抽象和推理是數(shù)學(xué)的顯著特征，與這兩個(gè)特征關(guān)聯(lián)的思想也就成為數(shù)學(xué)的核心思想，雖然抽象與推理密不可分，但是，二者對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展的功能和作用各有側(cè)重：通過“抽象”把外部世界引入數(shù)學(xué)，通過“推理”促進(jìn)數(shù)學(xué)本身的發(fā)展。

人們借助推理，把關(guān)系概念應(yīng)用于對(duì)象概念，得到數(shù)學(xué)基本命題。一般來說，形成推理模式以后有兩個(gè)好處和一個(gè)壞處，好處是便于使用和交流，壞處是限制發(fā)展。

數(shù)學(xué)推理模式本質(zhì)上有兩種，即演繹推理與歸納推理。雖然這兩種推理相互依存，但就數(shù)學(xué)結(jié)果的獲得而言，還是有所區(qū)別的。在一般情況下，人們是借助歸納推理“預(yù)測(cè)”數(shù)學(xué)結(jié)果，借助演繹推理“驗(yàn)證”數(shù)學(xué)結(jié)果。因此，就推理的功能而言，預(yù)測(cè)結(jié)果和推測(cè)原因

這兩種能力依賴的推理形式是歸納推理，而不是演繹推理，雖然數(shù)學(xué)不是實(shí)驗(yàn)科學(xué)，也不是經(jīng)驗(yàn)科學(xué)，但是，數(shù)學(xué)概念的形成依賴于經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)推理的過程依賴于思維。

這一輯討論演繹推理，這是一種形式確定、結(jié)果必然的推理。

前面我們?cè)懻摿藬?shù)學(xué)的抽象，在這一輯和下一輯中將討論數(shù)學(xué)的推理。很顯然，抽

象和推理都是數(shù)學(xué)的顯著特征，人們—談起數(shù)學(xué)首先想到的就是這兩個(gè)特征。所以，與這兩個(gè)特征關(guān)聯(lián)的思想也就成為了數(shù)學(xué)的基本思想。人們通過抽象，從日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中得到數(shù)學(xué)所要研究的基本概念和法則；人們通過推理，在基本概念和法則的基礎(chǔ)上得到數(shù)學(xué)的公式和命題。簡(jiǎn)而言之，人們通過“抽象”把外部世界引入數(shù)學(xué)，通過“推理”促進(jìn)數(shù)學(xué)本身的發(fā)展，當(dāng)然，我們不可能把這兩個(gè)功能截然分開，因?yàn)槌橄蟊厝灰柚评淼姆椒?，而推理又必然要借助抽象的思維。

回憶《數(shù)學(xué)的抽象》中的討論，人們通過抽象得到的數(shù)學(xué)的基本概念包括對(duì)象概念和關(guān)系概念。對(duì)象概念是指：數(shù)學(xué)所要研究的那些東西，比如自然數(shù)、實(shí)數(shù)、點(diǎn)、線、面等等；關(guān)系概念是指：表示對(duì)象之間關(guān)系的邏輯術(shù)語，這些術(shù)語具有因果、轉(zhuǎn)折、遞進(jìn)、對(duì)比、補(bǔ)

充、選擇等功能，比如存在、相等、屬于、介于、所以等等。于是，我們可以得到數(shù)學(xué)流程的最基本形態(tài)：借助推理把關(guān)系概念應(yīng)用于對(duì)象概念，得到數(shù)學(xué)基本命題。

推理是一種思維過程，在現(xiàn)代社會(huì)，我們談及的思維過程往往都是很復(fù)雜的，讓人望而生畏。即便如此，我們?nèi)匀幌Ｍ褦?shù)學(xué)推理的思維過程條理化。關(guān)于思維過程，或者說，關(guān)于推理過程的有關(guān)問題，我們先回顧一下笛卡爾(1596-1600)的建議，他在《探求真理的指導(dǎo)原則》的第六個(gè)原則中說：

“要從錯(cuò)綜復(fù)雜的事物中區(qū)別出最簡(jiǎn)單事物，然后進(jìn)行有秩序的研究。這就要求我們?cè)谀切┮呀?jīng)通過演繹得到真理的推理過程中，觀察哪一個(gè)事物是最簡(jiǎn)單項(xiàng)，以及觀察這個(gè)項(xiàng)與其他項(xiàng)之間關(guān)系的遠(yuǎn)近，或者相等。”

笛卡爾非常推崇這個(gè)原則，認(rèn)為這個(gè)原則是他這篇論文中最有用的，是揭示科學(xué)奧秘的基本方法。事實(shí)上，笛卡爾提倡的方法的實(shí)質(zhì)就是，把要進(jìn)行推理的事物排成一個(gè)系列，然后找出系列中的最簡(jiǎn)單項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)判斷。

