我思故我在！——笛卡爾

如今對(duì)于有點(diǎn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的人來(lái)說(shuō)，都知道復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的擴(kuò)展，實(shí)數(shù)加上虛數(shù)就組成了完整的二維數(shù)——復(fù)數(shù)。

虛數(shù)的幾何意義：虛數(shù)是垂直于實(shí)軸的另外一維數(shù)的，和實(shí)數(shù)組成二維數(shù)，稱(chēng)作復(fù)數(shù)，并定義-1的二次根號(hào)正值為虛數(shù)單位，用i表示。

虛數(shù)單位的定義

然而，你不知道的是，在中學(xué)課堂，我們把虛數(shù)單位垂直實(shí)軸立起來(lái)，或許老師只花了一句話，但虛數(shù)的歷史卻花了數(shù)學(xué)家200多年。

今天，我就來(lái)給大家細(xì)數(shù)，那些不同尋常的數(shù)學(xué)故事。

虛數(shù)的第一次出現(xiàn)，應(yīng)該要從三次方程的解法講起。

缺項(xiàng)三次方程的求根公式最早是費(fèi)羅（Scipione del Ferro，1465-1526）得到，后來(lái)1535年豐塔納（Niccolo Fontana，1500-1557）也獨(dú)立得到了這個(gè)公式，但兩人都沒(méi)有發(fā)表，而是當(dāng)作一項(xiàng)優(yōu)勢(shì)技能，去挑戰(zhàn)其他數(shù)學(xué)家，以此來(lái)獲得榮譽(yù)和獎(jiǎng)金，這在我們現(xiàn)在看來(lái)是不可思議的。

后來(lái)，數(shù)學(xué)家卡爾丹（1501-1576）有幸得知豐塔納得到了三次方程的求根公式，于是卡爾達(dá)諾去請(qǐng)求豐塔納告知三次方程的解法，在卡爾丹的多次請(qǐng)求下，豐塔納告訴了他求解公式，但并未傳授他公式的推導(dǎo)過(guò)程，并要求他發(fā)誓嚴(yán)守三次方程解法的秘密。

后來(lái)，卡爾丹有幸看到了費(fèi)羅的遺稿，他覺(jué)得自己再也沒(méi)有必要受誓約限制了，因?yàn)橘M(fèi)羅才是第一個(gè)發(fā)現(xiàn)缺項(xiàng)三次方程求根公式的人，于是他在1545卡爾丹發(fā)表了自己的著作《大衍術(shù)》，也稱(chēng)《大術(shù)》，在書(shū)中卡爾丹把求解推廣到了一般三次方程，并發(fā)表了著名的缺項(xiàng)三次方程求根公式，這個(gè)公式就是著名的——卡爾丹公式。（后來(lái)豐塔納覺(jué)得自己被欺騙了，于是對(duì)卡爾丹發(fā)起了狂風(fēng)暴雨般的訴訟，告他剽竊）

歷史留給后人評(píng)判，我們來(lái)看他的缺項(xiàng)三次方程求根公式：

卡爾丹的缺項(xiàng)三次方程求根公式

我們把缺少2次項(xiàng)的三次方程叫做缺項(xiàng)三次方程，對(duì)于一般三次方程，我們只需要做變量替換（x=y-a/3）就可以把一般方程變成缺項(xiàng)方程，這將大大化解我們的求解難度。

如果我們對(duì)三次方程稍作研究，很容易發(fā)現(xiàn)三次方程必定有一個(gè)實(shí)數(shù)解（三次方程的曲線必定穿過(guò)橫坐標(biāo)），而卡爾丹公式就給出了這個(gè)解，另外兩個(gè)解可以利用長(zhǎng)除法化解成二次方程。

但是卡爾丹公式里面，隱藏著一條惡龍：因?yàn)橐环矫?，這個(gè)公式得到的，肯定是三次方程的一個(gè)解；另一方面，兩個(gè)二次根號(hào)下面卻有可能得到一個(gè)負(fù)值。

在十六世紀(jì)，對(duì)負(fù)數(shù)開(kāi)根號(hào)對(duì)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)是不可能的，他們會(huì)隨手把這個(gè)結(jié)果扔進(jìn)垃圾桶，認(rèn)為是不可約的情況。

