從小學(xué)到高中，我們學(xué)過12年的數(shù)學(xué)，叫做初等數(shù)學(xué)；大學(xué)后的微積分，叫做高等數(shù)學(xué)。 初等數(shù)學(xué)大致是什么內(nèi)容呢？著名數(shù)學(xué)家華羅庚在1979年留下一個(gè)視頻，他對(duì)此做過解答。 他說，數(shù)學(xué)就是數(shù)和形。最先出現(xiàn)的是數(shù)字，就是12345；后來有了減法，就出現(xiàn)了負(fù)數(shù)；再后來有了除法，就出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)。這許多“數(shù)”，有一個(gè)總名字：有理數(shù)。 有理數(shù)有一個(gè)特殊性質(zhì)：有理數(shù)加有理數(shù)還是有理數(shù)，有理數(shù)減有理數(shù)還是有理數(shù)，有理數(shù)乘有理數(shù)還是有理數(shù)。也就是說，有理數(shù)遇到另一個(gè)有理數(shù)，不論加減乘，結(jié)果都是有理數(shù)。那么有理數(shù)除有理數(shù)呢？只有一種結(jié)果不是有理數(shù)，那就是除以0?？傊?，有理數(shù)本身，對(duì)加減乘除是自封的。 僅有理數(shù)夠不夠呢？不夠！例如根號(hào)2就不可能是有理數(shù)，這說明有理數(shù)是不完整的。所以整個(gè)“數(shù)”的系統(tǒng)，給它一個(gè)定義，叫實(shí)數(shù)系統(tǒng)。實(shí)數(shù)系統(tǒng)也有這個(gè)性質(zhì)，即對(duì)加減乘除自封。 可是，實(shí)數(shù)系統(tǒng)就完整了嗎？還不完整。例如在求解方程的過程中，可能沒有實(shí)根，但是有虛根，所以實(shí)根之外又出現(xiàn)一種數(shù)，叫做復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)對(duì)加減乘除也是自封的。 自此之后，凡是一批數(shù)或一批抽象的東西，如果里面可以定義加減乘除并且是自封的，高等數(shù)學(xué)就叫它域。 最后講面積，包括長方形、三角形、多角形、圓的面積。 上述是華羅庚關(guān)于初等數(shù)學(xué)的總結(jié)。華羅庚是我國最博學(xué)的數(shù)學(xué)家，他總觀全局，把初等數(shù)學(xué)講得這么少（精煉），使我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更有信心。 但是華羅庚沒有具體講高等數(shù)學(xué)（微積分）。 微積分講什么呢？是否還是應(yīng)該講面積？如果我們還是把一般圖形（如曲邊梯形）分成許多長方形，不僅計(jì)算量大，而且分得再多也有疏漏，這是不得已的方案。 “牛頓”們不是這么做的。他們開始不是求面積，他們求瞬時(shí)速度，只看一個(gè)時(shí)刻。但在某一時(shí)刻，時(shí)間與路程都等于0： 怎么算？我們給出一個(gè)算法： 公式1 即平均速度與瞬時(shí)速度之差與時(shí)間成正比地減少。于是，在短時(shí)間內(nèi)，速度就變化不大，平均速度就代替了瞬時(shí)速度。 尤其是，當(dāng)時(shí)間接近0，則平均速度接近瞬時(shí)速度，用看不用想。 注意，我們關(guān)心的正是時(shí)間接近0時(shí)出現(xiàn)的極限，如今借助公式（1）求極限，避開了無窮小！ 于是，公式（1）可改寫為 |路程-瞬時(shí)速度×?xí)r間|≤(時(shí)間段)2的一個(gè)倍數(shù) 其中，瞬時(shí)速度×?xí)r間，可看作瞬時(shí)速度中的面積（相當(dāng)于化曲為長方）。那么，路程為面積的近似值（時(shí)間的平方），那么很容易證明兩者相同：路程=速度圖的面積。 微積分把它寫成： 二維面積變成了一維高，俗稱：油餅面積變油條高。 通俗地講，就像計(jì)算一塊彎彎曲曲的油餅面積，既無需將油餅切成“無窮個(gè)”小油條，也無需將這“無窮個(gè)”小油條的面積再相加，一下子就能得到油餅的面積等于另一根油條的高，簡稱為：油餅面積=油條高。 原先，億萬次計(jì)算也算不準(zhǔn)，如今，一次計(jì)算便準(zhǔn)確到達(dá)。 |
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