， 雷盛運

“哲學不應當從自身開始。而應當從它的反面，從非哲學開始”①。自然科學是哲學的基礎。數學、物理學、化學、生物學、天文學等等，蘊含著極其豐富哲學思想。微積分是研究變數的科學。從本質上看是辯證法在數學上的運用。因此，微積分中的哲學思想比起初等數學更豐富、更明顯。如果將其全部抽象出來，可以構成一部完整的自然哲學。本文試從微積分與現實世界的關系及其辯證內容略作粗淺探討。 關于微積分的本原問題微積分的本原問題是指它同現實世界的關系問題，即它是產生于存在還是產生于純思微積分的本原問題是指它同現實世界的關系問題，即它是產生于存在還是產生于純思維的問題。唯物主義與唯心主義有著根本不同的看法。唯心主義認為純數學產生于純思維。它可以先驗地，不需利用外部世界給我們提供的經驗，而從頭腦中創(chuàng)造出來。杜林、康德、貝克萊等唯心主義者就是這種觀點的代表②。牛頓、萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者。他們分別在研究質點運動和曲線的性質中，不自覺地把客觀世界中的運動問題引進了數學。各自獨立地創(chuàng)立了微積分。這個功勞是應該肯定的。但是，他們沒有很好注意到微積分同現實世界的親緣關系。其運算出發(fā)點是先驗的。所以，馬克思把牛、萊的微積分稱為“神秘的微分學”③。唯物主義認為，微積分同所有的科學一樣，它起源經驗，然后又脫離外部世界，具有高度抽象性和相對獨立性的一門嶄新的科學。恩格斯指出：“數學是從人的需要中產生的”④微積分是從生產斗爭和科學實驗的需要中產生的。生產實踐對微積分的創(chuàng)立起著決定的作用。從十五世紀開始，資本主義在西歐封建社會內部逐漸形成。到十七世紀，資本主義生產方式有了巨大發(fā)展。隨著生產發(fā)展，自然科學技術也雨后春筍般地發(fā)展起來了。它們跑出來向數學敲門，提出了大量研究新課題。微積分的創(chuàng)立就是為了處理十六、十七世紀在生產實踐和科學實驗中所遇到的一系列新問題。這些問題歸納起來大致分為四類：一是已知物體運動的路程與時間的函數關系，求速度和加速度；反過來，已知物體運動的速度和加速度與時間的函數關系，求路程。二是求曲線的切線。三是求函數的極大值、極小值。四是求曲線的弧長，求曲線所圍成的面積，曲面所圍成的體積等求積問題。上述四類問題，形式各不相同，但有著共同的本質，即都是反映客觀事物的矛盾運動過程。其中的量都在不斷變化著。因此，研究常量的初等數學無法解決這些問題。生產和科研的需要，促使數學由研究常量向研究變量轉化。于是微積分在傳統(tǒng)代數學的長期孕育中，經《解釋幾何》這個“助產婆”的接生“而分娩了”。所以，恩格斯說：“數學的轉折點是笛卡爾的變數。有了變數，運動進入了數學。有了變數，辯證法進入了數學。有了變數，微分學和積分學也就立刻成了必要的了”⑤微積分不僅是適應生產和科學發(fā)展需要的產物。而且，它的概念、運算法則、定理、推論等在客觀世界中都各有其現實的原型。微分與積分的現象在自然界中普遍存在。自然界的蒸發(fā)與凝結過程，就是微分與積分及其相互轉化的辯證過程恩格斯是這樣描述自然界中的微分與積分現象及其矛盾的相互轉化：“如果一杯水的最上面一層分子蒸發(fā)了，那么水層的高度x就減少了dx。這樣一層分子又一層分子繼續(xù)蒸發(fā)，事實上就是一個連續(xù)不斷的微分。如果熱的水蒸汽在一個容器中由于壓力和冷卻又凝結成水，而且分子一層又一層地積累起來……，直到容器滿了為止。那么這里就真正進行了一種積分。