這一期文章分類講解各種行程問題，行程問題有一般行程問題，相遇問題，追及問題，順流(風)、逆流(風)問題，上坡、下坡問題，火車過隧道(橋)問題，環(huán)形跑道問題等。不管哪一種問題，基本數(shù)量關系都是，路程=速度×時間，具體到每一種題型，則要考慮具體的特征，活學活用，卻不可生搬硬套。

一.一般行程問題

1.某人從A地去B地，如果他以4Km/h的速度步行前進，正好在預定的時間內(nèi)到達，他用這個速度步行了全程的一半后，其余路程搭乘速度為20Km/h的公共汽車，結(jié)果比預定時間早到27min，求AB兩地的距離.

【分析與解答】首先統(tǒng)一單位，27min=27/60h=9/20h，再看有兩個不變量，一個是預定時間，一個是A、B兩地的距離，不變量是列方程的依據(jù)。①若設預定時間為x小時，則用不變量AB兩地距離列方程，接下來根據(jù)兩種條件分別表示出A、B兩地距離的代數(shù)式即可。因為以4Km/h的速度前進，恰好在預定時間到達，所以A、B兩地距離為4x;再看，按原速走了一半路程2x，說明用時x/2小時，由于最后乘車速度快，比預定時間早到27min=9/20h，所以后一半路程用時(x/2一9/20)h，所以A、B兩地距離可表示為:2x+20(x/2一9/20)，可得方程:

4x=2x+20(x/2一9/20)，解得x=9/8(h)，4x=4×9/8=9/2(km).

②若設A、B兩地距離為x千米，則用不變的預定時間列方程。按原速度前進表示的預定時間為:x/4;第二種表示的預定時間為(x/2)÷4+(x/2)÷20+9/20=x/8+x/40十9/20.所以方程為:x/4=x/8+x/40十9/20，解得x=9/2.

2.一個車隊共有n(n為正整數(shù))輛小轎車，正以36Km/h的速度在一條筆直的街道上勻速行駛，行駛時車與車的間隔均為5.4m，甲停在路邊等人，他發(fā)現(xiàn)該車隊從第一輛車的車頭到最后一輛車的車尾經(jīng)過自己身邊共用了20s的時間，假設每輛車的車長均為4.87m.

(1)求n的值;

(2)若乙在街道一側(cè)的人行道上與車隊同向而行，速度為vm/s，當車隊的第一輛車的車頭從他身邊經(jīng)過了15s時，為了躲避一只小狗，他突然以3vm/s的速度向前跑，這樣從第一輛車的車頭到最后一輛車的車尾經(jīng)過他身邊共用了35s，求v的值.

【分析與解答】首先統(tǒng)一單位，36Km/h=10m/s，①簡單，是基本行程問題，只是注意n輛車有n一1個間隔，則4.87n十5.4(n一1)=20×10，解得n=20.

②車隊總長為20×4.87+5.4×(20一1)=200(m).同向行走，速度不同，時間相同時，距離差=速度差×時間，乙在35s內(nèi)正好相差一個車隊的距離，只不過這35s，分為15s和20s兩種情況，所以可得，15(10一v)+(35一15)(10一3v)=200.解得v=2.

二.相遇問題

3.A，B兩地相距60千米，甲、乙兩人分別從A，B兩地出發(fā)，相向而行，甲比乙遲出發(fā)20分鐘，每小時比乙多行3千米，在甲出發(fā)后1小時40分鐘兩人相遇，問甲、乙每小時各行多少千米？

【分析與解答】等量關系為:甲走的路程十乙走的路程=總路程，注意，乙比甲多走20分=1/3小時，也就說，甲共用時間為1小時40分=5/3小時，乙共用1/3+5/3=2小時，所以設乙每小時行x千米，可列方程為:5/3(x+3)+5x/3+x/3=60.解得x=15，x十3=18.甲每小時走18千米，乙每小時走15千米.

三.追及問題

4.一輛卡車從甲地勻速開往乙地，出發(fā)2小時后，一輛轎車從甲地去追這輛卡車，轎車的速度比卡車的速快30千米，但驕車行駛一小時后突遇故障，修理15分鐘后，又上路追這輛卡車，但速度減小了1/3，結(jié)果又用兩小時才追上這輛卡車，求卡車的速度.

【分析與解答】本題是同地不同時追及問題，到追上時兩車所走距離相等，只是時間不同，速度不同，所以設卡車的速度為每小時x千米，驕車原來的速度為(x+30)千米/時，修理后的速度為2/3(x+30)千米/時，注意卡車共用時(2十1+1/4十2)小時，驕車行駛共用時(1+2)小時，所以可得方程為:2x+x+x/4十2x=(x十30)+2×2(x十30)/3，解得x=24.所以卡車的速度為24千米/時.

