看個(gè)例子，我們考慮最簡單的f(x)=1/x。當(dāng)x的取值（x＞0）越來越大的時(shí)候，這個(gè)函數(shù)的值就會越來越?。?/section>看得出來，當(dāng)x的取值越來越大的時(shí)候，f(x)的值會越來越趨近于0。所以，函數(shù)f(x)在無窮遠(yuǎn)處的極限值應(yīng)該是0，也就是說：這個(gè)結(jié)論是很明顯的，接下來我們就來看看如何用ε-δ定義來說這個(gè)事。按照定義，我們要取一個(gè)任意小的ε，假設(shè)這里我們?nèi)?span>ε=0.1，那么我們就要去找一個(gè)δ，看能不能找到一個(gè)范圍讓|f(x)-0|<0.1，顯然只需要x>10就行了；取ε=0.01，就只需要x>100就行了；任意給一個(gè)ε，我們顯然都能找到一個(gè)數(shù)，當(dāng)x大于這個(gè)數(shù)的時(shí)候滿足|f(x)-0|<ε，這樣就OK了。
于是，我們就構(gòu)建了一個(gè)邏輯嚴(yán)密，不再有任何“說不清”概念的極限理論。有了這個(gè)堅(jiān)實(shí)的地基，我們就可以放心地在上面蓋房子了。那個(gè)漂泊了一百多年，那個(gè)被幽靈般的無窮小量纏繞了一百多年的微積分，即將迎來新生。先看積分，我們之前認(rèn)為曲線圍成的面積是無數(shù)個(gè)寬度為無窮小量的矩形面積之和，于是我們在這里就被無窮小量纏上了。有了ε-δ極限之后，我們就可以刷新一下我們對積分的認(rèn)知了：從現(xiàn)在起，我們把曲線圍成的面積看成是一個(gè)極限，而不再是無數(shù)個(gè)無窮小量的矩形面積之和。什么意思？假設(shè)我們用1個(gè)矩形逼近曲線圍成的面積的時(shí)候，我把這一個(gè)矩形的面積記做S1，用兩個(gè)矩形逼近的面積之和記做S2，同樣的，我們記下S3，S4，S5……一般情況，如果我們用n個(gè)矩形去逼近這個(gè)面積，這n個(gè)矩形的面積之和就記做Sn。如果這個(gè)Sn的極限存在，也就是說，隨便你說出一個(gè)數(shù)字ε，我都能找到一個(gè)n的范圍，讓Sn和A之間的差|Sn-A|小于你給定的這個(gè)數(shù)字ε。那么，A就是這個(gè)Sn的極限。于是，我們就說：曲線圍成的面積就是這個(gè)極限A，它是n個(gè)矩形面積之和這個(gè)序列Sn的極限。所以，我們就把這個(gè)極限過程表示的面積A定義為函數(shù)f(x)從a到b上的積分：這樣，我們的積分就成了一個(gè)由ε-δ語言精確定義的極限。這里沒有那個(gè)等于0又不等于0的無窮小量，一切都清清楚楚、明明白白，沒有含糊的地方，這就是第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的終極解決之道。
這樣處理雖然不再那么直觀，但是它非常精確和嚴(yán)密，這是符合數(shù)學(xué)的精神的。直觀雖然能幫助我們更好的感受數(shù)學(xué)，但是如果失去了嚴(yán)密性，數(shù)學(xué)將什么都不是。積分解決了，微分這邊也是一樣。有了ε-δ定義之后，我們就再不能把導(dǎo)數(shù)看成是兩個(gè)無窮小量的比值（dy/dx），而是：把導(dǎo)數(shù)也看成一個(gè)極限，對，還是極限。這個(gè)理解起來相對容易，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是這點(diǎn)切線的斜率。我們前面也說了，切線就是當(dāng)割線的兩點(diǎn)不停地靠近，當(dāng)它們的距離變成無窮小時(shí)決定的直線。很顯然，這個(gè)定義是依賴無窮小量的，我們現(xiàn)在要用ε-δ定義的極限來代替這個(gè)無窮小量。所以，切線就應(yīng)該被理解為割線的極限，那么切線的斜率（也就是這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)）自然就是割線斜率的極限，所以導(dǎo)數(shù)f(x)’也自然而然地成了一個(gè)極限。