這種積分和數學的積分不同地方只在于：一種是由人的頭腦有意識地完成的。另一種是由自然界無意識地完成的?！雹薏粌H如此。自然界中的微分、積分過程還表現在機械運動與熱運動的相互轉化；分子的分解與化合；物質的構造等多個方面。當機械運動轉化為熱，即轉變?yōu)榉肿舆\動的時候，宏觀的機械運動被微分了。反過來，當水蒸汽的分子在蒸汽機的汽缸中積累起來，把活塞舉高一定的距離，這時熱運動又變成了宏觀的機械運動，它是一個積分的過程。在化學反應中表示物體分子組合的一切化學方程式，就形式來說是微分方程式。這些方程式實際上是表示這些分子的原子量而積分起來了。以上說的是一次微分的情況。高次微分是否也有其現實原型呢？結論是肯定的。我們以上說的是一次微分的情況。高次微分是否也有其現實原型呢？結論是肯定的。我們從微商的力學意義中知道：瞬時速度U（t）是路程函數S（t）的一階微商，即U（t）=S＇（t）;加速度a（t）又是速度函數U(t)的微商，也是路程函數S(t)微商的微商，稱之為二次微商，即a(t)=S'(t)。根據自然辯證法和現代物理學的觀點。自然界是由無數個層次組成的系統(tǒng)。按其質量的相對的大小可作如下排列：……總星系——恒星系——太陽系——地球上的物體——分子和原子——基本粒子……如果我們把前一個層次當作一個原函數看待，那么后一個層次便是微分所得到的“導數”或稱“微商”。這樣連續(xù)地微分下去，可以得到一次微分dx；二次微分dx2；三次微分dx3……直到n次微分dxｎ。由此看出高次微分處處有自己的原型。它與物質世界的各個層次建立了一一對應關系。物質是無限可分的。微分過程也是無限的。物質不滅，微分不止。這就是微積分同物質世界的對應關系。微分或積分的過程正是反映了物質的不同層次之間物質形態(tài)的相互轉化和運動形態(tài)的相互轉化。我們肯定微積分的客觀基礎，并不否認純思維對純數學的能動作用。微積分來源于客觀世界。但這種反映不是消極被動的。人的意識具有主觀能動性和相對獨立性。微積分作為一種科學理論，它屬于意識范疇，同其他科學一樣，當它從客觀世界中抽象出來后，就和現實世界相脫離，作為某種獨立的東西，而與現實世界相對立，并在自己的領域中開始獨立的矛盾運動。它通?？梢圆皇軄碜酝獠康拿黠@影響，而憑借經驗的摸索，借助邏輯的方法，巧妙地開發(fā)出數學“王國”中豐富的寶藏。微分三角形就是思維能動性的自由創(chuàng)造。，是一種幻想的量。所以列寧說：“在數學上也是需要幻想的，甚至沒有它就不可能發(fā)明微積分”⑦。唯心主義者抓住這一點大做文章，鼓吹微積分是數學家的“天才”頭腦的產物。他們不懂得思維與存在的辯證關系，不懂得思維的獨立性依然要以現實客觀為基礎?？茖W的幻想不是胡思亂想，需要憑借經驗的摸索。前面談到的微分三角形，它是在處理差分三角形經驗的啟示下，通過思維的加工制作，才創(chuàng)造出一種處于純粹狀態(tài)的微分三角形。所以，微積分的高度抽象，不但沒有掩蓋它起源于現實的本質，反而更深刻地反映著現實。它使人們逐步揭示了事物量的關系的本質聯系。反映各種不同類型的具體對象中量的共同規(guī)律，從而使微積分廣泛地運用到各種不同的具體對象中去。比如： F(x)-F(x0)F′(x)== lim ------------- x→x0 x-x0這一抽象的形式可以刻劃物體運動瞬時速度，也可以刻劃切線的斜率、物質的比熱、這一抽象的形式可以刻劃物體運動瞬時速度，也可以刻劃切線的斜率、物質的比熱、電流的強度。