對(duì)數(shù)學(xué)而言，笛卡爾所說的系列就是由條件出發(fā)最后得到結(jié)論的證明過程。在大多數(shù)的情況下，這個(gè)證明過程是由一些基本推理首尾連接而形成的。所謂基本推理是指由一個(gè)命題或者幾個(gè)命題出發(fā)，得到另一個(gè)命題的思維路徑，其中所謂的命題是指一種可以肯定或者否定的語句。這樣，我們就可以把基本推理解為：由一個(gè)或者幾個(gè)“是非判斷”到另一個(gè)“是非判斷”的思維路徑。其中，基本推理就是數(shù)學(xué)證明過程中的基本元素，這個(gè)基本元素可能就是笛卡爾所說的最簡(jiǎn)單項(xiàng)。

因此，為了保證整個(gè)證明過程的正確性，首先必須保證基本推理的正確性，也就是通常所說的，我們必須保證基本推理符合邏輯，因?yàn)檫壿媽W(xué)是一門關(guān)于區(qū)分正確推理與不正確推理的原理和方法的學(xué)問?？梢栽O(shè)想，被現(xiàn)代人們廣泛認(rèn)同的邏輯準(zhǔn)則，最初只是一些符合常理的推理方法，經(jīng)過日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐的長(zhǎng)期檢驗(yàn)，通過歸納整理逐漸形成了準(zhǔn)則。因此，我們?cè)谶@一輯中所述說的基本推理大多數(shù)是一些已經(jīng)成型了的、符合邏輯準(zhǔn)則的推理模式。在科學(xué)技術(shù)如此發(fā)達(dá)的今天，要?jiǎng)?chuàng)造出新的、被人們廣泛認(rèn)可的思維模式是一件非常困難的事情。

一般來說，形成推理模式以后有兩個(gè)好處和一個(gè)壞處。兩個(gè)好處是：便于使用和便于交流，所謂便于使用，是因?yàn)樾纬赡Ｊ降臇|西是經(jīng)過檢驗(yàn)的，使用時(shí)不必重新考慮推理的合理性；所謂便于交流，是因?yàn)橐粋€(gè)思維過程一旦形成模式就規(guī)范了，甚至可以形成專門的術(shù)語和符號(hào)，這便于述說和理解。一個(gè)壞處是：限制發(fā)展。一個(gè)東西一旦形成模式就難以突破，在一般情況下，人們還是習(xí)慣于因循守舊，不到不得不作為的程度，人們是不會(huì)輕易打破傳統(tǒng)的，因?yàn)閭鹘y(tǒng)凝聚了祖先對(duì)生存環(huán)境的適應(yīng)。

對(duì)于數(shù)學(xué)，本質(zhì)上有兩種推理模式，一種是演繹推理，一種是歸納推理。事實(shí)上，這兩種推理模式不僅僅在數(shù)學(xué)、在自然科學(xué)，甚至在社會(huì)科學(xué)以及人們的日常生活中都是最基本的，正如愛因斯坦(1879～1955)曾經(jīng)說過的：

“西方科學(xué)的發(fā)展是以兩個(gè)偉大成就為基礎(chǔ)，那就是：希臘哲學(xué)家發(fā)明的形式邏輯體系（在歐幾里得幾何學(xué)中），以及通過系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有可能找出因果關(guān)系（在文藝復(fù)興時(shí)期）。在我看來，中國(guó)的賢哲沒有走上這兩步，那是用不著驚奇的，令人驚奇的倒是這些發(fā)現(xiàn)（在中國(guó)）全都做出來了?！?/p>

愛因斯坦所說的兩個(gè)偉大成就，前者指的是演繹推理，后者指的是歸納推理。從上文中可以看到，愛因斯坦對(duì)于中國(guó)的了解是不夠的，從另一個(gè)角度也說明了，中國(guó)的學(xué)者們沒有很好地歸納整理古代賢者們的思想脈絡(luò)，使得西方的學(xué)者們不能很好地把握。我確信，中國(guó)古代如此燦爛的文化是不可能離開推理的。

關(guān)于愛因斯坦說的那兩個(gè)偉人成就，美籍華人科學(xué)家楊振寧說得更為明確，他在《我的生平》中說：

“我很有幸能夠在兩個(gè)具有不同文化背景的國(guó)度里學(xué)習(xí)和工作，我在中國(guó)學(xué)到了演繹能力，我在美國(guó)學(xué)到了歸納能力?！?/p>

