中點策略：倍長構(gòu)造8字型全等，構(gòu)造中位線以及利用直角三角形斜邊中線性質(zhì)。本期用兩種解法向同學(xué)們講述一道經(jīng)典好題，再次領(lǐng)略如何巧妙的利用中點條件。

【例】（1）如圖①，△ABC,△DCE均為等腰直角三角形，∠BAC=∠EDC=90°，B,C,E在同一直線上，P為BE的中點，求證:AP=DP

（2）如圖，已知△ABC∽△DEC，∠BAC=∠EDC=90°，B,C,E在同一直線上，P為BE的中點，求證:AP=DP

（3）如圖，已知△ABC∽△DEC，∠BAC=∠EDC=90°，B,C,E三點不在同一直線上，P為BE的中點，求證：AP=DP

解法一：（添加斜邊中線）

（1）作AG⊥BE，DH⊥BC

∵G為BC中點，H為EC中點

∴GH=0.5BE

∵P為BE中點

∴BP=PE=GH

∴BG=AG=PH, EH=DH=GP

∴Rt△AGP≌Rt△PHD

∴AP=DP

（2）取BC中點G, EC中點H,連AG,DH

同（1）有AG=PH, GP=DH

∵∠AGP=2∠B，∠DHP=2∠E

又∵∠B=∠E

∴∠AGP=∠DHP

∴△AGP≌△PHD

∴AP=DP

（3）取BC中點G,EC中點H，連AG,GP,DH,PH

易證四邊形PHCG為平行四邊形

且PG=CH=DH, PH=CG=AG

同（2）有∠AGC=∠DHC

又∵∠CGP=∠CHP

∴∠AGP=∠DHP

∴△AGP≌△PHD

∴AP=DP

解法二：（倍長中線）

（1）延長DP到F，使DP=PF,連BF,AF,AD

易證△ABF≌△ACD

∴∠BAF=∠DAC

∴∠FAD=90°,△FAD為Rt△

∵P為FD中點

∴AP=DP

（2）延長DP到F，使DP=PF,連BF,AF,AD

∵△ABC∽△DEC

∴AB:AC=DE:DC

∵DE=BF

∴AB:AC=BF:DC

∵∠ACD=180°-∠DCE-∠ACB=180°-2∠ACB

∠ABF=∠ABC+∠CBF=2∠ABC=180°-2∠ACB

∴∠ACD=∠ABF

∴△ABF∽△ACD

∴∠BAF=∠CAD

∴∠FAD=90°，即△AFD為Rt△

∵P為FD中點

∴AP=DP

（3）延長DP到F，使DP=PF,連BF,AF,AD

與（2）同理，AB:BF=AC:CD

下面證夾角相等

∵∠ACD=360°-∠ACB-∠DCE-∠BCE

=360°-2∠ACB-（180°-∠CBE-∠CEB）

=360-2(90°-∠ABC）-180°+∠CBE+∠CEB

=2∠ABC+∠CBE+∠CEB

∠ABF=∠ABC+∠CBE+∠FBP

=∠ABC+∠CBE+∠DEP

=∠ABC+∠CBE+∠DEC+∠CEB

=2∠ABC+∠CBE+∠CEB

∴∠ACD=∠ABF

∴△ABF∽△ACD

∴∠BAF=∠CAD

∴∠FAD=90°，即△AFD為Rt△

∵P為FD中點

∴AP=DP

解題感悟：

本例較好的體現(xiàn)了中點的策略，方法一通過添加斜邊中線構(gòu)造全等三角形，其中第（3）問還構(gòu)造了中位線；方法二則通過倍長中線，構(gòu)造全等或相似，其中相似的原理均為兩邊成比例且夾角相等。無論是方法一還是方法二，都是解答本例的通法，這也說明，在平時訓(xùn)練中，倘若遇到的幾何綜合題具備本例體現(xiàn)的從特殊到一般，一題多變的氣質(zhì)，只要找到合適的通法，解答它的若干小問會相對較輕松一些，思路也將更暢通一些。

見到中點有三法，一是倍長中線法，二是斜邊中線法， 三是兩邊中點相連法。