又如雙曲線偏微分方程，在彈性力學中描寫震動，在流體力學中描寫流體動態(tài)，在聲學中表現為聲壓方程，在電學中表現為電報方程。雙曲線偏微方程，反映著這些不同對象在數量上的共同屬性。正如列寧說的：“自然界的統(tǒng)一性顯示在關于各種現象領域的微分方程式的‘驚人的類似'中?！雹嘁虼?，微積分的高度抽象性不是離現實世界愈來愈遠，而是對現實世界認識愈深，揭示了多樣性物質世界的統(tǒng)一性。 微積分的辯證內容恩格斯說：“變數的數學——其中最重要的部分是微積分——本質上不外是辯證法在數學方面的運用。”⑨這段話深刻地揭示了微積分的本質。是對微積分的哲學思想的高度概括。我們周圍的物質世界是由無數相互聯系、相互依存、相互制約、相互作用的事物構成的統(tǒng)一整體。它充滿著矛盾和斗爭。數學是研究客觀世界數量關系和空間形式的科學。因此，客觀世界中的質量互變規(guī)律、對立統(tǒng)一規(guī)律和否定之否定規(guī)律等辯證內容必然在數學中反映出來。微積分是研究變量的數學，處處充滿著矛盾，其辯證法內容更加豐富。下面從微積分與代數學，微積分的概念、運算中的矛盾運動等方面剖析微積分中的辯證法思想。一、代數運算轉化為微分運算——量變到質變的飛躍微積分是從代數和幾何的領域中發(fā)展起來的。代數方法向微分方法轉化，代數運算的結果轉化為微分運算的出發(fā)點，是數學發(fā)展中的一條極重要的規(guī)律。促進這種轉化的動因是數學本身內部的矛盾運動，即客觀事物內部矛盾運動在數學領域中的抽象。這一規(guī)律的發(fā)現和總結，首先應歸功于馬克思。是他第一次把代數運算與微分運算聯系起來了，闡明了微分是怎樣起源于代數，而后又怎樣開始自己獨立的矛盾運動。他指出了從代數運算轉變?yōu)槲⒎诌\算是一個否定之否定過程。是量變到質變的飛躍。為了說明這一點，不妨先回顧一下微積分學發(fā)展的歷史。將牛頓、萊布尼茨創(chuàng)立的微積分同馬克思的《數學手稿》中的有關論述進行比較，看看馬克思是怎樣運用辯證法來說明微積分與代數的內在聯系的。微分學的發(fā)展歷史，從牛頓、萊布尼茨開始，大體經歷了五個階段，即神秘的微分學；理性的微分學；柯西的極限理論；魯濱遜等人的非標準分析。牛、萊等一批數學家在實踐中不自覺地把辯證法運用于數學領域，突破了代數的框框，進入了微分的領地。可是他們的思想方法卻依然停留在形而上學階段，沒有把微分看成是事物矛盾運動的產物。因此，他們在運算過程中遇到了無法克服的矛盾。最后被“野蠻”的“暴力鎮(zhèn)壓”⑩請看：牛頓的方法：設y=x2記無限小時間之間隔X的增量為X′（X的微分），隨之ｙ的增量為y′（ｙ的微分）.則有：ｙ﹢y′﹦（x+x′）2 ﹦x2＋2xx′＋x′兩邊減去函數y﹦x2。便有：y′﹦2xx′＋x′2抹去（注意！牛頓在使用暴力）等式右邊最后一項x′2得：y′﹦2xx′由此得出兩增量之比為：y′/x′=2x 萊布尼茨的方法是：設y=x2記x的增量dx；y的增量為dy，則有：y＋dy﹦（x＋dx）2﹦x2＋2xdx＋dx2兩邊減去原函數y﹦x2，便有：dy﹦2xdx＋dx2由此得出：dy/dx﹦2x比較牛、萊的方法，我們發(fā)現只是符號不同，本質是一樣的。他倆一開始就把x看成比較牛、萊的方法，我們發(fā)現只是符號不同，本質是一樣的。他倆一開始就把x看成是增長著的量。這是正確的。事實上已經把運動的觀點引進了數學之中。