這里的演繹能力和歸納能力分別是指使用演繹推理的能力和使用歸納推理的能力。

現(xiàn)在，簡(jiǎn)單分析上述兩種推理模式在數(shù)學(xué)推理中的功能?；貞浳覀?cè)凇稊?shù)學(xué)的抽象》中的總結(jié)：人們往往是通過直觀來預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)的結(jié)果，然后通過證明來驗(yàn)證數(shù)學(xué)的結(jié)果，其中直觀借助的推理模式主要是歸納推理，證明借助的推理模式主要是演繹推理，這樣，就可以用非常直白的語言來述說數(shù)學(xué)結(jié)果的推理的過程：從條件出發(fā)，借助歸納推理“預(yù)測(cè)”數(shù)學(xué)結(jié)果，借助演繹推理“驗(yàn)證”數(shù)學(xué)結(jié)果，當(dāng)然在驗(yàn)證的過程中需要適當(dāng)?shù)卣{(diào)整“給定的條件”和“預(yù)測(cè)的結(jié)果”，我再次強(qiáng)調(diào)，上面的述說是針對(duì)一般情況而言的，我們不能排除有特殊情況的出現(xiàn)。

因此，這兩種推理模式都是非常重要的，都應(yīng)當(dāng)在數(shù)學(xué)教育中得到充分的重視，但是，在我們現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教學(xué)中，需要論證的結(jié)果往往都是書本或者教師事先給定的，并且是一絲不差地給定的，因此，學(xué)生們的工作只是借助演繹推理來驗(yàn)證這些事先給定結(jié)果的正確性。可以看到，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)是不全面的，這樣的數(shù)學(xué)教育沒有培養(yǎng)學(xué)生通過條件預(yù)測(cè)結(jié)果的

能力，也沒有培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)結(jié)果推測(cè)原因的能力，而“預(yù)測(cè)結(jié)果”的能力和“推測(cè)原因”的能力恰恰是創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)，是不能忽視的，為此，我們必須有意識(shí)地設(shè)計(jì)一些數(shù)學(xué)的教學(xué)過程，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的這兩種能力。從本質(zhì)上說，預(yù)測(cè)結(jié)果和推測(cè)原因這兩種能力所依賴的思維方法是歸納推理，而不是演繹推理。

我們?cè)谶@一輯討論演繹推理，在下一輯討論歸納推理。雖然從邏輯層面上看，似乎應(yīng)當(dāng)先討論發(fā)現(xiàn)結(jié)果所需要的歸納推理，然后再討論論證結(jié)果所需要的演繹推理，但是，作為一種推理形式，更便于表述的是演繹推理。我想，這也是為什么演繹推理的模式要比歸納推理的模式更早地被總結(jié)出來的原因。對(duì)于這兩種推理模式，我們都將先討論具體的推理方法，在對(duì)具體的方法有所了解的基礎(chǔ)上，再回過頭來分析推理過程中涉及的重要概念以及這些概念的內(nèi)涵與外延，也就是說，我們先建立推理方法的直觀基礎(chǔ)，然后再嘗試地分析推理方法本身的合理性。

我們不準(zhǔn)備討論推理方法中的哲學(xué)問題，比如命題判斷的標(biāo)準(zhǔn)是如何存在的以及命題判斷的路徑是不是先驗(yàn)的等等諸如此類的問題，因?yàn)檫@些問題與我們?cè)?jīng)用很大的篇幅討論過的“抽象了的東西是如何存在的”這個(gè)命題是相似的，我們?cè)谄渲锌梢哉业絾栴}的答案。數(shù)學(xué)不是實(shí)驗(yàn)科學(xué)，也不是經(jīng)驗(yàn)科學(xué)，但是，數(shù)學(xué)概念的形成依賴于經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)推理的過程依

賴于思維。雖然思維本身是無形的，但是，正如恩格斯(1820～1895)在《自然辯證法》中所談到的：

“我們的主觀的思維和客觀的世界服從于同樣的規(guī)律，因而兩者在自己的結(jié)果中不能相互矛盾，而必須彼此一致，這個(gè)事實(shí)絕對(duì)地統(tǒng)治著我們的整個(gè)理論思維，它是我們的理論思維的不自覺的和無條件的前提。”

我們生活在地球上，我們是“這個(gè)”世界的產(chǎn)物，因此，正確的思維就是指那些能夠合同于“這個(gè)”世界的思維，能夠合同于“這個(gè)”世界已經(jīng)存在了的規(guī)律的思維，因此，我們?cè)谶@里的目的就是分析：在數(shù)學(xué)的論證過程中，分析問題的思維應(yīng)當(dāng)如何合同于“這個(gè)”世界已經(jīng)存在了的規(guī)律，就像恩格斯所說的那樣，不要使思維過程與客觀規(guī)律矛盾。

為了討論問題的方便，我們初步定義數(shù)學(xué)中的演繹推理為：按照某些規(guī)定了的法則所進(jìn)行的、前提與結(jié)論之間有必然聯(lián)系的推理。因?yàn)閿?shù)學(xué)的結(jié)論大體上可以分為命題結(jié)論和運(yùn)算結(jié)論，那么針對(duì)數(shù)學(xué)的演繹推理而言，大體就可以分成兩個(gè)部分：命題推理和運(yùn)算推理。