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難度系數(shù)  ★★★☆☆ 請閱讀下列材料,并完成相應的任務： 三等分角： 三等分角是古希臘三大幾何問題之一,如下圖,任意銳角ABC可被取作矩形BCAD的對角線BA和邊BC的夾角,以B為端點的射線交CA于點E,交DA的延長線于點F,若EF=2AB,則射線BF是∠ABC的一條三等分線.
證明: 如下圖,取EF的中點G,連接AG. ......
任務: (1)完成材料中的證明過程. (2)如下圖,矩形ABCD中,對角線AC的延長線與外角∠CBE的平分線交于點F.若BF=(1/2)AC,則∠F= .
∵四邊形ADBC是矩形, ∴AD⊥AC,AD∥BC, ∴∠F=∠4, ∵在Rt△AEF中, 點G是EF的中點, ∴AG=(1/2)EF= FG, ∴∠1=∠F, ∴∠2=2∠F=2∠4, 又∵EF=2AB, ∴AB=(1/2)EF=AG, ∴∠3=∠2, ∴∠3=2∠4, ∴∠ABC=3∠4, ∴射線BF是∠ABC的一條三等分線.
取AC的中點H,連接BH, 由題意得： ∠CBA=∠CBE=90°, ∵BF是∠CBE的平分線, ∴∠FBE=45°, ∴∠1+∠F=45°, ∵∠CBA=90°, ∴BH=(1/2)AC=AH= BF, ∴∠1=∠2,∠3=∠F, ∴∠3=2∠1, ∴∠F=2∠1, ∴(1/2)∠F+∠F=45°, ∴∠F=30°. 1.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半， 2.直角三角形斜邊上的中線將三角形分割成兩個等腰三角形， 3.等腰三角形等邊對等角. ———— e n d ———— |
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