由于割線的斜率就是用這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差f(x+Δx)-f(x)除以這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差（x+Δx-x=Δx），而導(dǎo)數(shù)f(x)’是割線斜率的極限。那么，我們在割線斜率的前面加一個(gè)極限符號就可以表示導(dǎo)數(shù)f(x)’了：這才是導(dǎo)數(shù)的真正定義，它是一個(gè)極限，而不再是兩個(gè)無窮小量dy與dx的商dy/dx。也就是說，按照極限的ε-δ定義，這個(gè)導(dǎo)數(shù)f(x)’的真正含義是：你任意給一個(gè)ε，我都能讓割線的斜率與這個(gè)值的差比你給的ε更小。
我反復(fù)強(qiáng)調(diào)ε-δ定義的含義，就是希望大家能真的從這種角度去理解極限，思考極限，逐漸放棄那種“無限動(dòng)態(tài)趨近某個(gè)點(diǎn)”的圖景。思維一旦形成定勢，想再改過來是非常困難的，所以我們得經(jīng)常給自己“洗腦”，直到把新理論的核心思想洗到自己的潛意識里去，這樣才算真正掌握了它。我以前講相對論的時(shí)候，很多人在講相對論時(shí)能切換到相對論思維，但是平常一不留神就又跌回到牛頓的思維里去了。然后就鬧出了一堆悖論、佯謬和各種奇奇怪怪的東西，這里也一樣。萊布尼茨當(dāng)年認(rèn)為導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)無窮小量dy和dx的商，所以他用dy/dx來表示導(dǎo)數(shù)。雖然現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)不再是這個(gè)意思，但是萊布尼茨當(dāng)年精心發(fā)明的這一套符號確實(shí)是非常好用，于是我們就繼續(xù)沿用了下來。也就是說，我們今天仍然用dy/dx表示導(dǎo)數(shù)，但是大家一定要注意，dy/dx在現(xiàn)代語境里是一個(gè)極限，不再是兩個(gè)無窮小量的商。如果不熟悉微積分的歷史，就很容易對這些符號產(chǎn)生各種誤解，這也是很多科普文、教科書在講微積分時(shí)的一大難點(diǎn)。因?yàn)?span>思想是新的，符號卻是老的，確實(shí)很容易讓人犯糊涂。于是，在萊布尼茨那里，他是先定義了代表無窮小量的微分dx和dy，然后再用微分的商定義了導(dǎo)數(shù)dy/dx，所以那時(shí)候?qū)?shù)也叫微商。但是現(xiàn)在劇情完全反轉(zhuǎn)了：我們現(xiàn)在是先用ε-δ定義了極限，然后從極限定義導(dǎo)數(shù)dy/dx。這里壓根沒有微分什么事，只不過由于歷史原因我們依然把導(dǎo)數(shù)寫成dy/dx這個(gè)樣子。那么，dx和dy這兩個(gè)之前被當(dāng)作無窮小量的微分的東西，現(xiàn)在還有意義么？
這個(gè)dx和dy還是有意義的，當(dāng)然，有意義也肯定不可能再是以前無窮小量的意思了。那么，在ε-δ極限這種全新的語境下，dx和dy在新時(shí)代的意義又是什么呢？請看下圖：藍(lán)色切線的斜率表示在P點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，如果我們繼續(xù)用dy/dx表示導(dǎo)數(shù)的話，那么從圖里就可以清楚的看到：dx表示在x軸的變化量，dy就剛好表示藍(lán)色的切線在y軸的變化量。
也就是說，當(dāng)自變量變化了Δx的時(shí)候，Δy表示實(shí)際的曲線的變化量，而微分dy則表示這條切線上的變化量，這就是新的語境下函數(shù)微分dy的含義。而自變量的微分dx，大家可以看到，就跟x軸的變化量Δx是一回事。由于切線是一條直線，而直線的斜率是一定的。所以，如果我們假設(shè)這條切線的斜率為A，那么dy和Δx之間就存在這樣一種線性關(guān)系：dy=A·Δx。這些結(jié)論都可以很容易從圖中看出來，但是，一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)是否有微分是有條件的。我們這里是一條很“光滑”的曲線，所以在P點(diǎn)有微分dy，也就是說它在P點(diǎn)是可微的。