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直觀推導“歐拉公式” 不論是高等數(shù)學還是大學物理，歐拉公式都如影隨形。因為其重要性和劃時代意義，Euler Formula(歐拉公式)有著很多了不起的別稱，例如“上帝公式”、“最偉大的數(shù)學公式”、“數(shù)學家的寶藏”等等。 Leonhard Euler (1707-1783) (圖片來源：Wikipedia) 歐拉公式在數(shù)學、物理和工程領(lǐng)域應用廣泛。物理學家理查德·費曼(Richard Phillips Feynman)將歐拉公式稱為：“我們的珍寶”和“數(shù)學中最非凡的公式”。 法國數(shù)學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon marquis de Laplace)曾這樣評價歐拉對于數(shù)學的貢獻：“讀歐拉的著作吧，在任何意義上，他都是我們的大師”。 這個發(fā)表于公元1748年的數(shù)學公式，將三角函數(shù)與復指數(shù)函數(shù)巧妙地關(guān)聯(lián)了起來。 其中，e 為自然常數(shù)，i 為虛數(shù)，x 則是以弧度為單位的參數(shù)（變量）。 尤其是當參數(shù)x 等于π 的時候，歐拉公式可簡化成為： 上式將5個微妙且看似無關(guān)的數(shù)學符號e、i、π、0、1緊密地聯(lián)系了起來，其美妙之處讓人稱絕。e、i、π 及弧度制的詳細介紹及直觀推導請分別參見：
萊昂納德·歐拉簡介 萊昂納德·歐拉(Leonhard Euler) 1707年生于瑞士巴塞爾，他的父親保羅(Paul Euler)是一位基督教牧師，他父親原本也想將歐拉培養(yǎng)為一名牧師。 但巧的是他的父親與伯努利家族關(guān)系很不錯，而伯努利家族是17?18世紀瑞士的一個赫赫有名的家族，其中出了很多著名的數(shù)理科學家。伯努利原籍比利時安特衛(wèi)普，1583年遭天主教迫害遷往德國法蘭克福，最后定居瑞士巴塞爾。其中以雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli），約翰·伯努利（Johann Bernoulli），丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）這三人的成就最大。雅可比·伯努利是約翰·伯努利的哥哥，也就是首此發(fā)現(xiàn)自然常數(shù)e 的那位。而丹尼爾·伯努利是約翰·伯努利的兒子。 約翰·伯努利很早就看出了幼年歐拉的數(shù)學天賦，他勸說歐拉的父親保羅，讓歐拉從事數(shù)學研究領(lǐng)域的工作，并使他相信歐拉注定能成為一位偉大的數(shù)學家。 因此，13歲時就進入了巴塞爾大學學習的歐拉，雖然按照他父親的意愿主修哲學和法律，并進入了神學系，但在每周星期六下午便跟隨當時歐洲最優(yōu)秀的數(shù)學家約翰·伯努利學習數(shù)學。 同一時期，約翰·伯努利的兩個兒子——丹尼爾·伯努利和尼古拉·伯努利（Nicolas Bernoulli）——在位于俄國圣彼得堡的俄國皇家科學院工作。在尼古拉因闌尾炎于1726年7月去世后，丹尼爾便接替了他在數(shù)學/物理學所的職位，同時推薦歐拉到數(shù)學/物理學所工作。 St. Petersburg Academy of Science (圖片來源：Wikipedia) 考慮到當時俄國的持續(xù)的動亂，歐拉在1741年離開了圣彼得堡，到柏林科學院就職。 Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften (圖片來源：Wikipedia) 在柏林，他出版了他最有名的兩部作品：一部關(guān)于函數(shù)方面出版于1748年的《無窮小分析引論》和一部是關(guān)于微積分出版于1755年的《微積分概論》。在《無窮小分析引論》(Introduction to Analysis of the Infinity)中，歐拉提出了著名的“歐拉公式”。 開頭介紹了歐拉公式的一種通用寫法是： 其將復指數(shù)與正弦、余弦函數(shù)聯(lián)系了起來。那么這是如何做到的？能否更加直觀一點呢？ 通常書本上給出的都是歐拉公式的驗證而不是推導，例如，很多人會說：只要分別將兩邊的自然指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)用泰勒級數(shù)展開，即可得出兩邊相等的結(jié)論，但這只是驗證而非真正的推導，就連《費曼物理學講義》里面的計算也是如此。 為了讓其更加易于理解，這里試著用直觀的方式給予推導！ 首先，需要記住的一點是：Euler方程等號兩邊都可以看作是描述在一個圓上的位置或者運動。 如果我們用三角函數(shù)去描述圓心在復平面原點處的單位圓上的位置或圓周運動軌跡，當圓弧角為x 弧度時，如圖有： (圖片來源: betterexplained)
