一、列方程解應(yīng)用題的一般步驟（解題思路）

（1）審—審題：認真審題，弄清題意，找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系（找出等量關(guān)系）．

（2）設(shè)—設(shè)出未知數(shù)：根據(jù)提問，巧設(shè)未知數(shù)．

（3）列—列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系

列出方程．

（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值．

（5）答—檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實際，

檢驗后寫出答案．（注意帶上單位）

二、一般行程問題（相遇與追擊問題）

1.行程問題中的三個基本量及其關(guān)系：

路程＝速度×時間   時間＝路程÷速度   速度＝路程÷時間

2.行程問題基本類型

（1）相遇問題：  快行距＋慢行距＝原距

（2）追及問題：  快行距－慢行距＝原距

1、從甲地到乙地，某人步行比乘公交車多用3.6小時，已知步行速度為每小時8千米，公交車的速度為每小時40千米，設(shè)甲、乙兩地相距x千米，則列方程為         。

解：等量關(guān)系   步行時間－乘公交車的時間＝3.6小時    

列出方程是：

2、某人從家里騎自行車到學校。若每小時行15千米，可比預定時間早到15分鐘；若每小時行9千米，可比預定時間晚到15分鐘；求從家里到學校的路程有多少千米？

解：等量關(guān)系 ⑴  速度15千米行的總路程＝速度9千米行的總路程

               ⑵  速度15千米行的時間＋15分鐘＝速度9千米行的時間－15分鐘

提醒：速度已知時，設(shè)時間列路程等式的方程，設(shè)路程列時間等式的方程。

方法一：設(shè)預定時間為x小/時，則列出方程是：15（x－0.25）＝9（x＋0.25）

方法二：設(shè)從家里到學校有x千米，則列出方程是：

3、一列客車車長200米，一列貨車車長280米，在平行的軌道上相向行駛，從兩車頭相遇到兩車車尾完全離開經(jīng)過16秒，已知客車與貨車的速度之比是3：2，問兩車每秒各行駛多少米？

提醒：將兩車車尾視為兩人，并且以兩車車長和為總路程的相遇問題。

等量關(guān)系：快車行的路程＋慢車行的路程＝兩列火車的車長之和

 設(shè)客車的速度為3x米/秒，貨車的速度為2x米/秒，則 16×3x＋16×2x＝200＋280

4、與鐵路平行的一條公路上有一行人與騎自行車的人同時向南行進。行人的速度是每小時3.6km，騎自行車的人的速度是每小時10.8km。如果一列火車從他們背后開來，它通過行人的時間是22秒，通過騎自行車的人的時間是26秒。⑴ 行人的速度為每秒多少米？   ⑵ 這列火車的車長是多少米？

提醒：將火車車尾視為一個快者，則此題為以車長為提前量的追擊問題。

等量關(guān)系： ① 兩種情形下火車的速度相等   ② 兩種情形下火車的車長相等

在時間已知的情況下，設(shè)速度列路程等式的方程，設(shè)路程列速度等式的方程。

解：⑴ 行人的速度是：3.6km/時＝3600米÷3600秒＝1米/秒

       騎自行車的人的速度是：10.8km/時＝10800米÷3600秒＝3米/秒

⑵ 方法一：設(shè)火車的速度是x米/秒，則 26×(x－3)＝22×(x－1)  解得x＝4

       方法二：設(shè)火車的車長是x米，則   

6、一次遠足活動中，一部分人步行，另一部分乘一輛汽車，兩部分人同地出發(fā)。汽車速度是60千米/時，步行的速度是5千米/時，步行者比汽車提前1小時出發(fā)，這輛汽車到達目的地后，再回頭接步行的這部分人。出發(fā)地到目的地的距離是60千米。問：步行者在出發(fā)后經(jīng)過多少時間與回頭接他們的汽車相遇（汽車掉頭的時間忽略不計）

提醒：此類題相當于環(huán)形跑道問題，兩者行的總路程為一圈

即 步行者行的總路程＋汽車行的總路程＝60×2

解：設(shè)步行者在出發(fā)后經(jīng)過x小時與回頭接他們的汽車相遇，則   5x＋60(x－1)＝60×2

7、某人計劃騎車以每小時12千米的速度由A地到B地，這樣便可在規(guī)定的時間到達B地，但他因事將原計劃的時間推遲了20分，便只好以每小時15千米的速度前進，結(jié)果比規(guī)定時間早4分鐘到達B地，求A、B兩地間的距離。