但是，如果函數(shù)在P點(diǎn)是一個(gè)折點(diǎn)，一個(gè)尖尖的拐點(diǎn)呢？那就不行了。因?yàn)橛泄拯c(diǎn)的話，你在這里根本就作不出切線來了，那還談什么Δy和dy？關(guān)于函數(shù)在一點(diǎn)是否可微是一個(gè)比較復(fù)雜（相對科普的復(fù)雜~）的問題，判斷曲線（一元函數(shù)）和曲面（二元函數(shù)）的可微性條件也不太一樣。直觀地看，如果它們看起來是“光滑”的，那基本上就是可微的。微分的嚴(yán)格定義是這樣的：對于Δy是否存在著一個(gè)關(guān)于Δx為線性的無窮小A·Δx（A為常數(shù)），使它與Δy的差是較Δx更高階的無窮小。也就是說，下面這個(gè)式子是否成立：o(Δx)就表示Δx的高階無窮小，從字面上理解，高階無窮小就是比無窮小還無窮小。當(dāng)Δx慢慢趨向于0的時(shí)候，o(Δx)能夠比Δx以更快的速度趨向于0。比如當(dāng)Δx減小為原來的1/10的時(shí)候，o(Δx)就減小到了原來的1/100，1/1000甚至更多。
如果這個(gè)式子成立，我們就說函數(shù)y=f(x)在這點(diǎn)是可微的，dy=A·Δx就是函數(shù)的微分。因?yàn)檫@是一個(gè)線性函數(shù)，所以我們說微分dy是Δy的線性主部。這部分的內(nèi)容好像確實(shí)有點(diǎn)乏味，萊布尼茨時(shí)代的微分dy就是一個(gè)接近0又不等于0的無窮小量，理解起來非常直觀。但是，我們經(jīng)過ε-δ的極限重新定義的函數(shù)的微分dy竟然變成了一個(gè)線性主部。這很不直觀，定義也挺拗口的，但是這樣的微積分才是現(xiàn)代的微積分，才是基礎(chǔ)牢固、邏輯嚴(yán)密的微積分。為了讓大家對這個(gè)不怎么直觀的微分概念也能有一個(gè)比較直觀的概念，我們再來看一個(gè)非常簡單的例子。我們都知道半徑為r的圓的面積公式是S=πr2。如果我們讓半徑增加Δr，那么新的圓的面積就應(yīng)該寫成π（r+Δr）2，那么，增加的面積ΔS就應(yīng)該等于兩個(gè)圓的面積之差：大家看到?jīng)]有，這個(gè)式子就跟我們上面的Δy=A·Δx+o(Δx)是一模一樣的。只不過我們把x和y換成了r和S，A在這里就是2πr，這里的π（Δr）2是關(guān)于Δr的平方項(xiàng)，這不就是所謂的高階（平方是2階，Δr是1階，2比1更高階）無窮小o(Δx)么？
所以，它的微分ds就是2πr·Δr這一項(xiàng)：它的幾何意義也很清楚：這就是一個(gè)長為2πr（這剛好是圓的周長），寬為Δr的矩形的面積，好像是把這個(gè)圓“拉直”了所得的矩形的面積。
好了，微分的事情就說到這里，剩下的大家可以自己慢慢去體會。畢竟這是一篇關(guān)于微積分的科普文，再寫太多就成教材了。關(guān)于微積分的重建，我們已經(jīng)看到了如何在ε-δ定義的新極限下重新定義了積分和微分，也看到了在這種新的定義下，積分和微分的概念跟以前有什么不同。沿著這條路，我們還能非常嚴(yán)格的證明微積分基本定理，也能很好地處理連續(xù)性、可微性、可導(dǎo)性、可積性等問題。雖然在具體的計(jì)算方式上跟以前的差別不大，但是微積分的這個(gè)邏輯基礎(chǔ)已經(jīng)跟以前發(fā)生了翻天覆地的變化，這個(gè)差別大家要仔細(xì)體會。在魏爾斯特拉斯給出極限的ε-δ定義之后，微積分的邏輯問題基本上解決了，但還有一些其它的問題。比如，有了微積分，數(shù)學(xué)家們當(dāng)然就希望盡可能多的函數(shù)是可以求出積分的，但是你像來砸場子的狄利克雷函數(shù)（x為有理數(shù)的時(shí)候值為1，x為無理數(shù)的時(shí)候值為0）就沒法這樣求積分。不信你想想，一個(gè)在有理數(shù)為1，無理數(shù)為0的函數(shù)你要怎么去切塊？它在任何一個(gè)地方都是不連續(xù)的，你甚至連它的圖像都畫不出來，怎么用矩形去逼近？所以，這里就有一個(gè)棘手的問題：一個(gè)函數(shù)到底要滿足什么條件才是可以求積分的呢？這個(gè)問題一直拖到20世紀(jì)初才由大神勒貝格解決。勒貝格把我們常見的長度、面積概念做了一個(gè)擴(kuò)展，得到了更一般的測度的概念。