這是《機器學習中的數(shù)學基礎》系列的第15篇，也是微積分的第8篇。

一說起均值，大家會覺得，這還不簡單嗎？加起來除以個數(shù)不完了嗎？是的，但這是對于離散變量而言。舉個例子，小明有3門課分別考了60、80、70分，那小明平均考了多少分呢？（60 80 70）/3=70。很簡單，對吧。

那現(xiàn)在我有一個函數(shù)y=f(x)，我想求它在區(qū)間[a,b]上的均值，該怎么辦呢？如下圖：

要知道，a、b之間的點有無窮多個，對應的值也有無窮多個，我總不能用∞/∞來計算均值吧。那到底該怎么做呢？別慌，看下圖：

我們把區(qū)間[a,b]等分為n個點，每個點之間的間距都是dx，那么點的個數(shù)n=(b-a)/dx。我們就先求這n個點的均值，很簡單，n個點對應的高度之和除以n就是均值了。我們用公式來表示下，就是(y1 y2 ... yn)/n （1）。其中y1、y2...yn分別是n個點對應的函數(shù)值。

ok，之前我們已經(jīng)知道，n=(b-a)/dx，代入到（1）式，那么n個點的均值就是(y1 y2 ... yn)/[(b-a)/dx]，我們把dx翻上去，寫成(y1 y2 ... yn)dx/(b-a)。把分子展開，就是(y1dx y2dx ... yndx)/(b-a)。

神奇的一幕即將發(fā)生！y1dx在圖2中代表什么呢？代表一個矩形的面積，這個矩形的長是函數(shù)值y1，寬是dx。那么y1dx y2dx ... yndx又代表什么呢？代表曲線下a、b區(qū)間內(nèi)很多小長方形的面積，這些小長方形的長就是n個點分別對應的函數(shù)值，而寬都是dx。當n越來越大時，或者說當dx→0時，我們就認為長方形的面積之和就是曲線下[a,b]區(qū)間內(nèi)的面積。別忘了，這部分面積可以用我們上一篇講過的積分來求，也就是：∫f(x)dx（在[a,b]區(qū)間的積分）。

因此，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的均值就可以表示為：

我們假設函數(shù)f(x)的原函數(shù)為F(x)，因此上式又可表示為：

這是啥？這不就是原函數(shù)F(x)在a、b兩點之間的斜率嗎？如下圖：

那為什么會這樣呢？我們知道，導數(shù)可以直觀理解為斜率。F(x)的導數(shù)是f(x)，我們想要求f(x)在[a,b]的均值，也就是求F(x)的斜率在[a,b]的均值。那F(x)的斜率從a變化到b，就相當于a、b兩點之間的斜率(F(b)-F(a))/(b-a)。

好了，這就是今天的全部內(nèi)容，歡迎留言討論。