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今天分享一道二次函數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用題，針對此類問題，需要仔細分析題意，結(jié)合圖形，根據(jù)所學(xué)過的定理得出二次函數(shù)表達式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解。二次函數(shù)的綜合題往往是中考的壓軸題，大多數(shù)需要分類討論，針對這種計算量大，思路難的題目，一定要充分利用所學(xué)知識分析解答。

真題求解

如圖，在直角坐標系中，Rt△OAB的直角頂點A在x軸上，OA=4，AB=3.動點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿AO向終點0移動；同時點N從O點出發(fā)，以每秒1.25個單位長度的速度，沿OB向終點B移動.當兩個動點運動了x秒(0<><>

⑴ 求點N的坐標(用含x的代數(shù)式表示)；

⑵ 設(shè)△OMN的面積是S，求S與x之間的函數(shù)表達式；

⑶ 在兩個動點運動過程中，是否存在某一時刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由。

中考考點

本題是一道二次函數(shù)與幾何相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、坐標與圖形特征、直角三角形的性質(zhì)、三角形面積的計算、求二次函數(shù)的解析式以及最值等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是⑶中，需要進行分類討論，通過證明三角形相似才能得出結(jié)果。

解題思路提示

⑴ 由勾股定理求出OB，作NP丄OA于P，則NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得出比例式

PN/AB=OP/OA=ON/OB，求出OP、PN，即可得出點N的坐標；

⑵ 由三角形的面積公式得出S是x的二次函數(shù)，從而寫出函數(shù)表達式，注意自變量的取值范圍；

⑶ 分兩種情況：

①若∠OMN=90°，則MN∥AB，由平行線得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；

②若∠ONM=90°，則∠ONM=∠OAB，證出

OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可。

解題步驟

解:⑴根據(jù)題意得：MN=x，ON=1.25x，

在Rt△OAB中，由勾股定理得：

OB=√OA2+AB2=√42+32=5，

作NP丄OA于P，如圖1所示：

則NP∥AB，

∴△OPN∽△OAB，

∴PN/AB=OP/OA=ON/OB

即PN/3=OP/4=1.25x/5，

解得：OP=x，PN=3/4x，

∴點N的坐標是(x，3/4ⅹ)；

⑵ 在△OMN中，OM=4-x，OM邊上的高

PN=3/4ⅹ

∴S=1/2OM·PN=1/2(4-ⅹ)·3/4ⅹ=-3/8ⅹ2+3/2ⅹ，

∴S與x之間的函數(shù)表為S=-3/8x2+2/3ⅹ(0<><>

⑶ 存在某一時刻，使△OMN是直角三角形，理由如下:

分兩種情況：①若∠OMN=90°，如圖2所示

則MN∥AB，此時OM=4-x，ON=1.25x，

∵MN//AB，

∴△OMN∽△OAB，

∴OM/OA=ON/OB，

即4-ⅹ/4=1.25x/5，

解得：X=2；

②若∠ONM=90°，如圖3所示：

則∠ONM=∠OAB，此時OM=4-x，ON=1.25x，

∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA,

∴△OMN∽△OBA，

∴OM/OB=ON/OA，

即4-ⅹ/5=1.25ⅹ/4，

解得：X=64/41；

綜上所述：x的值是2秒或64/41秒。

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