然后，他基于這種測度定義了適用范圍更廣的勒貝格積分，于是，原來無法求積分的狄利克雷函數(shù)在勒貝格積分下就可以求積分了。然后，勒貝格基于測度的理論也給出了一個(gè)函數(shù)是否可積的判斷條件，完美收官！于是，我們這段跨越兩千多年，從阿基米德到勒貝格的微積分之旅就要告一段落了。古希臘人和古代中國人都知道用已知的多邊形去逼近復(fù)雜曲線圖形，阿基米德用窮竭法算出了一些簡單曲線圍成的面積，劉微用正多邊形去逼近圓，也就是用割圓術(shù)去計(jì)算圓周率。牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“微分和積分是一對互逆運(yùn)算”這個(gè)驚天大秘密，正式宣告了微積分的誕生。柯西和魏爾斯特拉斯用ε-δ語言重新定義了極限，把風(fēng)雨飄搖中的微積分重新建立在堅(jiān)實(shí)的極限理論基礎(chǔ)之上，徹底解決了幽靈般的無窮小量的問題，解決了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，也在數(shù)學(xué)領(lǐng)域解決了芝諾悖論。勒貝格基于集合論，對積分理論進(jìn)行了一次革命，建立了定義范圍更廣的勒貝格積分，并且進(jìn)一步把這場革命推進(jìn)到了實(shí)分析。我的文章雖然以勒貝格結(jié)尾，但這絲毫不代表微積分在勒貝格這里就走向了完結(jié)，即便這時(shí)候已經(jīng)是20世紀(jì)初了。20世紀(jì)60年代初，有一個(gè)叫魯濱遜的德國人重新?lián)炱鹆?span>萊布尼茨的無窮小量。他把實(shí)數(shù)擴(kuò)展到非實(shí)數(shù)，直接把無窮大和無窮小變成了非實(shí)數(shù)域里的一個(gè)元素。所以他的理論可以直接處理無窮小量，這是第一個(gè)嚴(yán)格的無窮小理論。我們知道，幽靈般的無窮小量在微積分建立初期掀起了腥風(fēng)血雨，后來經(jīng)過柯西和魏爾斯特拉斯的拼命搶救，才終于在堅(jiān)實(shí)的ε-δ極限理論之上重建了微積分?？挛骱臀籂査固乩沟倪@一套讓微積分嚴(yán)密化的方法被稱為標(biāo)準(zhǔn)分析。而魯濱遜認(rèn)為，無窮小量雖然不嚴(yán)謹(jǐn)，但是大家基于無窮小量做的微積分計(jì)算卻也都是正確的，這至少表明無窮小量里應(yīng)該也包含著某種正確性。ε-δ極限是一種繞彎解決無窮小量不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒ǎ沁@種方法并不是唯一的。魯濱遜選擇直接面對無窮小量，直接建立了另一種讓微積分嚴(yán)密化的方法。因此，與柯西和魏爾斯特拉斯的標(biāo)準(zhǔn)分析相對，魯濱遜的這種方法被稱為非標(biāo)準(zhǔn)分析。提出了不完備定理的數(shù)學(xué)大神哥德爾就對非標(biāo)準(zhǔn)分析推崇備至，他認(rèn)為非標(biāo)準(zhǔn)分析將會是未來的數(shù)學(xué)分析。他說：“在未來的世紀(jì)中，將要思量數(shù)學(xué)史中的一件大事，就是為什么在發(fā)明微積分300年后，第一個(gè)嚴(yán)格的無限小理論才發(fā)展起來。”我們現(xiàn)在就處在哥德爾說的未來的世紀(jì)中，各位看官對這個(gè)問題有沒有什么看法呢？如果我的這篇文章能夠讓大家對微積分，對數(shù)學(xué)感興趣，進(jìn)而開始自己獨(dú)立的思考這些問題，那就善莫大焉了~此外，我希望長尾科技的這篇文章也能多多少少改變一下大家對數(shù)學(xué)的看法：數(shù)學(xué)不等于計(jì)算，數(shù)學(xué)也不等于應(yīng)用，絕妙而深刻的數(shù)學(xué)思想（比如發(fā)現(xiàn)微分和積分是互逆過程）和嚴(yán)密的邏輯（如使用ε-δ定義極限）反而是更重要的。而且，數(shù)學(xué)的壯觀之美也往往需要站在后面兩個(gè)角度上才能體會到，我很難相信有人會覺得重復(fù)的做計(jì)算是很有趣的，這也是很多人不喜歡數(shù)學(xué)的原因。但是，我絕對相信那些真正認(rèn)識了數(shù)學(xué)的人，他們是發(fā)自內(nèi)心的覺得數(shù)學(xué)美麗動(dòng)人。并不是那些數(shù)學(xué)大神們很奇怪，而是他們確實(shí)看到了常人沒能看到的絕美風(fēng)景。
