中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：射影定理所涉基本圖形，弦切角概念，垂徑定理

知識科普

射影定理，由古希臘著名數(shù)學(xué)家、《 幾何原本 》作者歐幾里得提出，所以又稱“歐幾里德定理”，指在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項(xiàng)，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。射影定理是數(shù)學(xué)圖形計算的重要定理。

什么又是比例中項(xiàng)呢？如果a、b、c三個量成連比例，即a:b=b:c，那么b就叫做a和c的比例中項(xiàng)。比例中項(xiàng)是相對于內(nèi)項(xiàng)相等的比例而言的。 數(shù)字的比例中項(xiàng)與幾何的不一樣,可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)。

順便說開去，平常所說的“黃金分割”原理，就是把一條線段分割成兩部分， 使其中較長線段的長是整條線段的長與另一較短線段的長的比例中項(xiàng)。其比值約為0.618。這個比例被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，在繪畫、雕塑等領(lǐng)域里有廣泛的應(yīng)用。

射影定理所涉基本圖形如下:

射影定理的表達(dá)式及證明：如上圖，Rt△ABF中，BD是斜邊AF上的高。(1)AD/AB=AB/AF,AB2=AD.AF,由Rt△ADB∽Rt△ABF可證得；（2）DF/BF=BF/AF,BF2=DF.AF,由Rt△DFB∽Rt△BFA可證得；（3）DF/DB=DB/AD,DB=AD.DF,Rt△DFB∽Rt△DBA可證得。

目前初中數(shù)學(xué)教材里不提射影定理這個名稱（就正如不提韋達(dá)定理一樣），但是其所涉及的基本圖形在習(xí)題和中考中卻經(jīng)常遇到，而且本身也不是知識難度拔高，所以掌握基本圖形和結(jié)論，理解和消化結(jié)論的證明方法，并學(xué)會應(yīng)用，無疑是很有必要的。

弦切角，是指頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角?；蛘哒f，弦切角就是切線與含切點(diǎn)的弦所夾的角。

弦切角的性質(zhì): 弦切角等于同圓中它所夾的弧所對的圓周角。

例一

解答示范

提示：學(xué)生解題時，需要證明射影定理所引出的結(jié)論。

例二

提示：本題第（3）小題靈活運(yùn)用垂徑定理是關(guān)鍵。學(xué)數(shù)學(xué)要得靈感，必須培養(yǎng)一種審題的眼力。