典型例題1

如圖，△ABC中，∠ABC=120°，AB=BC，D為三角形外一點(diǎn)，且滿足∠ADC=60°，求證：

（1）AD+CD=√3BD；

（2）BD平分∠ADC；

思路分析：

已知：AB=BC，∠ABC=120°；隱含條件：四邊形內(nèi)角和為360°，由∠ABC+∠ADC=180°，則∠BAD+∠BCD=180°.要求線段和差倍分的關(guān)系，常見方法為截長(zhǎng)補(bǔ)短；又考慮AB=BC，且隱含對(duì)角互補(bǔ)條件，旋轉(zhuǎn)也不失為一種好方法.

方法講解：

法一：

截長(zhǎng)補(bǔ)短（在DA上取一點(diǎn)E，使AE=CD）

①由∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD+∠BAE=180°，可得∠BCD=∠BAE；

②△BCD≌△BAE（SAS）

③BD=BE；∠CBD=∠ABE；

④∠DBE=120°，即△DBE為頂角為120°的等腰三角形；

⑤DE=AD+AE=AD+CD=√3BD，∠ABD=∠BDC=30°，得證；

法二：

旋轉(zhuǎn)（將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△BAE）

①由旋轉(zhuǎn)得到△BCD≌△BAE

②BD=BE，∠CBD=∠ABE，∠BDC=∠BEA，∠BCD=∠BAE；

③∠DBE=∠ABC=120°；

④由∠BAD+∠BCD=180°，得∠BAD+∠BAE=180°，即D、A、E三點(diǎn)共線；

⑤△DBE為定角120°的等腰三角形；

⑥D(zhuǎn)E=AD+AE=AD+CD=√3BD，∠ADB=∠BDC=30°，得證；

法三：

對(duì)于問題（2）可直接利用四點(diǎn)共圓

由A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∠ADC=60°，且∠ADB、∠BDC分別為AB、BC（AB=BC）所對(duì)的圓周角，直接得出∠ADB=∠BDC=30°

典型例題2

如圖，△ABC中，∠ABC=120°，AB=BC，D為三角形外一點(diǎn)，若BD平分∠ADC，求證：∠ADC=60°.

思路分析：

已知：AB=BC，∠ABC=120°；平分；問題的關(guān)鍵：角平分線怎么用？

方法講解

法一：

角平分線定理（過點(diǎn)B分別作AD、CD的垂線）

①角平分線定理可得BE=BF；

②△ABF≌△CBE（HL）;

③∠ABF=∠CBE，進(jìn)而得∠EBF=∠ABC=120°；

④由四邊形內(nèi)角和為360°得∠ADC=60°得證.

法二：四點(diǎn)共圓

①AB=BC，BD平分∠ADC；

②A、B、C、D四點(diǎn)共圓（等弦所對(duì)的圓周角相等）；

③∠ADC=60°得證（圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)）。

典型例題3

如圖，△ABC中，∠ABC=120°，D為三角形外一點(diǎn)，若∠ADC=60°，且BD平分∠ADC，求證：AB=BC.

方法講解

法一：角平分線定理（過點(diǎn)B分別作AD、CD的垂線）

①角平分線定理可得BE=BF；

②由四邊形內(nèi)角和為360°得∠EBF=120°；

③由∠ABF+∠CBF=∠CBE+∠CBF，得∠ABF=∠CBE；

④△ABF≌△CBE（ASA）；

⑤AB=BC得證。

法二：四點(diǎn)共圓

①由∠ABC+∠ADC=180°，對(duì)角互補(bǔ)得A、B、C、D四點(diǎn)共圓；

②由BD平分∠ADC，即∠ADB=∠BDC=30°；

③AB=BC得證（等弦所對(duì)的圓周角相等）。