然而由于十七世紀機械唯物主義的傳統(tǒng)思想禁錮著他們的頭腦，他們沒有把x的微分與y的微分看成為x與y自身矛盾運動的產物，而是認為一開始就存在著的，是“一下子造成的東西”，是從微分過程外部引進來的。引進后，在整個微分過程中又始終是一種“僵化的東西”、“不變的東西”。至于微分經歷怎樣的矛盾運動而產生，在牛、萊的方法中看不到了。他們開始把dx′當作無窮小量。這是正確的。但是他們在展開二項式（x＋dx′）2過程中無法去掉dx2這個“尾巴”。 “尾巴”的存在使dy（y′）與dx（x′）之比得不到一個確定的值，這使牛、萊惱火。于是他們對dx2（x2′）實行了“暴力鎮(zhèn)壓”，半路上把（dx2）（x2′） “打扮”成“0”，揮刀把它砍去。牛、萊在這里失足了。這種“暴力鎮(zhèn)壓”使他們陷入悖謬之中。開始把x′（dx）當作無窮小量，后來又把它看成“0”。這種自相矛盾的作法顯然是違背邏輯的，而且也違背事實。因為，既然承認x′（dx）是一個無窮小量，那么無論它多么地小，畢竟是一個現實的量，不能當作“0”來處理，（x2′）（dx2）應與2xx′（2xdx）一樣有存在的權利。牛、萊將它隨意抹去的作法是錯誤的。如果按照“（dx2）﹦0”的方法行事，那么全部運算變成“0﹦0”，一切消失了，什么也得不到。然而，盡管牛、萊運算的方法是錯誤的，但結果卻是正確的。錯誤的運算得出了正確結果，本身就是一個矛盾。它揭示了在一定條件下荒謬也可以轉化為正確。牛、萊從錯誤的運算方法出發(fā)，通過“變魔術”的方法，求出了函數y﹦x2的微商即y′﹦（x2）′﹦2x，實現荒廖向正確轉化。馬克思科學地分析了微分學從牛頓、萊布尼茨到拉格朗日的歷史發(fā)展過程，指出牛、萊“這個在數學上正確的結果，是基于在數學根本錯誤的假設”。11他肯定了牛、萊計算的正確結果，批判了他們的形而上學方法，，揭露了微分過程的辯證法，澄清了在此以前微分學理論思維的矛盾和混亂。他在《數學手稿》中，精辟地闡述了微分中的自變量x和因變量y的產生與消失、前進的變化與后退的變化這一矛盾的運動規(guī)律，指出微分過程是否定之否定，量變到質變，個別轉化為一般的過程。仍以y﹦x2為例，看看馬克思是如何科學闡明從代數到微分運算的矛盾運動過程。設y﹦x2首先取差：令自變量x連續(xù)變化到x1,得到有限差△x﹦△x1-△x。因變量y隨之變化到達y1，則有:△y=y1-y=x12-x2=(x1+x)(x1-x)其次求預備導數（即有限差之比）：△y y1-y (x1+x)(x1-x)---﹦------﹦---------------- ﹦x1+x△x x1-x x1-x 最后取極限：令x1再變回到x，隨之y1也變回到y(tǒng)。則有：△x=x-x=0; △y=y-y=0.得：0/0=2x.用dy/dx代替0/0。讓它穿上“節(jié)日制服”。得到dy/dx﹦2x。這里，馬克思根本沒有動用“暴力鎮(zhèn)壓”（抹去dx2）。卻得到了同牛、萊完全一致的結果。等式左邊是0/0，本來是不確定的?？梢匀∪我庵怠Ｈ欢?，右邊卻等于一個完全確定的值2x。這種由不確定到確定的轉化，在形而上學眼里純屬荒廖絕倫?？墒寝q證法卻承認它是天經地義的。這是為什么？原因就在于微積分突破了初等數學只研究常量的傳統(tǒng)觀念，進入了變數的領域，，運動進入了數學。函數和自變量動起來了。它首先變化到x1，這樣產生了對事物的運動位置、狀態(tài)的第一次否定，得到有限差△x﹦x1-x;△y﹦?(x1)-?(x).這就把一點的運動狀態(tài)與其周圍的運動狀態(tài)聯系起來了，使我們在運動中把握著運動。