解：方法一：設(shè)由A地到B地規(guī)定的時間是 x 小時，則

12x＝   x＝2    12 x＝12×2＝24(千米)  

方法二：設(shè)由A、B兩地的距離是 x 千米，則    （設(shè)路程，列時間等式）

   x＝24     答：A、B兩地的距離是24千米。

溫馨提醒：當速度已知，設(shè)時間，列路程等式；設(shè)路程，列時間等式是我們的解題策略。

8、一列火車勻速行駛，經(jīng)過一條長300m的隧道需要20s的時間。隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時間是10s，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能否求出火車的長度？火車的長度是多少？若不能，請說明理由。

解析：只要將車尾看作一個行人去分析即可，

前者為此人通過300米的隧道再加上一個車長，后者僅為此人通過一個車長。

此題中告訴時間，只需設(shè)車長列速度關(guān)系，或者是設(shè)車速列車長關(guān)系等式。

解：方法一：設(shè)這列火車的長度是x米，根據(jù)題意，得

    x＝300    答：這列火車長300米。

方法二：設(shè)這列火車的速度是x米/秒，

根據(jù)題意，得20x－300＝10x  x＝30   10x＝300   答：這列火車長300米。

9、甲、乙兩地相距x千米，一列火車原來從甲地到乙地要用15小時，開通高速鐵路后，車速平均每小時比原來加快了60千米，因此從甲地到乙地只需要10小時即可到達，列方程得              。答案：

10、兩列火車分別行駛在平行的軌道上，其中快車車長為100米，慢車車長150米，已知當兩車相向而行時，快車駛過慢車某個窗口所用的時間為5秒。

⑴ 兩車的速度之和及兩車相向而行時慢車經(jīng)過快車某一窗口所用的時間各是多少？

⑵ 如果兩車同向而行，慢車速度為8米/秒，快車從后面追趕慢車，那么從快車的車頭趕上慢車的車尾開始到快車的車尾離開慢車的車頭所需的時間至少是多少秒？

解析：① 快車駛過慢車某個窗口時：研究的是慢車窗口的人和快車車尾的人的

相遇問題，此時行駛的路程和為快車車長！

② 慢車駛過快車某個窗口時：研究的是快車窗口的人和慢車車尾的人的

相遇問題，此時行駛的路程和為慢車車長！

③ 快車從后面追趕慢車時：研究的是快車車尾的人追趕慢車車頭的人的

追擊問題，此時行駛的路程和為兩車車長之和！

解：⑴ 兩車的速度之和＝100÷5＝20（米/秒）  

慢車經(jīng)過快車某一窗口所用的時間＝150÷20＝7.5（秒）

⑵ 設(shè)至少是x秒，（快車車速為20－8）則   （20－8）x－8x＝100＋150    x＝62.5

   答：至少62.5秒快車從后面追趕上并全部超過慢車。

11、甲、乙兩人同時從A地前往相距25.5千米的B地，甲騎自行車，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍還快2千米/時，甲先到達B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，這時距他們出發(fā)時已過了3小時。求兩人的速度。

解：設(shè)乙的速度是 x 千米/時，則 

        3x＋3 (2x＋2)＝25.5×2       ∴ x＝5       2x＋2＝12

答：甲、乙的速度分別是12千米/時、5千米/時。

二、環(huán)行跑道與時鐘問題：

1、在6點和7點之間，什么時刻時鐘的分針和時針重合？

老師解析：6：00時分針指向12，時針指向6，此時二針相差180°，

在6：00～7：00之間，經(jīng)過x分鐘當二針重合時，時針走了0.5x°分針走了6x°

以下按追擊問題可列出方程，不難求解。

解：設(shè)經(jīng)過x分鐘二針重合，則6x＝180＋0.5x  解得

2、甲、乙兩人在400米長的環(huán)形跑道上跑步，甲分鐘跑240米，乙每分鐘跑200米，二人同時同地同向出發(fā)，幾分鐘后二人相遇？若背向跑，幾分鐘后相遇？

