A,B是⊙C上的兩個點, 點P在⊙C內(nèi)部. 若∠APB是直角, 稱∠APB為AB關(guān)于⊙C的內(nèi)直角, 特別地, 當圓心C在∠APB邊(含頂點)上時, 稱∠APB為AB關(guān)于⊙C的最值內(nèi)直角. 如圖1, ∠AMB是AB關(guān)于⊙C的內(nèi)直角, ∠ANB是AB關(guān)于⊙C的最佳內(nèi)直角. 坐標平面xOy內(nèi),

(1)如圖2, ⊙O的半徑為5, A(0,-5), B(4,3)是⊙O上兩點.

①已知P1(1,0), P2(0,3), P3(-2,1), 在∠AP1B, ∠AP2B, ∠AP3B中, 是AB關(guān)于⊙O的內(nèi)直角的是____________.

②若直線y=2x+b上存在一點P, 使得∠APB是AB關(guān)于⊙O的內(nèi)直角, 求b的取值范圍.

(2)點E是以T(t,0)為圓心, 4為半徑的圓上一個動點. ⊙T與x軸交于點D(點D在點T的右邊), 現(xiàn)有點M(1,0), N(0,n), 對于線段MN上每一點H, 都存在點T, 使∠DHE是DE關(guān)于⊙T的最佳內(nèi)直角, 請直接寫出n的最大值, 以及n取得最大值時的t的取值范圍.

分析：這道題應該是要根據(jù)“定邊對直角，則直角頂點在以定邊為直徑的圓上”的定理來解決的。

(1)①有圖有真相，把三個點描出來，如下圖就可以很明顯地看出∠AP1B不是直角，所以了不是內(nèi)直角, 而 ∠AP2B就是內(nèi)直角.

那么怎么判斷∠AP3B是不是直角呢？可以通過勾股定理來判斷。也可以先求AB的長，AB=根號(4^2+(-5-3)^2)=4倍根號5，并且記AB的中點為D，則D(2,-1)【用中點公式求得】。再求DP3的長，DP3= 根號(-2-2)^2+(-1-1)^2=根號17. 也不是說，P3并不在以AB為直徑的圓上，所以∠AP3B不是直角，也就不是內(nèi)直角了。

(1)②至少有兩種解法，其依據(jù)相同，都是判斷直線y=2x+b與圓O有兩個交點，才有可能產(chǎn)生在圓O內(nèi)的點P。另一方面y=2x+b與①中的圓D至少有一個交點，才能產(chǎn)生直角∠APB。

解法1：設P(x,2x+b)，記AB的中點D(2, -1), 則

DP=根號((x-2)^2+(2x+b+1)^2)=AB/2=2倍根號5，【即P在圓D上】

化簡得關(guān)于x的一元二次方程：5x^2+4bx+b^2+2b-15=0, 【要使x有解，判別式必須不小于0】

依題意，△1=16b^2-20(b^2+2b-15)= -4b^2-40b+300≥0.【高中的二次不等式，略有超綱】

解得-15≤b≤5.

又OP= 根號(x^2+(2x+b)^2)<5,【即P在圓O內(nèi)】

化簡得關(guān)于x的一元二次不等式：5x^2+4bx+b^2-25<0, 【要使x有解，判別式必須大于0】

依題意，△2=16b^2-20(b^2-25)= -4b^2+500>0.

解得-5倍根號5<b<5倍根號5. 【接下來求b的兩個解集的交集】

∴-5倍根號5<b≤5.

解法2：直線AB的解析式為：y=2x-5, 即AB與y=2x+b平行.

AB與原點的距離為：5/根號(1+4)=根號5，【運用了點到直線的距離公式，也可以用幾何方法求】

y=2x+b與原點的距離為： |b|/根號(1+4)=|b|/根號5，【同上】

AB與y=2x+b的距離為：根號5+|b|/根號5，

依題意：根號5+|b|/根號5≤AB/2=2倍根號5, 【這樣才有可能存在點P在圓D上】

解得-5≤b≤5.

又|b|/根號5<5,【這樣才有可能存在點P在圓O內(nèi)】

∴-5根號5<b≤5.

分析：(2)如圖3，點N在以TD為直徑的圓上, 記TD的中點C(t+2,0),

則(t+2)^2+n^2=(TD/2)^2=4.

4-n^2=(t+2)^2≥0, 解得-2≤n≤2,∴n=2最大.

不難發(fā)現(xiàn), 當H從N點移動向M點時, t隨之變大. ∴當H與N重合時, t最小, 當H與M重合時t最大.

當n=2時, (t+2)^2+4=4, 解得t=-2最小.

當H與M重合時 ,如圖4, t+2-1=2, 解得t=1最大，如圖4.

∴-2≤t≤1.