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今天我們將送出三本由圖靈出版社提供的優(yōu)質(zhì)科普書籍《數(shù)學思考法》。

本書為講解“數(shù)學思考法”的通俗科普讀物，書中通過用數(shù)學思維解析實際生活案例、公眾認知中的錯誤直覺、數(shù)學經(jīng)典名題等方式，由淺入深地傳授了分析數(shù)據(jù)信息價值、辨別謊言、拆解轉(zhuǎn)化復雜問題、抓住事物本質(zhì)的思考之法，同時講解了相關(guān)的數(shù)學知識與理論，可以有效提高理性思維、判斷與解決問題能力，對于理解數(shù)學、培養(yǎng)數(shù)學興趣亦有有益啟示。

認真閱讀下面的這篇文章，思考文末提出的問題，嚴格按照互動：你的想法的格式在評論區(qū)留言，你就有機會獲得獎品！

作者：Mario Livio

翻譯：Nothing

審校：loulou

1960年，諾貝爾獎得主物理學家尤金.維格納寫下名為《數(shù)學在自然科學中不可思議的有效性》的文章。在這片文章中維格納寫到數(shù)學的神奇力量不僅僅包含了描述世界的能力，甚至還具有在物理世界預言現(xiàn)象的能力。他寫道：“數(shù)學語言在物理定律形成過程中所展現(xiàn)出的魔力是我們無法理解也不應得到的禮物?！?/p>

經(jīng)典電磁學中所有觀測到的現(xiàn)象竟然都可以被四個數(shù)學公式概括！更有甚者，1864年麥克斯韋用這四個方程預言了電場或磁場可以產(chǎn)生向遠處傳播的波。1880年左右，赫茲用精巧的實驗首次探測到這些波。 如果這還不夠，那么現(xiàn)代電動力學理論也就是量子電動力學更加令人驚詫。 2006年一個由哈佛大學物理學家組成的團隊測量到的電子磁矩值精確至萬億分之八。由量子電動力學計算得到的值也達到了相同的精度并且和實驗值吻合的很好。是什么賦予數(shù)學如此令人難以置信的威力？在這篇短文中我不打算回答這個復雜的問題。我只是展示這個問題的一些不為人熟悉的方面。

關(guān)于數(shù)學威力的難題可能比上面提到的電動力學的例子更加復雜。 關(guān)于‘不可思議的有效性’有兩個事實，我認為其中一個是主動的，另一個是被動的。主動的一面是指當物理學家試圖照亮他們在大量實驗現(xiàn)象中迷宮似的道路時，他們可以將數(shù)學作為火把。換句話說，至少有些自然定律就是用數(shù)學術(shù)語構(gòu)建的。在那些定律中用到的數(shù)學字符、關(guān)系和公式是按照特殊的目的發(fā)展出來的。例如牛頓，他建造了微積分這一數(shù)學的分支，因為他需要這個工具來建造他的運動方程。相似的，弦理論學家經(jīng)常為了自己的需要構(gòu)造數(shù)學工具。另一個是被動的方面，指的是有些情況下抽象的數(shù)學理論在創(chuàng)建之初就沒有考慮過應用，只有過了數(shù)十年甚至幾百年之后才會在物理模型中展現(xiàn)出強大的預言功能。接下來的部分，我會描述一個關(guān)于主動和被動方面相互作用的美妙的例子。

神奇的紐結(jié)

在希臘神話中，亞歷山大大帝用他的劍砍開了烏爾蒂姆烏之結(jié)，之前無數(shù)嘗試解開它的人都沒有成功（戈爾迪烏姆之結(jié)（Gordian knot）是西方傳說中的物品，神諭說，如果誰能解開這個結(jié)，那么他就會成為亞細亞之王。）。

紐結(jié)，特別是海邊的紐結(jié)，長期被稱為“英國人的領(lǐng)帶”、“吊頸結(jié)”、“貓爪子”。十八世紀六十年代英國物理學家威廉.托馬斯（現(xiàn)在大家稱他為開爾文勛爵）真正讓紐結(jié)成為物理學的研究對象，因為他提出原子就是以太上的結(jié)。為了構(gòu)造像元素周期表一樣的表，托馬斯必須要能將結(jié)分類才行，也就是說找出哪些不同的結(jié)可以存在。這個特殊需求點燃研究關(guān)于紐結(jié)的數(shù)學理論的熱情。這是我剛才提到的數(shù)學效力的積極方面。換句話說，物理學家和數(shù)學家認為紐結(jié)結(jié)是原子可行的模型，因此他們開展了對結(jié)的數(shù)學研究。

圖1. 一些紐結(jié)

