一．概念描述

現(xiàn)代數(shù)學(xué)：推理是形式邏輯術(shù)語(yǔ)，是一種重要的思維形式，即由一個(gè)或幾個(gè)已知命題推出一個(gè)新命題的思維形式。作為推理中所根據(jù)的若干個(gè)命題稱(chēng)為前提，根據(jù)前提得出的結(jié)果稱(chēng)為結(jié)論。例如：

①平行四邊形對(duì)邊相等，所以，有一組對(duì)邊不相等的四邊形不是平行四邊形；

②四邊形四個(gè)內(nèi)角和為360^度，平行四邊形是四邊形，所以，平行四邊形內(nèi)角和為360^度。

上面兩個(gè)例子都是推理。在“所以”前面的命題（判斷）都是前提，在“所以”后面的命題（判斷）是結(jié)論。推理形式是由作為前提的命題形式逐步得到作為結(jié)論的命題形式過(guò)程中的每一步。形式邏輯不研究推理的具體內(nèi)容，而只研究怎樣的推理形式才有效，即推理的合理性。研究作為前提的命題形式與作為結(jié)論的命題形式之間邏輯聯(lián)系的性質(zhì)及規(guī)律性。推理是由已知尋求未知的一種方法，也是證明的工具。

小學(xué)數(shù)學(xué)：小學(xué)數(shù)學(xué)教材并沒(méi)有明確給出推理的定義。不同版本的教材在不同領(lǐng)域都涉及了豐富的有關(guān)推理的教學(xué)內(nèi)容，以突出推理的重要價(jià)值。如很多教材安排的“你是怎么想的？”、“為什么會(huì)是這樣的？”、“你和他的想法一樣嗎？還有不同的方法嗎?”這些內(nèi)容，非常明顯地在鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行推理。教師則要充分地讓學(xué)生交流，以培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

二．概念解讀

推理的價(jià)值：推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要學(xué)習(xí)推理。具有一定的推理能力是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)課程和課堂教學(xué)的重要目標(biāo)。推理能力的發(fā)展應(yīng)該貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。

推理的分類(lèi)：一般包括演繹推理和合情推理兩種。

演繹推理：從已有的事實(shí)（包括定義，公理，定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算，法則，順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算，得到某個(gè)具體結(jié)論的推理。它的思維進(jìn)程是從一般到特殊。

合情推理：數(shù)學(xué)家喬治.波利亞對(duì)歸納推理，類(lèi)比推理等或然性推理（即推理的結(jié)論不一定成立的推理）的特稱(chēng)。它是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納，類(lèi)比等推斷某些結(jié)果，是一種合乎情理，好像為真的推理。

數(shù)學(xué)中，合情推理是多種多樣的，其中歸納推理和類(lèi)比推理是兩種用途最廣的特殊合情推理。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯說(shuō)：”甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的工具也是歸納和類(lèi)比。”

歸納推理：以個(gè)別（或特殊）的知識(shí)為前提，推出一般性知識(shí)為結(jié)論的推理。它的思維進(jìn)程是從特殊到一般。它具體可以分為：完全歸納推理和不完全歸納推理。如“商不變的性質(zhì)”，就是從幾個(gè)具體的除法計(jì)算所反映的共同特點(diǎn)推出一般性結(jié)論的，從而做出形式歸納：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)都乘或除以同一個(gè)數(shù)（0除外），商不變。

類(lèi)比推理：由兩個(gè)或兩類(lèi)思考對(duì)象在某些屬性上的相同或相似，推出它們的另一屬性也相同或相似的一種推理。它是從特殊到特殊的推理，如除法商不變的規(guī)律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和比的基本性質(zhì)之間的類(lèi)比。

推理與證明：推理與證明是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。能進(jìn)行推理是理解數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)證明則是一種表達(dá)特定推理過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒ā?shù)學(xué)推理與證明為人們探索和表達(dá)不同現(xiàn)象的內(nèi)在關(guān)系，提供了行之有效的方法。

三．教學(xué)建議

數(shù)學(xué)不僅需要演繹推理，同樣需要合情推理。教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比來(lái)大膽猜想，然后通過(guò)演繹推理證明猜想是否正確。