老師提醒：此題為環(huán)形跑道上，同時同地同向的追擊與相遇問題。

解：① 設(shè)同時同地同向出發(fā)x分鐘后二人相遇，則   240x－200x＝400    x＝10

② 設(shè)背向跑，x分鐘后相遇，則 240x＋200x＝400    x＝

3、在3時和4時之間的哪個時刻，時鐘的時針與分針：⑴重合；⑵ 成平角；⑶成直角；

解：⑴ 設(shè)分針指向3時x分時兩針重合。    

答：在3時分時兩針重合。

⑵ 設(shè)分針指向3時x分時兩針成平角。  

答：在3時分時兩針成平角。

⑶設(shè)分針指向3時x分時兩針成直角。   

答：在3時分時兩針成直角。

4、某鐘表每小時比標準時間慢3分鐘。若在清晨6時30分與準確時間對準，則當天中午該鐘表指示時間為12時50分時，準確時間是多少？

解：方法一：設(shè)準確時間經(jīng)過x分鐘，則  x∶380＝60∶(60－3)   

解得x＝400分＝6時40分      6：30＋6：40＝13：10

方法二：設(shè)準確時間經(jīng)過x時，則

三、行船與飛機飛行問題：

航行問題：順水（風）速度＝靜水（風）速度＋水流（風）速度

          逆水（風）速度＝靜水（風）速度－水流（風）速度

水流速度=（順水速度-逆水速度）÷2

1、 一艘船在兩個碼頭之間航行，水流的速度是3千米/時，順水航行需要2小時，逆水航行需要3小時，求兩碼頭之間的距離。

解：設(shè)船在靜水中的速度是x千米/時，則3×(x－3)＝2×(x＋3)  

解得x＝15  2×(x＋3)＝2×(15＋3) ＝36（千米）答：兩碼頭之間的距離是36千米。

2、一架飛機飛行在兩個城市之間，風速為每小時24千米，順風飛行需要2小時50分鐘，逆風飛行需要3小時，求兩城市間的距離。

解：設(shè)無風時的速度是x千米/時，則3×(x－24)＝×(x＋24)

3、小明在靜水中劃船的速度為10千米/時，今往返于某條河，逆水用了9小時，順水用了6小時，

求該河的水流速度。

解：設(shè)水流速度為x千米/時，則9(10－x)＝6(10＋x)  解得x＝2  答：水流速度為2千米/時.

4、某船從A碼頭順流航行到B碼頭，然后逆流返行到C碼頭，共行20小時，已知船在靜水中的速度為7.5千米/時，水流的速度為2.5千米/時，若A與C的距離比A與B的距離短40千米，求A與B的距離。

解：設(shè)A與B的距離是x千米，(請你按下面的分類畫出示意圖，來理解所列方程)

① 當C在A、B之間時，  解得x＝120

② 當C在BA的延長線上時，   解得x＝56

答：A與B的距離是120千米或56千米。

四、工程問題

1．工程問題中的三個量及其關(guān)系為：

工作總量＝工作效率×工作時間    

2．經(jīng)常在題目中未給出工作總量時，設(shè)工作總量為單位1。即完成某項任務(wù)的各工作量的和＝總工作量＝1．

1、一項工程，甲單獨做要10天完成，乙單獨做要15天完成，兩人合做4天后，剩下的部分由乙單獨做，還需要幾天完成？

解：設(shè)還需要x天完成，依題意，得    解得x=5 

2、某工作,甲單獨干需用15小時完成,乙單獨干需用12小時完成,若甲先干1小時、乙又單獨干4小時,剩下的工作兩人合作,問:再用幾小時可全部完成任務(wù)?    

解：設(shè)甲、乙兩個龍頭齊開x小時。由已知得，甲每小時灌池子的，乙每小時灌池子的。

列方程：×0.5+(+)x= ,  +x= ,    x=

x==0.5        x+0.5=1（小時）

3、某工廠計劃26小時生產(chǎn)一批零件，后因每小時多生產(chǎn)5件，用24小時，不但完成了任務(wù)，而

且還比原計劃多生產(chǎn)了60件，問原計劃生產(chǎn)多少零件？ 

解： ，  X=780

4、某工程，甲單獨完成續(xù)20天，乙單獨完成續(xù)12天，甲乙合干6天后，再由乙繼續(xù)完成，乙

再做幾天可以完成全部工程?  