接著又令x1變回到x，于是，產生了對運動、狀態(tài)的第二次否定，即否定之否定。經過以上兩次否定，我們不是回到了出發(fā)點，而是實現了代數向微分轉化的一次飛躍，解決了初等數學無法解決的矛盾。x1退回到x，但這個x已不是當初的x。它在第一次否定中起了變化，只是按名稱來說還叫它為變量x。由于x1的后退運動，△x和△y都消失了，變成了0/0的形式（穿上了“節(jié)日制服”后為dy/dx）。但是，“在0/0中沒有有顯示出是什么東西消失了；僅僅表達了量的方面，即分子消失了，分母也消失了，從而關系本身也消失了；沒有表達出質的關系。質的關系是存在著的。因為分子中的0僅僅是分母中的0的結果。從而它就是表示變量的函數對于變量的依賴關系。”12△x和△y在第二次否定過程中，僅僅是量的消失，而它們之間質的關系即二者之比的值保留下來了。在第二次否定中，x否定了x1。但x1不是被消滅，而是辯證地揚棄，是既被克服，又被存在?！鞍雌湫问絹碚f是被克服了，按其現實的內容來說是被保存了”。13它通過部分地與自己結合，部分地與原函數中的x結合，轉化為一種新的形式——原函數的導數。由此看出，代數運算轉化為微分運算是在兩次否定過程中完成的。它通過函數自變量x前進與后退的矛盾運動，由量變發(fā)展到質變，使代數運算發(fā)展為微分運算，常量運算轉化為變量運算，有限量的運算飛躍為無限量的運算。代數與微分由導數這座橋梁聯系起來了。導數是代數發(fā)展的終點，又是微積分的起點。所以馬克思說：微分學“本身是用代數方法推出來的”“只有從微分起著計算的出發(fā)點的作用時開始，代數向微分方法的轉換才告結束。從而微分學本身就作為一種獨特、專門的變量的計算方法而出現?！?4 二、極限——量與質、有限與無限的對立統(tǒng)一 極限理論是整個微積分的理論基礎，它貫穿于微積分學的始終。微積分基本問題的解極限理論是整個微積分的理論基礎，它貫穿于微積分學的始終。微積分基本問題的解決，主要概念的建立，都依賴于極限方法。極限概念是客觀事物質的規(guī)定性和量的規(guī)定性的辯證統(tǒng)一，即質和量的辯證統(tǒng)一。數學上的極限概念和哲學的“度”的概念是一致的。辯證法認為：一切發(fā)展變化的事物在其發(fā)展的各個階段上總要保持自己質的數量界限。在這個界限內事物就存在。超出了這個界限，該事物便轉化為他事物。變化著的事物，在變化過程逐步趨近于一個穩(wěn)定狀態(tài)，用數學的語言說即趨向于某一個“常量”。這種趨于穩(wěn)定的過程，數學上叫做極限過程。這個“常量”就是數學中的極限。哲學上稱之為“度”。當客觀事物在極限（度）范圍內變化時，相對而言主要是量的變化，而無明顯質的變化。從而保持了該事物的相對穩(wěn)定性。一旦變化達到了極限的位置，就會出現質的飛躍，原來的事物消失了，新的事物誕生了。極限概念又是一個有限與無限的對立統(tǒng)一。有限與無限是客觀世界中普遍存在的一對矛盾。物質、運動、時間、空間等等，從量的方面來說都是有限與無限的對立統(tǒng)一?，F實世界中的有限與無限，反映到人們的頭腦中，經過思維的加工，構成了數學中“量”的有限與無限的矛盾運動，即它們之間的相互轉化。微積分在研究變量的關系時，突破了有限，一直深入到無限之中去。它巧妙和不斷地運用有限與無限的相互轉化取得了一批批重大成果。而這個巧妙的方法就是極限方法。下面舉兩個例子，看看微積分是如何巧妙運用極限理論來實現有限與無限轉化的。例1、 求運動物體的瞬時速度。設S（t）為某物體作直線運動的路程函數。