一個數(shù)學上的紐結(jié)看起了和弦上的結(jié)很像，只是弦的首尾相接。在托馬斯的理論中，像圖1a1b1c中那樣的結(jié)， 至少從原則上講，可以用來表示表示越來越復雜的原子，如氫、碳、氧原子。因為紐結(jié)結(jié)真的有用，數(shù)學家尋找可以將紐結(jié)分類的精確的方法并最終找到了它-如果你無法將一個結(jié)通過簡單的操作變成另一個，那它們就是不同的。直到十九世紀末，蘇格蘭數(shù)學家Peter Guthrie Tait和Charles Newton Little發(fā)表了不少于十次交叉的結(jié)的表格。不幸的是，當這項工作發(fā)表時，托馬斯的原子結(jié)構(gòu)模型已經(jīng)被拋棄。然而，盡管沒有任何應用前景，紐結(jié)理論由于其自身的魅力持續(xù)吸引著數(shù)學家的興趣。唯一的不同就是，就像英國數(shù)學家Sir Michael Atiyah說的那樣：“紐結(jié)理論成純數(shù)學的一個深奧的分支?！?/p>

圖 2. 將一個結(jié)變形

一直以來，紐結(jié)理論的基本目標之一就是找到真正可以區(qū)分扭結(jié)的性質(zhì)——也就是找到紐結(jié)不變量。紐結(jié)不變量就像是紐結(jié)的指紋一樣，它不會隨著紐結(jié)外表的變形而改變。你可能會認為一個紐結(jié)最少的交叉數(shù)可以作為這樣的不變量。畢竟，無論你怎樣嘗試，你都不能減少三葉草狀的紐結(jié)（圖1b）中的交叉數(shù)減少到3以下。然而，最小交叉數(shù)其實不是一個非常有用的不變量。像圖1顯示的那樣，有三個不同的紐結(jié)具有六個交叉，不少于七種紐結(jié)具有七個交叉。

紐結(jié)理論中的兩次重大突破分別發(fā)生在1928年和1984年。在1928年，美國數(shù)學家發(fā)現(xiàn)一個數(shù)學表達式，這個表達式利用交叉數(shù)組成的式子（Alexander多項式）來描述紐結(jié)。例如，三葉草扭結(jié)的Alexander多項式是t2?t 1。擁有不同多項式的紐結(jié)一定是不同的。不幸的是，兩個擁有相同多項式的紐結(jié)也可能是不同的。因此，盡管它是非常有用的，但是Alexander多項式仍然不是分類紐結(jié)的完美方法。經(jīng)過幾十年的努力終于在1984年迎來了第二個突破。數(shù)學家Vaughan Jones發(fā)現(xiàn)了紐結(jié)理論和另一個數(shù)學分支之間的聯(lián)系。這導致了另一種比Alexander多項式更有效的不變量的發(fā)現(xiàn)，新的不變量被稱為Jones多項式(瓊斯多項式)。例如，瓊斯多項式指出，即便是對于紐結(jié)和它的鏡像，多項式也是一樣的(圖3）。

圖3. 紐結(jié)和它的鏡像

更重要的，由于瓊斯的發(fā)現(xiàn)，隨之而來的一系列活動突然將數(shù)學和物理領(lǐng)域中令人眼花繚亂的各個領(lǐng)域聯(lián)系起來，甚至滲透到弦理論中——這是目前最有希望調(diào)和廣義相對論和量子力學的嘗試。

特別的，弦論學家Hirosi Ooguri和Cumrun Vafa發(fā)現(xiàn)很多弦之間相互作用形成的復雜拓撲結(jié)構(gòu)的個數(shù)和瓊斯多項式有關(guān)。更進一步來說，弦論物理學家領(lǐng)袖Ed Witten發(fā)現(xiàn)瓊斯多項式在現(xiàn)代物理學最基礎(chǔ)的領(lǐng)域之一——量子場論中提供了新的見解。

從這段紐結(jié)理論的簡易歷史中可以看出。首先，它發(fā)揮了數(shù)學理論的積極作用。物理學家需要一個原子模型，然后發(fā)現(xiàn)紐結(jié)提供了合適的工具，因此紐結(jié)理論誕生了。當一個更好的數(shù)學模型被發(fā)現(xiàn)，數(shù)學家并沒有拋棄紐結(jié)理論。僅僅是被自己的好奇心驅(qū)使，他們花費數(shù)十年研究紐結(jié)的性質(zhì)。在大多數(shù)數(shù)學家看來，僅僅是理解紐結(jié)的性質(zhì)和找到控制其分類的原理的可能性，就已經(jīng)是一種精美絕倫、不可抗拒的東西了。然而，接下來紐結(jié)理論表現(xiàn)出被動有效性。誰也沒想到，瓊斯多項式和紐結(jié)理論在弦論中會得到廣泛應用。

讓整個故事變得更加驚人的是這些波在1880年左右被赫茲用精巧的實驗首次探測到以下的事實：故事始于托馬斯開始研究紐結(jié)是因為他在尋找描述原子的理論，原子后來被認為是組成世界的最基礎(chǔ)的單元。經(jīng)過歷史的輪回，紐結(jié)現(xiàn)在被發(fā)現(xiàn)和弦論密切相關(guān)，它是我們現(xiàn)在理解世界的另一種方式?？梢钥闯?，紐結(jié)理論起源于解釋物理實在的努力，然后它變成了完全抽象的數(shù)學-最終又回到它最初的使命上去。這還不夠令人驚訝嗎？

互動問題

【互動問題：你有沒有突然覺得數(shù)學真美的經(jīng)歷？】

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編輯：loulou