2017年四川自貢中考倒二（幾何背景）

（2017·自貢）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（0，根號(hào)3）．

（1）求∠BAO的度數(shù)；

（2）如圖1，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針得△A′OB′，當(dāng)A′恰好落在AB邊上時(shí)，設(shè)△AB′O的面積為S₁，△BA′O的面積為S₂，S₁與S₂有何關(guān)系？為什么？

（3）若將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，S₁與S₂的關(guān)系發(fā)生變化了嗎？證明你的判斷．

圖文解析：

（1）簡解，由tan∠BAO＝OA：OB＝根號(hào)3得：∠BAO＝60°

（2）如下圖示：

法一：易證A’B’∥OA，得到S_△AB’O＝ S_△AOA’,同時(shí)可證AA’'= BA’(即OA’是RtAOB的中線)，得：S_△BA’O＝ S_△AOA’,從而S_△AB’O＝ S_△BA’O,即S₁＝S_2.

法二：添加如下圖所示的輔助線.

利用等底（OB＝OB’）等高（AM＝AN）的兩三角形面積相等.如下圖示：

法三：類似方法二（不做解析），如下圖示.

反思：證明面積相等的方法多種：既可借助全等、平行來證，也可通過等（同）底等（同）高相等證之。

（3）先觀察動(dòng)畫，(動(dòng)畫自動(dòng)演示)

       觀察在運(yùn)動(dòng)變化過程中，S₁和S₂(兩陰影部分面積)的變化.

結(jié)論：S₁=S₂不發(fā)生變化

如下圖示，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)不難得到：OB=OB'，OA=OA'，而這兩對(duì)對(duì)應(yīng)邊恰好也在所要找的兩三角形中，類似第二題的方法二、三的思路，可以通過“等底等高的兩三角形面積相等”來證明。

 方法一：如下圖示，

通過證明△AON≌△A’OM，得到OM=ON，再由△形的面積公式得到證明.

方法二：如下圖示，

通過證明△AON≌△A’OM，得到OM=ON，再由△形的面積公式得到證明.

反思：熟練掌握“等底等高的兩三角形的面積相等”是解決本題的關(guān)鍵，“從特殊到一般”的解題思路常用在動(dòng)態(tài)幾何問題中。

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