當時間從t變到t1，其改變量（增量）△t﹦t1-t。路程就從S(t)變到S(t1)=S(t+△t)，其改變量是：△S﹦S(t1)-S(t)﹦S(t+△t)-S(t)那么，在t到t1這段時間內的平均速度為： _ △S S(t+△t)-S(t)U﹦---﹦--------------- △t t1-t從上式中看出，不論△t怎么樣小，△S/△t仍然是平均速度，不是該運動物體在時刻t的瞬時速度。怎樣才能由平均速度轉化為瞬時速度呢？它是通過極限方法來實現的。設△t逐步地縮小，并把這一過程推向無限即△t→（無限接近）0那么平均速度△S/△t就經歷一個無限變動過程，最后轉化為瞬時速度。描述這一轉化過程的表達式是： △S S(t+△t)-S(t)l?m ---- ﹦ l?m ----------------△t→0 △t △t→0 △t這個式子告訴我：求瞬時速度問題是一個化有限為無限，又從無限認識有限的過程。實現這一轉化的橋梁是極限方法。例2、求變速直線運動的路程。已知物體運動的速度函數為U=U（t）。如何求物體在時間區(qū)間（a?b)內所走過的路程？我們從初等數學中勻速直線運動的公式知道：路程﹦速度×時間。但現在要求的是變速直線運動，速度不是常量，而是隨時間變化的變量。這就遇到了“變”與“不變”的矛盾。如何解決這一矛盾？還是老辦法，就是突破有限，深入無限，利用有限與無限的相互轉化，解決“變”與“不變”、“勻”與“不勻”的矛盾。實現這一轉變的數學工具還是極限方法。其轉化的具體過程是：第一步：“化整為零”:把時間區(qū)間（b?a）分點a﹦t0＜tl＜t2……＜tn-l＜tn﹦分為n段，各段的區(qū)間為：△t0﹦tl-t0?△tl﹦t2-tl?△t2﹦t3-t2……△tn-l﹦tn-tn-l，△tn﹦tn-tn-l物體在第i個區(qū)間內所走的路程為△Si第二步“以勻代變”：把物體在極短的第i個時間間隔中運動的狀態(tài)，近似地看作勻速運動，即以勻速U(t)代替變速，于是有：ΔS≈U(ti)△t　(i﹦0?l?2?3……n-l)。第三步“積零為整”：把物體在各區(qū)間內所走過的路程的近似值加起來，所得到的總路程S的近似值： n-lS≈U(t0)Δt0+U(tl)(△tl)+???……U(tn-l)△tn-l﹦∑ U(ti)△ti ｉ﹦0到目前為止尚未完成“勻”與“不勻”的轉化，這里的S還不是變速運動物體在時間區(qū)間（ａ?ｂ）內所走過的路程的精確值。要達到預定目的，需要把有限（ａ?ｂ）時間區(qū)間，轉化為無限變動的極限過程來研究。于是進入最后一步：第四步“取極限”：把時間區(qū)間（ａ?ｂ)無限細分，使Ｓ進入無限運動過程。當Δtｉ→第四步“取極限”：把時間區(qū)間（ａ?ｂ)無限細分，使Ｓ進入無限運動過程。當Δtｉ→0時，就得到了變速運動的路程的準確值： nlS＝lim ∑ U(ti)Δtｉ Δt→0 i=0比較上述兩個例子，盡管它們各屬不同研究范疇，前一個問題是微分學所研究的。后一個問題是前一個問題的逆運算，它是微分學研究的內容。然而，它們有著共同的特征，那就是運用極限方法，做“有限”與“無限”的轉化工作，從有限到無限再到有限，經過兩次否定，微積分中的“直”與“曲”、“變”與“不變“勻”與“不勻”等基本矛盾解決了。人們從有限中認識了無限，把握了無限。在“有限——無限——有限”這個公式中，體現了事物發(fā)展否定之否定過程。最后那個“有限”不是回到了原來的出發(fā)點，它比前面那個“有限”高了一級。