幾十年來(lái)，數(shù)學(xué)家都琢磨不透卡爾丹公式中出現(xiàn)的負(fù)數(shù)開(kāi)根號(hào)的問(wèn)題，直到1572年，意大利工程師邦貝利（Rafacl Bombelli，1526-1572）首次嘗試去解釋卡爾丹公式里面“惡龍”的真正機(jī)制，這讓他名垂青史，他出版的《代數(shù)學(xué)》中，他例舉了這個(gè)方程：

x^3-15x+4=0；

稍微琢磨一下，我們就能得到x=4是方程的一個(gè)解，利用長(zhǎng)除法，很容易解出另外兩個(gè)根x=-2±√3。（站在我們現(xiàn)在的角度，三個(gè)根都是實(shí)數(shù)。）

那么帶入卡爾丹公式會(huì)怎樣呢！

帶入求根

出現(xiàn)了負(fù)數(shù)的開(kāi)根號(hào)，對(duì)于當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)就是噩夢(mèng)，會(huì)認(rèn)為此方程不可約。但邦貝利那偉大的洞察力，看出了這個(gè)怪異的表達(dá)式后面的真正面目。（在我們現(xiàn)在看來(lái)，其實(shí)就是兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)相加，但我們是站在“后世諸葛亮”的角度）

邦貝利巧妙地利用待定系數(shù)的辦法，把上面等式化解成：

邦貝利得到的結(jié)果

至此，卡爾丹公式給出了不可約情況下的正確解：x=4；

這可是個(gè)了不起的發(fā)現(xiàn)，對(duì)負(fù)數(shù)的開(kāi)根號(hào)，居然可以加入運(yùn)算，并且最終得到了一個(gè)正確結(jié)果，這對(duì)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，無(wú)疑是發(fā)現(xiàn)了個(gè)“金礦”。

但這時(shí)的數(shù)學(xué)家，還是沒(méi)有弄明白負(fù)數(shù)開(kāi)根號(hào)的幾何意義，因?yàn)橐溃芽枺?596-1650）還沒(méi)發(fā)明坐標(biāo)系前，數(shù)學(xué)的全部幾乎就是幾何學(xué)，任何數(shù)學(xué)概念，只有找到幾何意義，數(shù)學(xué)家們才能理解。

偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡爾

然而虛數(shù)開(kāi)根號(hào)幾何意義，數(shù)學(xué)家們又探索了100多年，期間無(wú)數(shù)大數(shù)學(xué)家，牛頓，萊布尼茨，笛卡爾，甚至是歐拉這樣的大數(shù)學(xué)家，也沒(méi)能解開(kāi)虛數(shù)的真正意義（虛數(shù)一詞是笛卡爾發(fā)明的，用“i”表示是歐拉發(fā)明的）。

有人會(huì)說(shuō)，歐拉不是發(fā)現(xiàn)了著名的歐拉等式：

歐拉恒等式

難道他也沒(méi)弄明白，可以明確地告訴你——是的，歐拉也沒(méi)弄明白虛數(shù)“i”的幾何意義。

如果你去了解歐拉推導(dǎo)歐拉恒等式的歷史，你會(huì)知道歐拉是從正余弦的級(jí)數(shù)展開(kāi)推導(dǎo)出來(lái)的，并非是從虛數(shù)i的幾何意義推導(dǎo)而來(lái)，但這并不影響他對(duì)虛數(shù)的使用。

直到歐拉（1707-1783）去世后十多年，這個(gè)問(wèn)題突然被挪威的一名工程師韋塞爾（Caspar Wessel，1745-1818）解決了，1799年韋塞爾得到丹麥皇家科學(xué)院的支持，在院刊上發(fā)表了一篇非科學(xué)院院士撰寫(xiě)的論文《論方向的解析表示：一個(gè)嘗試》。

論文中，韋塞爾正式把虛數(shù)當(dāng)作二維數(shù)，表示成a+bi的形式，并提出了重要的復(fù)平面概念和輻角概念。至此，虛數(shù)正式登上數(shù)學(xué)的大舞臺(tái)，為50年后的黎曼創(chuàng)立復(fù)變函數(shù)打下了重要基礎(chǔ)。

看到這里，大家是不是有點(diǎn)驚嘆，在沒(méi)有復(fù)平面的概念下，韋塞爾前面的人，比如歐拉等人居然能把虛數(shù)使用得如此順手，而我們花了一節(jié)課，就作為常識(shí)的知識(shí)，歷史居然花了200多年，真是不可思議！?。】吹竭@里，你是否有什么想法呢？