軌跡問題是近些年中考?jí)狠S題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，既可以與最值結(jié)合考查，也可以與軌跡長(zhǎng)結(jié)合考查，綜合性較強(qiáng)、難度較大。老師在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生不能很好地解決這類問題或者說拿到此類題目，感覺無從下手。課本中沒有將軌跡問題單列章節(jié)來講，本知識(shí)點(diǎn)屬于延伸知識(shí)。學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)沒有進(jìn)行系統(tǒng)性的學(xué)習(xí)，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)軌跡問題概念模糊、認(rèn)識(shí)不足。但是陜西中考數(shù)學(xué)壓軸題連續(xù)6年考查了此類問題，這就對(duì)我們提出了更高的要求，來深入研究怎樣讓學(xué)生更好的掌握軌跡思想來解決問題的能力和方法。

定角定高模型（又稱為探照燈模型）

在我們探索定角定高模型之前，我們先要了解什么是定角定高模型？

如圖，已知直線l外一點(diǎn)P，點(diǎn)P到直線AB的距離為定值h(定高），∠APB的度數(shù)為定值（定角），則AB有最小值。又因?yàn)橄裉秸諢粢粯樱杂址Q為探照燈模型。

定角定高問題解題策略

已知直線l外一點(diǎn)P，點(diǎn)P到直線AB的距離為定值h(定高），∠APB的度數(shù)為定值（定角），怎樣求線段AB的最小值呢？怎樣求△APB面積的最小值呢？

作△APB的外接圓○O，∵∠APB是定值，PD=h是定值（定高），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是距直線l距離為h，且平行于l的直線。

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，△APB的外接圓（○O）的大小也隨之變化，即外接圓的半徑隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化。從而弦AB的長(zhǎng)度也發(fā)生變化，它會(huì)有一個(gè)最小值，由于它的高PD是定值，因此三角形APB的面積就有一個(gè)最小值。

猜想：∵PD過圓心時(shí)，這個(gè)外接圓是最小的，也就是，AB的長(zhǎng)最小，從而△APB面積也最小。

理由：

連接OA、OB、OP,過點(diǎn)O作OM⊥AB交AB于點(diǎn)M，

顯然，PD≤OP+OM,

當(dāng)且僅當(dāng)P、O、M三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)“=”

∵∠APB的角度是定值，而且它是○O的圓周角，因此它所對(duì)的圓心角∠AOB的度數(shù)也是定值。∴OM與圓的半徑有一個(gè)固定的關(guān)系.

設(shè)○O的半徑為R，

則OM=Rcos∠AOM=Rcos∠APB

∵PD≤OM+OP

∴h≤Rcos∠APB+R

即Rcos∠APB+R=h,此時(shí)R取最小值R=h/cos∠APB+1

此時(shí)AB最小值為2Rsin∠APB

總結(jié)

1.定角定高三角形面積最小時(shí)，該三角形為等腰三角形，其定高是所對(duì)底邊的垂直平分線，或者說定高過該三角形外接圓圓心。

2.定角可以看作圓周角，因此所對(duì)的圓心角不變，往往要通過圓心角所在等腰三角形中解直角三角形（構(gòu)造直角三角形）。

【基礎(chǔ)問題】

（2019陜西定心卷）如圖，已知點(diǎn)A是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)B、C均在直線l上，AD⊥l且AD=3，∠BAC=60°，求△ABC面積的最小值。

解析：由題目可知，∠BAC=60°（定角），AB=3,（定高）這是一道很基礎(chǔ)的定角定高問題。

作△ABC的外接圓○O，連接OA、OB、OC，

過點(diǎn)O作OM⊥BC交BC于點(diǎn)M，則∠BOC=2∠BAC，

OA=OB=OC,

∵∠BAC=60°，

∴∠BOC=120°

∠OBM=∠OCM=30°，

設(shè)OA=OB=OC=r

則OM=0.5r，

BM=（根號(hào)3/2）rBC=2BM=根號(hào)3r

∵AD≤AO+OE, AD=3;

∴r+0.5r≥3,

解得r≥2,所以S△ABC=1/2BC×AD≥1/2×2根號(hào)3×3=3根號(hào)3

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、O、E三點(diǎn)共線時(shí)，面積最小

△ABC面積的最小值為3倍根號(hào)三。