因此采用復數(shù)cos(x)+i·sin(x)，即可描述單位圓周上點的位置或運動軌跡。 用復數(shù)來描述坐標還比較好理解，那么歐拉公式左邊的復指數(shù)又代表的是什么呢？（由于歐拉公式左邊復指數(shù)中的實部為零，只包含虛部，因此也可以稱之為虛指數(shù)） 先舉個與實指數(shù)相關(guān)的例子，當看到34時，你可以把它看作是4個3連乘，但也可以換一個角度看。因為作為底數(shù)來說，e 作為自然底數(shù)，是所有連續(xù)復利增長過程都共有的基本屬性，其內(nèi)涵的是單位數(shù)量在經(jīng)過單位時間增長率為100%的連續(xù)復利增值后的最終結(jié)果，“連續(xù)復利”的定義請見：《自然常數(shù)e到底自然在哪？》。 我們可以將34改寫為eln(3)·4，其數(shù)學內(nèi)涵可以解釋為：單位數(shù)量在單位時間增長率為ln(3)的連續(xù)復利情況下，經(jīng)過4個單位時間增長后的最終結(jié)果。 通式可以寫為：Q=erate·time。 其中，rate表示單位時間的增長率，time表示經(jīng)歷了多少個單位時間的增長，而Q 表示最終增長結(jié)果是初始值的多少倍。 因此，跳開數(shù)值本身的大小問題，我們把“乘以實指數(shù)”看成是初始值的一種“增長”或者說是對初始值的一種“推動”作用（這里的“初試值”是具有大小和方向?qū)傩缘摹皬蛿?shù)”，復數(shù)包含實數(shù)和虛數(shù)，表達式可寫為：復數(shù)=實部+i·虛部）。 例如實數(shù)3，可將其看做是：單位時間增長率為ln(3)≈1.1，初始值以該增長率連續(xù)復利增長，經(jīng)過單位時間后最終結(jié)果將是eln(3)·1=3。 這里先只考慮了增長率為實數(shù)時的增長作用，而以實數(shù)為增長率的這種“增長”或“推動”是沿著初始值的方向進行的（復數(shù)可以看作是復平面上的矢量，因此具有方向?qū)傩裕?/span> (圖片來源: betterexplained) 而虛指數(shù)所帶來的增長作用就和實指數(shù)有所不同，虛指數(shù)的增長作用的方向與初始值的方向垂直，且隨著數(shù)值的變化始終保持著這種垂直的關(guān)系，詳情請見：《虛數(shù)i真的很“虛”嗎？》。這種增長方式并不改變數(shù)的大小，而只改變復數(shù)的方向！例如，讓任何數(shù)乘以虛數(shù)i，都不會改變數(shù)的大?。ɑ蚰ｉL），而是改變數(shù)的方向。 在《自然常數(shù)e到底自然在哪？》中已經(jīng)給出了自然底數(shù)e的定義式： 不過在上式中，我們假設(shè)的增長率為實數(shù)，但是，如果增長率為虛數(shù)呢？
其增長的示意圖如下圖所示：
(圖片來源: betterexplained) 現(xiàn)在，“新的增長率”其實一直是沿著復數(shù)的垂直方向。并且這并不會改變復數(shù)的長度，但有人會提出質(zhì)疑，因為上圖所示的示意圖是由一個個直角三角形組成，斜邊當然比直角邊更大。 但要知道，我們正在處理的是一個極限問題，當n→∞（其實n可以看作到達最后結(jié)果所經(jīng)歷的增長步數(shù)，這個增長步數(shù)是我們?nèi)藶樵O(shè)定的，上圖中的每個藍色的直角邊都代表一步），則藍色的直角邊將越接近斜邊。 最終將得到的結(jié)果是：復數(shù)長度（模長）不變的連續(xù)旋轉(zhuǎn)。這是處理其與正弦、余弦之間關(guān)系的核心概念，當復數(shù)的增量始終與復數(shù)的方向保持垂直，得到的軌跡必將是一個圓！ 下面用公式來證明這一過程：
復數(shù)的模長為實部平方與虛部平方的和的平方根；轉(zhuǎn)角為虛部除以實部的反正切值。
對于上式，如果n=1，則為1+i；（注意復數(shù)的運算法則是：所有模長增量相乘得到最終模長；所有轉(zhuǎn)角增量相加得到最終轉(zhuǎn)角）
如果上式中n=2，則為(1+i/2) 2；
即將n=1的一步完成增長變?yōu)榱?/span>n=2的兩步完成增長。 那么當n→∞時，分步增長就變成了連續(xù)增長問題；
實際上就是復數(shù)1+i·0逆時針旋轉(zhuǎn)，每一小步的增長方向都和復數(shù)指向方向垂直，且保證模長不變，因此極限狀態(tài)就是圓周運動，最后轉(zhuǎn)動角度為1弧度。 即ei=cos1+i·sin1。 那對于更為普遍exi 呢？當n→∞時；
實際上也是復數(shù)1+i·0逆時針不斷旋轉(zhuǎn)，每一小步的轉(zhuǎn)動方向都和復數(shù)指向方向垂直，且保證模長不變，因此極限狀態(tài)也是圓周運動，所以當然可以用歐拉公式等號右邊三角函數(shù)法定義的單位圓周上的點來完全等效（注意：這里的x 都采用弧度制）。 即exi=cosx+i·sinx 如果 x 是隨時間線性變化的參數(shù)，則可以得到以下三維等徑螺旋線，該螺旋線在復平面上的投影是一個圓，投影點在圓上的運動為勻速圓周運動。
（圖片來源：Brilliant） |
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