附：文章的正文部分到上面就講完了，下面我簡單地說一下我寫這篇文章時(shí)參考地一些比較好的微積分的書籍，以及大家如何配合這篇文章更深入地學(xué)習(xí)微積分。我這篇文章主要是沿著微積分的歷史來寫的，從阿基米德、牛頓-萊布尼茨到柯西-魏爾斯特拉斯和勒貝格，最后還講了一點(diǎn)魯濱遜的非標(biāo)準(zhǔn)分析，時(shí)間跨度有2200年。順著歷史，大家就會知道為什么數(shù)學(xué)家們會這樣想、這樣做，這樣就不會顯得很突兀。我很反感那種不加解釋，從天而降地拋出一個(gè)新概念，那種只告訴你是什么，不告訴你為什么的方式，這是對讀者和學(xué)生的不負(fù)責(zé)任。如果大家想進(jìn)一步了解微積分發(fā)展中更詳細(xì)的歷史，可以看看《微積分的歷程：從牛頓到勒貝格》（William Dunham）。這本書會列出微積分的發(fā)展過程中，一些主要人物的主要貢獻(xiàn)，除了我上面提的那幾個(gè)，他還會介紹伯努利兄弟、歐拉、黎曼、劉維爾、沃爾泰拉等人的工作，對我文章里提到了的那些人的工作，也會有更深一步的介紹。既有通俗的介紹，又有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓酵茖?dǎo)，配合我的文章享用，再合適不過了。關(guān)于微積分的學(xué)習(xí)，日本、美國和蘇俄的書籍各有特色。
不得不承認(rèn)，在科普這一塊，我們跟日本還是有很大的距離。日本有很多把高深數(shù)學(xué)、物理寫得非常通俗的科普書籍，如果你覺得科普書還不夠通俗，他們給你畫成漫畫，寫成小說。在微積分這里，比較有代表性的就是神勇正博的《簡單微積分》，簡直就是寫給小學(xué)生看的。當(dāng)然，這種書你就不能要求它有多嚴(yán)密了，這就是中小學(xué)生的微積分零基礎(chǔ)入門書。
這里以《普林斯頓微積分讀本》（Adrian Banner）為代表。這本書是正規(guī)教材，不是科普書了，但是它的通俗度跟科普書也有得一拼。美國的教材都很適合自學(xué)，因?yàn)樗鼈儠褑栴}都寫得非常清楚。《普林斯頓微積分讀本》不僅把內(nèi)容寫得清楚，還把你在學(xué)習(xí)中會經(jīng)常遇到的問題，容易犯的錯(cuò)誤，甚至還有你的心理活動(dòng)都給寫進(jìn)去，真正地細(xì)心體貼、關(guān)懷備至。這跟我們國內(nèi)教材“字字珠璣”，恨不得在短短篇幅里面把所有的“精華”的塞進(jìn)去，不要任何鋪墊形成了鮮明的對比。如果沒有好老師教，用國內(nèi)的教材會非常痛苦。
最讓我震撼的還是蘇俄的教材，當(dāng)然，我這里說的就是菲赫金哥爾茨的《微積分學(xué)教程》。在俄羅斯流傳著這樣一句話：只要莫斯科大學(xué)的數(shù)學(xué)系大樓不倒，俄羅斯就永遠(yuǎn)不會倒。前段時(shí)間華為那個(gè)“只會做數(shù)學(xué)，不會談戀愛”的俄羅斯小伙還火了一把，2003年解決龐加萊猜想的佩雷爾曼也是俄羅斯人，說明俄羅斯的數(shù)學(xué)還是有兩把刷子的。一般來說，一本教材的嚴(yán)密性和通俗性是很難做到兩全的，但是就《微積分學(xué)教程》做到了。這本宛如學(xué)術(shù)專著一般的教材，在嚴(yán)密性上自然無可挑剔，邏輯層層鋪墊、層層遞進(jìn)，自成體系，就像《幾何原本》一樣。然而，這本書里又有大量物理、幾何等例子，在解釋重要的數(shù)學(xué)思想時(shí)又會不惜筆墨用文字描述清楚，絕對不是“公式里來，公式里去”，這讓這本書又顯得非常通俗和實(shí)用。我在文章里寫的內(nèi)容，最后也以這本書為準(zhǔn)，比如文章里微分的定義我就是用的此書174頁的定義。這本書是我最喜歡的微積分教材，也是我心里一本理想教材該有的樣子，通俗實(shí)用卻又不失嚴(yán)密性，對于在數(shù)學(xué)上有理想有抱負(fù)的同學(xué)，這套書，力薦！（高等教育出版社只在這里有，《微積分學(xué)教程》有三卷，我這里只放第一卷，另外兩卷可以去書屋里查看）
