“圓”是初中數(shù)學最重要的知識點之一，縱觀近幾年中考數(shù)學，除了填空選擇關于圓的計算以及解答題關于圓的證明以外，常常會以壓軸題的形式考察圓的重要性質，往往這類題目中明明圖形中沒有出現(xiàn)“圓”，但是解題中必須用到“圓”的知識點，像這樣的題我們稱之為“隱形圓模型”，這一模型各省幾乎每年中考都會出現(xiàn)。

類型一 四點共圓

常用：圓內接四邊形對角互補

同弦所對的圓周角相等

例1：如圖 1，等邊△ABC中，AB=6，P為 AB上一動點，PD⊥BC，PE⊥AC，則 DE的最小值為？

簡答：因為∠PEC=∠PDC=90°，故四邊形 PDCE對角互補，故 PDCE四點共圓，如圖 2?！?strong>EOD=2∠ECD=120°，要使得 DE最小，則要使圓的半徑 最小，故直徑 PC最小，當 CP⊥AB時，PC最短為3，則可求出DE=9/2。

例2：如圖，正方形 ABCD 繞點 A 逆時針旋轉到正方形 APQR，連接 CQ，延長 BP 交于 CQ 于點 E，求證：E 是線段 CQ 的中點

簡答：因為 AC=AQ，AB=AP 且∠BAP=∠CAQ（旋轉角相等）故△APB∽△AQC，故∠ABP=∠ACQ ，又因為∠1=∠2，故 A、B、C、E 四點共圓（如圖 2），因為∠ABC=90°，故 AC 是直徑，故∠AEC=90°，又因為 AQ=AC，所以 AE 垂直且平分 QC（三線合一）

類型二 定義—動點到定點等于定長

同一個端點處有多條相等線段時，要想到構造圓。

例:1：如圖 1，四邊形 ABCD 中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，則∠CBD= 度。

簡答：如圖 2，因為 AB=AC=AD，故 B、C、D 三點在以 A 為圓心的圓上，故∠CBD= 1/2∠CAD=38°

例2：如圖 1，長 2 米的梯子 AB 豎直放在墻角，在沿著墻角緩慢下滑直至水平地面過程中，梯子 AB 的中點 P 的移動軌跡長度為？

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簡答：由斜邊上的中點等于斜邊的一半可知，OP=1，動點P到定點O的距離始終等于1， 滿足圓的定義（到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓），故P的運動軌跡是圓弧，圓心角為 90°，軌跡長度為四分之一圓的長度。

例3：如圖 ，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，點 E，F(xiàn) 分別為 AD、DC 邊上的點，且 EF=2，G 為 EF 的中點，P 為 BC 邊上一動點，則 PA+PG 的最小值為？

簡答：G 的運動軌跡為圓，求 AP+PG 典型的“將軍飲馬”問題，故做 A 關于 BC 的對稱點A＇，則 AP+PG=A＇P+PG，當 A＇、P、G 三點共線時，最短，又因為 A＇為固定點，G 在圓上運動，可知當 A＇、G、D 三點共線時， A＇G 最短，為 4

例4：如圖 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=7，BC=8，點 F 在邊 AC 上，并且 CF=2，點 E為邊 BC 上的動點，將△CEF 沿直線 EF 翻折，點 C 落在點 P 處，則點 P 到邊 AB 距離的最小值是？

簡答：E 是動點，導致 EF、EC、EP 都在變化，但是 FP=FC=2 不變，故 P 點到 F 點的距離永遠等于 2，故 P 在⊙F 上運動，如圖 2。由垂線段最短可知，F(xiàn)H⊥AB 時，F(xiàn)H 最短， 當 F、P、H 三點共線時，PH 最短，又因為△AFH∽△ABC，所以 AF:FH:AH=5:4:3，又因為 AF=5，故 FH=4，又因為 FP=2，故 PH 最短為 2

類型三 直角所對的是直徑

例1：如圖 1，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P 是△ABC 內部的一個動點，且始終有AP⊥BP，則線段 CP 長的最小值為？

簡答：如圖 2，因為 AP⊥BP，∠P=90°（定角），AB=6（定弦），故 P 在以 AB 為直徑的⊙H 上 ， 當 H 、 P 、 C 三 點 共 線 時 CP 最 短 ，HB=3，BC=4 則 HC=5， 故 CP=5-3=2 。

例2：在△ABC 中,∠ABC=90,AB=6,BC=8,O 為 AC 的中點,過 O 作 OE⊥OF,OE、OF 分別交射線 AB,BC 于 E、F，則 EF 的最小值為？

簡答：因為∠EOF=90°，∠C=90°，故 C、O 均在以 EF 為直徑的圓上（也稱四點共圓），因為 EF 是圓的直徑，O、C 均在圓上，且 OC 長度固定，要使得 EF 最短，則圓最小，要使圓最小，由于OC 為固定長度，則 OC 為直徑時，圓最小，此時 CO=EF=OA=OB=5（斜邊上中線等于斜邊一半）

類型四 定弦對定角

同弦所對的圓周角相等

同弦所對的圓周角等于圓心角的一半

例1：如圖 1，△ABC為等邊三角形，AB=2，若 P為△ABC內一動點，且滿足∠APC=150°，則線段 PB長度的最小值為 。

簡答：因為 AC定長、∠APC=150°定角，故滿足“定弦定角模型”，P在圓上，圓周角∠APC=150°，通過簡單推導可知圓心角∠AOC=60°，故以 AC為邊向下作等邊△AOC，以 O為圓心，OA為半徑作⊙O，P在⊙O上。當 B、P、O三點共線時，BP最短.

例2：如圖 1 所示，邊長為 2 的等邊△ABC的原點 A在 x軸的正半軸上移動，∠BOD=30°，頂點 A在射線 OD上移動，則頂點 C到原點 O的最大距離為 。

簡答：因為∠AOB=30°（定角），AB=2（定弦），故 A、B、O三點共圓，圓心角為 60°，故以 AB為邊向 O方向作等邊△ABQ，∠AQB=60°為圓心角，Q為圓心，以 QA為半徑作⊙ Q（ 如 圖 2 ）， 可 知 當 OC⊥ AB時 ， OC距 離 最 大 。

“隱圓”破解策略

牢記口訣：定點定長走圓周，定線定角跑雙弧。直角必有外接圓，對角互補也共圓。