第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

歷史背景

畢達(dá)哥拉斯（約公元前572年——公元前492年）是一位古希臘的數(shù)學(xué)家及哲學(xué)家，他曾有一句名言「凡物皆數(shù)」，意思是萬物的本原是數(shù)，數(shù)的規(guī)律統(tǒng)治萬物。不過要注意的是，在那個年代，他們相信一切數(shù)字皆可以表達(dá)為整數(shù)或整數(shù)之比——分?jǐn)?shù)，簡單而言，他們所認(rèn)識的只是「有理數(shù)」。

有趣的有理數(shù)

當(dāng)時的人只有「有理數(shù)」的觀念是絕不奇怪的。對于整數(shù)，在數(shù)在線我們可以知道是一點(diǎn)點(diǎn)分散的，而且點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離是一，那就是說，整數(shù)不能完全填滿整條數(shù)線，但有理數(shù)則不同了，我們發(fā)現(xiàn)任何兩個有理數(shù)之間，必定有另一個有理數(shù)存在，例如：1與2之間有1/2，1與1/2之間有1/4等，因此令人很容易以為「有理數(shù)」可以完全填滿整條數(shù)線，「有理數(shù)」就是等于一切數(shù)，可惜這個想法是錯的，因?yàn)椤?/p>

勾股定理、畢氏鐵拳

偉大的時刻來臨了，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)時眾所周知的勾股定理（其實(shí)中國于公元前一千一百年已有此定理），從這個定理中，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了一件不可思議的事，就是腰長為１的等腰直角三角形的斜邊長度，竟然是一個無法寫成為有理數(shù)的數(shù)。亦即是說有理數(shù)并非一切數(shù)，存在有理數(shù)以外的數(shù)，有理數(shù)不可以完全填滿整條數(shù)線，他們心中的信念完完全全被破壞了，他們所恃和所自豪的信念完全被粉碎。在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界來說，是一個極大的震撼，也是歷史上的「第一次數(shù)學(xué)危機(jī)」。

新的一頁

原來「第一次數(shù)學(xué)危機(jī)」是「無理數(shù)」的發(fā)現(xiàn)，不過它還說出了「有理數(shù)」的不完備性，亦即有理數(shù)不可以完全填滿整條數(shù)線，在有理數(shù)之間還有「罅隙」，無疑這些都是可被證明的事實(shí)，是不能否定的。面對著事實(shí)，數(shù)學(xué)家展開廣闊的胸襟，把「無理數(shù)」引入數(shù)學(xué)的大家庭，令數(shù)學(xué)更豐富更完備，加添了無理數(shù)，數(shù)線終于被填滿了。

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

「飛矢不動」的吊詭

古代的希臘是研究哲學(xué)的人聚集的地方，在云云的哲學(xué)學(xué)派之中，其中一派主張「存在是靜止的，不變的，永恒的，變化與運(yùn)動只是幻覺。」至于這個主張的理念，不是我們的討論范圍，不過，這個學(xué)派的學(xué)者之一——芝諾，為了論證運(yùn)動是幻象，提出了「飛矢不動」的「理論」：箭在每一瞬間都要占據(jù)一定的空間位置，即箭在每一瞬間存在，即箭在每一瞬間都是靜止的，又怎可能動呢？

數(shù)學(xué)——打破吊詭的武器

當(dāng)然我們完全明白「飛矢不動」是一個歪論，但數(shù)學(xué)是一個講究嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，數(shù)學(xué)家們要從問題的核心「動」作為開始，要證明「飛矢必動」。所謂動是指有速率，而速率便是所走的路程和所用的時間的比，換句話說，要證明箭在每一瞬間都是動即，要證明箭在每一瞬間都有速率，但這是一個難題，因?yàn)槿绾握页雒恳凰查g的速率呢？

無堅(jiān)不摧——微積分

要解決每一瞬間的速率（以下稱瞬時速度）的問題，偉大的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家——牛頓（1643–1727），發(fā)現(xiàn)了一件無堅(jiān)不摧的武器——微積分，其中微分便正好可以計(jì)算出物體的瞬時速度。這個發(fā)現(xiàn)震驚了整個數(shù)學(xué)界和物理學(xué)界，而且除了瞬時速度，微積分更在不同方面有廣泛的應(yīng)用，并得到了瞬速的發(fā)展。不過，好境不常．．．

