積分到底是不是求和？

學了微積分的朋友，應(yīng)該都知道積分定義是微積分中最龐大的定義，由"分割"、"取值求近似值"、"求和"、"求極限"四個步驟組成，這里分割的任意性，取值的任意性更是讓積分概念顯得復雜，近似值的形式不同也有不同的形式，而求極限和普通的函數(shù)、數(shù)列極限又完全不同，因為其極限的自變量是分割后的最大的小區(qū)間的長度，這個長度其實很難和最終的和式有明顯的關(guān)系。只有等分之后把區(qū)間長度用關(guān)于n的式子表示出來才把變量為區(qū)間長度的和式極限變成變量為自然數(shù)的和式極限，這樣就可以使用數(shù)列極限進行計算了。

從整個定義當中，求和和和式極限并不難理解，但是等分這種特殊分法是建立在可積分的前提下，才能不考慮分割和取值，其最終的和式極限都相等。而可積函數(shù)類的證明幾乎所有的高等數(shù)學的教程中都沒有說，一般情況下直接給出連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間可積、有界函數(shù)在有限個間斷點的閉區(qū)間可積的結(jié)論，這里證明比較復雜也不多說了。

我們的一切方法都是建立在函數(shù)可積的基礎(chǔ)之上的，對于當下學的函數(shù)類來說這兩類函數(shù)已經(jīng)夠用了，未來只需要注意函數(shù)類的擴張即可。

在我們看到的定積分的定義中，幾乎就是求和、求極限，我們似乎并沒有感覺到有什么太大的差別。我們?nèi)绻堰@個過程用微元法中的"微元"去思考的時候，我們發(fā)現(xiàn)積分中的"和"與普通的"和"差別非常之大。

我們知道微元法中的微元是把所有的分割都看出一樣，最終長度都"0"，以曲邊梯形面積為例，我們把所有的分割得到的窄的小曲邊梯形都看成和高為函數(shù)值f（x），底為dx的矩形近似相等。當dx趨向于0的時候，小曲邊梯形和小矩形都變成了高為f（x），底為0圖形，也就是線段，這個時候二者是相等的。我們的微元f（x）dx就是一個面積為零的線段了。這個時候把區(qū)間[a,b]中所有的微元相加就成為了區(qū)間[a,b]的定積分。

這個過程我們在幾何中經(jīng)常聽說，比如"線動成面"、"面動成體"，其實這個線就是面中的微元，微元具有線和面的雙重特征。但是這個時候"加"微元就變得比較麻煩了，在和式極限中的"和"，是離散的"相加"，我們都非常習慣，即便是求極限也只是把這種相加的過程變成無限多次罷了，似乎并沒有太多改變。而微元相加則是一種連續(xù)性的"相加"，這時候就非常像"飛矢不動"這個悖論了，我們幾乎沒有辦法按照"離散"相加一個一個把微元加起來。

其實我們應(yīng)該意識到，這種連續(xù)性的微元用"相加"這個詞是有些不恰當?shù)?，或許"積"來刻畫這種情況比較合適。

當然有同學會問，為何積分定義中的積分和是離散的，且極限也可以變?yōu)閿?shù)列極限呢？其實這都是積分概念中兩個任意：任意分割，任意取值給我們帶來的便利，使得我們可以把積分和寫得比較簡單，也可以讓我們把以區(qū)間長度為變量的極限變成以自然數(shù)n為變量的數(shù)列極限。當然這一切都歸功于這個被積函數(shù)是可積的才行，而兩類被積函數(shù)才使得我們不管怎么分割不管如何取值極限都是一樣的。有趣的是，我們并沒有證明這兩類可積函數(shù)類是否可積。有興趣的同學可以查閱資料看看到底需要什么樣知識儲備才可以證明出來。

看到這里，或許我們應(yīng)該知道"和"與"積"的差別了吧！

作者：虹野

編輯：虹野