四.火車過橋問題

5.一座鐵路橋長1200m，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測得火車從上橋到完全通過橋共用時50s，整列火車在橋上的時間為30s，求火車的長度和速度.

【分析與解答】火車過橋問題關鍵理解，火車過橋指火車全部過橋，即從車頭上橋到車尾必須離橋，則火車走的路程為橋長+車長;火車在橋上，指從車頭上橋到車頭就要離開時，則火車走的路程為橋長減車長，此題已知橋長，時間，可以一定的速度列方程，設火車的長度為x米，可得:

(1200十x)/50=(1200一x)/30，解得x=300，(1200十300)/50=300，所以火車上300m，車速30m/s.

五.火車錯車問題

6.甲、乙兩列火車的長分別為144m和180m，甲車比乙車每秒多行4m，兩列車相向而行，從相遇到完全錯開需9s.

(1)甲、乙兩列車的速度各是多少？

(2)若同向而行，從甲車的車頭剛追上乙車的車尾到甲車完全超過乙車，需要多少秒？

【分析與解答】思考并理解，火車從相遇到完全錯開，等量關系為:兩車距離和=兩車車長和，兩車同向從車頭剛追上到完全超過乙車，等量關系為:快車距離一慢車距離=兩車車長和.

(1)設乙車的速度為xm/s，甲車速度為(x十4)m/s，可得方程為9x+9(x十4)=180+144，解得x=16，x+4=20.所以甲車速度為20m/s，乙車速度為16m/s.

(2)設需y(秒)，方程為:20y一16y=180+144，解得y=81.所以需要81秒.

六.順流(風)、逆流(風)問題

7.一架飛機在A，B兩城市之間飛行，風速為20km/h，順風飛行需要8h，逆風飛行需要8.5h，求無風時飛機的飛行速度和A，B兩城市之間的航程.

【分析與解答】設無風時飛機的速度為xKm/h，依兩城市間距離一定可得方程.

8(x+20)=8.5(x一20)，解x=660，所以8(x十20)=8.5(x一20)=5440，所以無風時飛機速度為660km/h，A、B兩城市距離為5440km.另外也可設兩城市距離為y千米，用無風時飛機的速度一定可得方程:

y/8一20=y/8.5+20，解得y=5440，所以y/8一20=y/8.5+20=660.

8.某學生乘船由甲地順流而下到乙地，然后又逆流而上到丙地，共用了3h，已知船在靜水中的速度是8Km/h，水流的速度為2Km/h，甲、丙兩地相距2Km，求甲、乙兩地間的距離.

【分析與解答】學生乘船由甲地順流而下到乙地，然后又逆流而上到丙地，丙地在什么地方，未知，所以應分丙地在甲、乙兩地之間與丙在甲地上游兩種情況分類討論，設甲、乙兩地間距離為xKm，①當丙地在甲、乙丙地之間時有，x/(8+2)十(x一2)/(8-2)=3，解得x=12.5:②當丙地在甲地上游時，有x/(8+2)十(x+2)/(8-2)=3，解得x=10，所以甲、乙兩地間距離為12.5km或10km.

七.上坡、下坡問題

9.家住山腳下的小強同學想從家出發(fā)登山游玩，據(jù)以往的經(jīng)驗，他獲得如下信息:

(1)他下山時的速度比上山時的速度每小時快1Km;(2)他上山2h到達的位置，離山頂還有1Km;(3)抄近路下山，下山路程比上山路程近2Km;(4)下山用1h.

根據(jù)以上信息，他做出如下計劃:(1)在山頂游覽1h;(2)中午12:00回到家吃午餐.

若依據(jù)以上信息和計劃登山游玩，請問:小強同學應該在什么時間從家出發(fā)？

【分析與解答】在所有的'A×B=C'的關系中，若設出其中一個量(比如A)，一般可用另兩個量中的一個量(或B、或C)建立等量關系，這時我們要仔細分析題中信息，用未知數(shù)A表示出關于B(或C)的代數(shù)式，表示出B的代數(shù)式用C作等量關系列方程，表示出C的代數(shù)式用B作等量關系列方程，就本題來說，信息多，需要仔細辨別.若設上山速度為x千米/時，則下山速度為(x十1)千米/時，①用路程列方程，因上山2h到達的位置離山頂還有1千米，所以上山，山腳距山頂總路程為2x+1，由于下山用1h，但比上山路程近2千米，所以也可表示出山腳距山頂總路程為(x+1)×1+2，所以可得方程:

2x+1=(x+1)×1+2.解得x=2，所以上山速度為2千米/時，上山的路程為5千米，故計劃上山的時何為5÷2=2.5(h)，那么下山的速度為3千米/時，因下山用1h，加上山頂游覽1h，那么這次登山游玩共用時2.5+1+1=4.5(h)，所以出發(fā)時間為12時一4時30分=7時30分，也就是小強同學應該在7:30從家出發(fā);

②用速度作等量關系列方程，設山腳與山頂?shù)木嚯x為y千米，因為上山2h到達的位離山頂還有1千米，所以可表示上山速度為(y一1)/2，由于下山比上山近2千米且用1h，所以可表示下山速度為(y一2)÷1，后邊1省略，因有下山比上山速度每小時快1千米，可得方程:

(y一1)/2=(y一2)一1，解得y=5，后邊的問題同樣可解，不再敘述.

八.封閉跑道問題

10.甲、乙兩人分別位于周長為400的正方形水池相鄰的兩個頂點上，同時開始沿逆時針方向繞池邊行車，甲在乙前方，甲的速度為50米/分，乙的速度為44米/分，求甲、乙兩人出發(fā)后幾分鐘第一次相遇.

【分析與解答】甲快乙慢且甲在乙前，等同于甲、乙相距300米甲追乙的追及問題.這樣分析之后就簡單多了.設出發(fā)x分甲、乙第一次相遇，依據(jù):路程差=300，可得:50x一44x=300，解得x=50，所以甲、乙兩人出發(fā)后50分鐘第一次相遇.還有一種兩人同地反面行走的情況，第一次相遇時，等量關系為:距離和=封閉跑道周長，與一般相遇問題類似，比較簡單.

九.數(shù)軸上動點運動問題

11.如圖，數(shù)軸上兩個動點A，B開始時所表示的數(shù)分別為一8，4，A，B兩點各自以一定的速度在數(shù)軸上運動，且A點運動速度為2個單位長度/s.

(1)A，B兩點同時出發(fā)相向而行，在原點處相遇，求B點的運動速度.

(2)A，B兩點按上面的速度同時出發(fā)，向數(shù)軸正方向運動，幾秒時兩點相距6個單位長度？

(3)A，B兩點按上面的速度同時出發(fā)，向數(shù)軸負方向運動，與此同時，C點從原點出發(fā)向同方向運動，且在運動過程中，始終有CB:CA=1:2，若干秒后，C點在一10處，求此時B點的位置.

【分析與解答】不管是什么運動，無論是直線運動，曲線運動，上坡還是下坡等，我們抓住基本的數(shù)量關系，具體分析不同的問題，找見不變的量，定能解決問題.

(1)是相遇問題，時間相同，設B點運動速度為x個單位長度/s，B點運動時間=A點運動時間=8/2，所以可得8x/2=4，解得x=1，(若寫為8/2=4/x，則為分式方程，初一不要求，但我們也看出初一，初二知識的相關聯(lián)特點，所以說初一學好一元一次方程，到初二，初三以至后來的方程題好學的多了).所以B點運動速度為1個單位/s.想:時間相同，路程比=速度比，立馬知B點速度.

(2)是類追及問題，只不過問的是A與B相距6個單位長度下的時間，由于A點運動快，所以有A點在B點左側(cè)，與A點在B點右側(cè)兩種情況(分類討論).設ts時兩點相距6個單位長度，列方程為:

①當A點在B點左側(cè)時，2t一t=(4十8)一6，解得t=6.

②當A點在B點右側(cè)時，2t一t=(4十8)十6，解得t=18.

所以6s或18s時兩點相距6個單位長度.

(3)有CB:CA=1:2這一條件，即CA=2CB，依此可列方程，設C點運動速度為y個單位長度/s，由于時間相同，可得:

2一y=2(y一1)，解得y=4/3，(若不好理解，再引進一個輔助未知數(shù)，設運動時間為m，則2m一ym=2(ym一m)，同樣可得).當C點在一10處時，所用時間為10÷(4/3)=15/2(s)，此時B點表示的數(shù)為4一1×15/2=一7/2.

以上是所作的行程問題的分類，有不完整的地方，同學們自己補充，任何人都不可能寫全，人類在進步，知識在發(fā)展，同學們只要多歸納，多總結(jié)，掌握了基本的解題方法，就能以不變應萬變，做一類通一片，切記重要的是自己歸納、總結(jié)！

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