(1) 引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)或依據(jù)平日積累的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，發(fā)展合情推理能力

如孫貴合老師執(zhí)教“三角形邊的關(guān)系”一課時(shí)提出：三角形的一條邊長(zhǎng)12厘米，另兩條邊的和是14厘米，這兩條邊的長(zhǎng)度可以分別是多長(zhǎng)？學(xué)生開(kāi)始操作剪線(xiàn)段。接著，孫老師讓學(xué)生思考：什么時(shí)候能?chē)扇切危渴裁磿r(shí)候又不能?chē)扇切?？學(xué)生親自驗(yàn)證猜想。在觀察，實(shí)驗(yàn)，比較，交流中，學(xué)生歸納出任意兩邊之和大于第三邊就能?chē)扇切?，運(yùn)用了不完全歸納推理。教學(xué)中，我們應(yīng)該經(jīng)常開(kāi)展操作，實(shí)驗(yàn)，觀察等活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生合情推理的能力。

此外，在教學(xué)運(yùn)算律時(shí)，不少教師不僅出示課本中的例題，還啟發(fā)學(xué)生自己編制有關(guān)算式，通過(guò)觀察、比較、分析、交流，來(lái)發(fā)現(xiàn)并歸納出相關(guān)的運(yùn)算律。這些都有利于學(xué)生合情推理能力的提高。

(2)引導(dǎo)學(xué)生把自己推理的過(guò)程清晰表達(dá)出來(lái)

首先，要鼓勵(lì)學(xué)生清楚地表達(dá)推理過(guò)程。學(xué)生在有條理的表達(dá)中，鍛煉了思維的有序性。低年級(jí)教學(xué)中，教師就應(yīng)該幫助學(xué)生體會(huì)到推理和證明是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，如可以經(jīng)常追問(wèn)：“你是怎么想的？為什么認(rèn)為他的答案是正確的？還有不同答案嗎？”長(zhǎng)此以往，學(xué)生逐步體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是要講道理，要根據(jù)理由得出結(jié)論。再如第二學(xué)段，在學(xué)習(xí)“因數(shù)與倍數(shù)”時(shí)，教師可以問(wèn)學(xué)生：“不通過(guò)計(jì)算，直接判斷71643是不是3的倍數(shù)，你的根據(jù)是什么？”這種設(shè)問(wèn)本身就是培養(yǎng)學(xué)生演繹推理能力的良好例證。

其次，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，通過(guò)實(shí)驗(yàn)或者推理驗(yàn)證猜想。學(xué)生為了能清晰地表達(dá)自己的思考過(guò)程，通常需要用實(shí)物、圖畫(huà)、舉例等方式驗(yàn)證自己的猜想。如崔巖老師在執(zhí)教“探索規(guī)律”時(shí)，根據(jù)小花的排列規(guī)律，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想第21朵花是什么顏色，并想辦法證明猜想是正確的。由此，學(xué)生想到了擺實(shí)物、數(shù)數(shù)、畫(huà)圖、計(jì)算等多種方法驗(yàn)證猜想，并在交流中，有序地表達(dá)出自己的推理過(guò)程。

(3)有效評(píng)價(jià)學(xué)生的推理

為了發(fā)展學(xué)生的推理能力，教師應(yīng)努力對(duì)學(xué)生的推理進(jìn)行恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)，同時(shí)激發(fā)學(xué)生間的評(píng)價(jià)，如：“看，這個(gè)同學(xué)能用上“因?yàn)椤浴?”把自己的想法說(shuō)得多有條理呀！誰(shuí)能比他說(shuō)得更清楚？”通過(guò)有效評(píng)價(jià)，學(xué)生可以意識(shí)到如何清晰地表達(dá)自己的推理過(guò)程。久而久之，推理能力會(huì)逐漸得到提高。

四.推薦閱讀

(1)《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略》（張丹，北京師范大學(xué)出版社，2010）

該書(shū)的第三章主要從空間與圖形的角度論述了發(fā)展空間觀念和推理能力的策略。

(2)《美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》（全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)，人民教育出版社，2004）

該書(shū)介紹了美國(guó)課程標(biāo)準(zhǔn)中學(xué)前至十二年級(jí)對(duì)推理與證明的有關(guān)要求等。