既不是零又不是非零？

因?yàn)槲⒎e分必須要考慮所謂「無窮小量」的問題，所謂「無窮小量」是指一個「非零而又極接近零的量」，而所謂「極接近零」是指這個量「與零之間不容許有任何空間和距離」，換句話說，「無窮小量」是一個既不是零又不是非零的量，那么，「無窮小量」是零嗎？如果解不到這個問題，所謂無堅(jiān)不摧的微積分，便無立足之地，一切由微積分所得出來的完美的數(shù)學(xué)和物理學(xué)上的結(jié)果也付諸流水，所以數(shù)學(xué)史上稱之為「第二次數(shù)學(xué)危機(jī)」。

化危為機(jī)

數(shù)學(xué)是講究嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，數(shù)學(xué)家必不逃避問題，面對困難，接受挑戰(zhàn)，是數(shù)學(xué)家的不朽格言。另一位偉大的數(shù)學(xué)家柯西（1789–1857），重新建立微積分學(xué)的基礎(chǔ)——數(shù)學(xué)分析。數(shù)學(xué)分析是透過一套嚴(yán)格的「數(shù)學(xué)語言——ε–語言」來說明甚么是變量、無窮小和極限等的概念和定義，解決了甚么是既不是零又不是非零的問題，而這次的危機(jī)亦安然渡過，并為數(shù)學(xué)的大家庭增添了一位成員「數(shù)學(xué)分析」。

第三次數(shù)學(xué)危機(jī)

一個有趣的故事

在村有一位手藝高超的理發(fā)師，他只給村上一切不給自己刮臉的人刮臉，那么，他給不給自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他是個不給自己刮臉的人，他應(yīng)當(dāng)給自己刮臉；如果他給自己刮臉，由于他只給不給自己刮臉的人刮臉，他就不應(yīng)當(dāng)給自己刮臉了。他應(yīng)該如何呢？

數(shù)學(xué)和哲學(xué)界的巨匠——羅素

以上的故事就是著名的「羅素悖論」。羅素（1872–1970）是英國著名的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家，曾獲得諾貝爾文學(xué)獎金。他想把算術(shù)系統(tǒng)全歸結(jié)于邏輯，所以他與懷海德合作寫的一本巨著《數(shù)學(xué)原理》。

理發(fā)師的威力

羅素的悖論確是給當(dāng)時正為了微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)被建立而歡欣鼓舞的數(shù)學(xué)家們潑了一盆冷水，但這個理發(fā)師的力量有多大，竟然可以推倒數(shù)學(xué)大廈呢？在較高等的數(shù)學(xué)里，我們會把整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)納入「集合論」之中，換句話說，集合論便是數(shù)學(xué)大廈的基石，所以當(dāng)集合論中出現(xiàn)矛盾時，建基于此之上的數(shù)學(xué)大廈也會站不住腳，而羅素的悖論卻是向著這個基石作出致命的一擊，這個「自己既要屬于自己又同時不屬于自己」的矛盾是在集合論中的矛盾，也就是在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的矛盾，只要矛盾一日存在，數(shù)學(xué)大廈也不可穩(wěn)固，更會在倒塌的危機(jī)，這個也是數(shù)學(xué)的第三次危機(jī)。

解鈴還須系鈴人

羅素雖然提出了問題，成為危機(jī)的制造者，但同時也是危機(jī)的解決者，羅素在他的著作之中提出了層次的理論以解決這個矛盾，使得「自己既要屬于自己又同時不屬于自己」不可能出現(xiàn)。不過，這個層次理論十分復(fù)雜，所以數(shù)學(xué)家要把這個方法加以簡化，而先提出的人是策墨羅，他提出了「有限抽象原則」和幾條公理，及后再由弗蘭克和斯柯倫的補(bǔ)充修改，仍成現(xiàn)在在數(shù)學(xué)上較為流行公理系統(tǒng)——「ZFS公理系統(tǒng)」。這樣不單只解決了羅素的悖論，令數(shù)學(xué)從回到嚴(yán)緊和無矛盾的領(lǐng)域，而且更促使一門新的數(shù)學(xué)分支——「數(shù)學(xué)基礎(chǔ)」有著迅速的發(fā)展。