因為它帶著解決問題的結果回來了。由此可知，極限概念包含兩個方面：它不僅包含極限過程，而且也包含極限結果。從過程來看表現為有限向無限轉化；從結果來看，無限又轉化為有限。極限概念正是這種過程與結果、有限與無限、常量與變量、量與質的對立統(tǒng)一。 三、“直”與“曲”在微積分中的同一性恩格斯說：“高等數學的主要基礎之一是這樣一個矛盾：在一定條件下直線和曲線應當是一回事”15這句話高度概括了微積分的基本思想。全部微積分學就是建立在解決“直”與“曲”的矛盾，實現這一矛盾相互轉化的基礎上。形而上學者聽到這句話目瞪口呆。大叫“荒謬！荒謬！”在他們眼里直就是直，曲就是曲，怎能等同起來呢？“直線和曲線在微積分中終于等同起來了”16的觀點，是無法理解和接受的。這是因為他們用靜止、孤立、片面的觀點看世界。不管他們承認不承認這一點。然而，生活常識畢竟如此。比如一條畢直的鐵路，就其某一段這個局部來講，它確實是直的。但這條鐵路是鋪設在地球表面，而地球是橢圓形球體。筆直的鐵路是地球表面的一段弧。因此它又千真萬確是曲的。宇宙中恒星照射到地球上光線一貫被人們視為絕對的“直”。然而，愛因斯坦的相對論告訴我們，由于引力強作用，空間和時間都會發(fā)生彎曲。光線受引力場作用也變曲了。因此，世界上沒有絕對的“直”與“曲”，只存在著“直”與“曲”的對立統(tǒng)一體。它們在一定條件下相互轉化，“直”與“曲”等同起來了。哲學上稱之為直與曲的同一性。當然，“直”與“曲”的等同和相互轉化是相對的、有條件的，絕對不是無條件無差異的同一。微積分是“直”與“曲”轉化的橋梁。在微積分中，直與曲轉化的條件是“細分“。直線與曲線的等同是在細分過程中實現的。例如，在微積分中求曲線y＝x2與x軸和直線x＝l所圍成的曲邊三角形的面積，其方法是：第一步“化整為零”：把曲邊三角形等分為若干個小曲邊梯形，并記第ｉ小曲邊梯形為第一步“化整為零”：把曲邊三角形等分為若干個小曲邊梯形，并記第ｉ小曲邊梯形為ΔS第二步“以直代曲”：對于每個ΔSｉ用相應的矩形面積近似代替，則有：ΔSｉ＝xｉ2Δxｉ(ｉ＝0，l，……ｎ-l)第三步“積零為整）：把所有的小矩形面積加起來求出階梯形面積Sｎ，它是曲邊三角形面積S的一個近似值： ｎ-lS≈Sｎ＝ ∑ xｉ2Δxｉｉ=0 第四步“取極限”：把曲邊三角形無限細分，當Δxｉ→0時，這時每個無限小的矩形面積就轉化為微分，近似值變?yōu)闇蚀_值，從而得到積分： ｎ-1∫1xｄx＝ｌｉｍ ∑ xｉΔxｉ 0 x→0 ｉ＝0 ｎ-1等式左邊是曲邊三角形面積，右邊的 ∑ xｉ2Δxｉ是階梯形面積。兩者在極限ｉ=0 幫助下終于等同起來了，不僅階梯形的面積等于曲邊三角形的面積。而且此時各無限小曲邊形中的“曲邊”與相應的無限小矩形中的“直邊”也等同起來了。。當然，還應看到，這里“直”與“曲”的等同不是絕對的、無條件的、簡單地相等，而是有矛盾有差異的等同，是辯證的等同。從曲邊三角形的面積和階梯形面積的等同上看，它們相差了一個高階無窮小量。這個無窮小量就是這樣一個量：它是“0”而又非“0”，趨向“0”而又不等于“0”。它可以完成非“0”的一切運算。但在解決實際問題時又可以當作“0”用，并不影響計算結果。微積分中“直”與“曲”的轉化就是在這個無窮小量的幫助下完成的。微積分中的“直”與“曲”的等同和轉化，突破了初等數學“山窮水盡疑無路”的困境，開辟了由“直”認識“曲”的廣闊途征，給數學帶來了“柳暗花明又一村”。 ??！偉大的微積分。你是數學的哲學，又是哲學的數學。哲學`、數學在你身上獲得了