比如說我知道國外一些學(xué)生，他們?cè)趺唇逃⒆幽?？他們覺得孩子喜歡什么，就應(yīng)該鼓勵(lì)他們做什么。結(jié)果這些孩子都去念動(dòng)物學(xué)，因?yàn)楹⒆訍酃?，愛貓?/p>

如果孩子喜歡貓，我們家長就讓他念貓學(xué)，喜歡狗就念狗學(xué)，喜歡動(dòng)物，就去念動(dòng)物學(xué)，都去做動(dòng)物學(xué)，行嗎？別的行業(yè)誰做呢？

我們中國的家長，讓孩子把小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)念好，這是基本功，把這個(gè)念好，做什么都可以。

不能置之不理，讓孩子自動(dòng)放棄他的教育。小孩不懂學(xué)習(xí)的重要性，你不逼他，他就無法全面發(fā)展，所以還是要“逼”小孩念書。

只是說，要對(duì)小孩要求高一點(diǎn)，要讓他思考，不能滿足于他考得好，得一點(diǎn)小獎(jiǎng)，不能滿足于這些雕蟲小技。

但是這些很難做到，我們每個(gè)人都希望孩子受最好的教育，孩子受最好的教育，不一定能培養(yǎng)出好科學(xué)家。

聽說過去有一個(gè)高考狀元，結(jié)果去當(dāng)和尚，當(dāng)和尚不是不好，但是說明他的發(fā)展有限。你學(xué)再好有什么用處，最后你沒有對(duì)社會(huì)有貢獻(xiàn)。

而像屠呦呦這樣的人，對(duì)社會(huì)貢獻(xiàn)非常大，我相信她學(xué)得不一定最好，但是她研究青蒿素就能成功。