解：1 - 6()=X   X=2.4

5、已知甲、乙二人合作一項工程，甲25天獨立完成，乙20天獨立完成，甲、乙二人合5天后，

甲另有事，乙再單獨做幾天才能完成？

解：1 －  ， X=11

6、將一批工業(yè)最新動態(tài)信息輸入管理儲存網(wǎng)絡(luò)，甲獨做需6小時，乙獨做需4小時，甲先做30

分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作？

解：1- ， X= ，  2小時12分

五、市場經(jīng)濟問題

1、某高校共有5個大餐廳和2個小餐廳．經(jīng)過測試：同時開放1個大餐廳、2個小餐廳，可供1680名學生就餐；同時開放2個大餐廳、1個小餐廳，可供2280名學生就餐．

（1）求1個大餐廳、1個小餐廳分別可供多少名學生就餐；

（2）若7個餐廳同時開放，能否供全校的5300名學生就餐？請說明理由．

解：（1）設(shè)1個小餐廳可供名學生就餐，則1個大餐廳可供（1680-2y）名學生就餐，根據(jù)題意，得2（1680-2y）+y=2280解得：y=360（名）所以1680-2y=960（名）

（2）因為，

所以如果同時開放7個餐廳，能夠供全校的5300名學生就餐．

2、工藝商場按標價銷售某種工藝品時，每件可獲利45元；按標價的八五折銷售該工藝品8件與將標價降低35元銷售該工藝品12件所獲利潤相等.該工藝品每件的進價、標價分別是多少元？

 解：設(shè)該工藝品每件的進價是元,標價是（45+x）元.依題意，得:

8（45+x）×0.85-8x=（45+x-35）×12-12x

 解得：x=155（元）所以45+x=200（元）　

3、某地區(qū)居民生活用電基本價格為每千瓦時0.40元，若每月用電量超過a千瓦則超過部分按基本電價的70%收費．

（1）某戶八月份用電84千瓦時，共交電費30.72元，求a．

（2）若該用戶九月份的平均電費為0.36元，則九月份共用電多少千瓦？應(yīng)交電費是多少元？ 

解：（1）由題意，得  0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72  解得a=60

       （2）設(shè)九月份共用電x千瓦時， 0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x  

解得x=90    所以0.36×90=32.40（元）答： 90千瓦時，交32.40元．

4、某商店開張為吸引顧客，所有商品一律按八折優(yōu)惠出售，已知某種旅游鞋每雙進價為60元，八折出售后，商家所獲利潤率為40%。問這種鞋的標價是多少元？優(yōu)惠價是多少？

利潤率=   40%=  X=105  105*80%=84元

5、甲乙兩件衣服的成本共500元，商店老板為獲取利潤，決定將家服裝按50%的利潤定價，乙服裝按40%的利潤定價，在實際銷售時，應(yīng)顧客要求，兩件服裝均按9折出售，這樣商店共獲利157元，求甲乙兩件服裝成本各是多少元？  

解：設(shè)甲服裝成本價為x元，則乙服裝的成本價為（50–x）元，根據(jù)題意，可列 

109x(1+50%) – x+(500-x)(1+40%)90% - (500 - x)=157  x=300

6、某商場按定價銷售某種電器時，每臺獲利48元，按定價的9折銷售該電器6臺與將定價降低30元銷售該電器9臺所獲得的利潤相等，該電器每臺進價、定價各是多少元？

        (48+X)90%*6 – 6X=(48+X-30)*9 – 9X  X=162  162+48=210

7、甲、乙兩種商品的單價之和為100元，因為季節(jié)變化，甲商品降價10%，乙商品提價5%，調(diào)價后，甲、乙兩商品的單價之和比原計劃之和提高2%，求甲、乙兩種商品的原來單價？

解：[x(1-10%)+(100-x)(1+5%)]=100(1+2%)   x=20

8、一家商店將某種服裝按進價提高40%后標價，又以8折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍獲利15元，這種服裝每件的進價是多少？

解：設(shè)這種服裝每件的進價是x元，則：

X(1+40％)×0.8-x=15 解得x=125

六、調(diào)配與配套問題

1、某車間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個或乙種零件4個．在這16名工人中，一部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件．已知每加工一個甲種零件可獲利16元，每加工一個乙種零件可獲利24元．若此車間一共獲利1440元，求這一天有幾個工人加工甲種零件．

2、有兩個工程隊，甲工程隊有32人，乙工程隊有28人，如果是甲工程隊的人數(shù)是工程隊人數(shù)的2倍，需從乙工程隊抽調(diào)多少人到甲工程隊？

3、某班同學利用假期參加夏令營活動，分成幾個小組，若每組7人還余1人，若每組8人還缺6人，問該班分成幾個小組，共有多少名同學？

4、將一個裝滿水的內(nèi)部長、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長方體鐵盒中的水，倒入一個內(nèi)徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高（精確到0.1毫米，≈3.14）．

5、某車間有28名工人生產(chǎn)螺栓和螺母，每人每小時平均能生產(chǎn)螺栓12個或螺母18個，應(yīng)如何分配生產(chǎn)螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一個螺栓配兩個螺母）？

6、機械廠加工車間有85名工人，平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個，已知2個大齒輪與3個小齒輪配成一套，問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？

7、某廠一車間有64人，二車間有56人?，F(xiàn)因工作需要，要求第一車間人數(shù)是第二車間人數(shù)的一半。問需從第一車間調(diào)多少人到第二車間？ 

8、甲、乙兩車間各有工人若干，如果從乙車間調(diào)100人到甲車間，那么甲車間的人數(shù)是乙車間剩余人數(shù)的6倍；如果從甲車間調(diào)100人到乙車間，這時兩車間的人數(shù)相等，求原來甲乙車間的人數(shù)。

七、方案設(shè)計問題

1、某蔬菜公司的一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元，經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元，經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元，當?shù)匾患夜臼召忂@種蔬菜140噸，該公司的加工生產(chǎn)能力是： 如果對蔬菜進行精加工，每天可加工16噸，如果進行精加工，每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同時進行，受季度等條件限制，公司必須在15天將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種可行方案：

方案一：將蔬菜全部進行粗加工．

方案二：盡可能多地對蔬菜進行粗加工，沒來得及進行加工的蔬菜，在市場上直接銷售．

方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好15天完成．

你認為哪種方案獲利最多？為什么？

解：方案一：因為每天粗加工16噸，140噸可以在15天內(nèi)加工完，總利潤W1=4500×140=630000(元)

方案二：15天可以加工6×15=90噸，說明還有50噸需要在市場直接銷售，

總利潤W2=7500×90+1000×50=725000(元)；

方案三：現(xiàn)將x噸進行精加工，將（140-x）噸進行粗加工，，解得x=60.

總利潤W3=7500×60+4500×80=810000(元)

2、某家電商場計劃用9萬元從生產(chǎn)廠家購進50臺電視機．已知該廠家生產(chǎn)3種不同型號的電視機，出廠價分別為A種每臺1500元，B種每臺2100元，C種每臺2500元．

  （1）若家電商場同時購進兩種不同型號的電視機共50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進貨方案．

  （2）若商場銷售一臺A種電視機可獲利150元，銷售一臺B種電視機可獲利200元，銷售一臺C種電視機可獲利250元，在同時購進兩種不同型號的電視機方案中，為了使銷售時獲利最多，你選擇哪種方案？ 

解：按購A，B兩種，B，C兩種，A，C兩種電視機這三種方案分別計算，

設(shè)購A種電視機x臺，則B種電視機y臺．

    （1）①當選購A，B兩種電視機時，B種電視機購（50-x）臺，可得方程

         1500x+2100（50-x）=90000     x=25   50-x=25

②當選購A，C兩種電視機時，C種電視機購（50-x）臺，可得方程 

1500x+2500（50-x）=90000    x=35   50-x=15

         ③當購B，C兩種電視機時，C種電視機為（50-y）臺．可得方程

2100y+2500（50-y）=90000    4y=350，不合題意

       可選兩種方案：一是購A，B兩種電視機25臺；二是購A種電視機35臺，C種電視機15臺．

（2）若選擇（1）①，可獲利150×25+250×15=8750（元），若選擇（1）②，可獲利150×35+250×15=9000（元）

故為了獲利最多，選擇第二種方案．