圓（一）

 

二. 教學(xué)過(guò)程：

圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

［復(fù)習(xí)目標(biāo)要求］

  1. 理解圓的定義及弦、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、同心圓、等圓、弓形等概念；理解不在同一直線上三點(diǎn)確定一個(gè)圓，了解三角形的外接圓、外心、圓的內(nèi)接三角形等概念。

  2. 掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：垂徑定理，圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理及推論，能熟練地運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明。

 

［重點(diǎn)難點(diǎn)突破］

    重點(diǎn)是垂徑定理及其推論；圓心角、弧、弦、弦心距的相等關(guān)系定理。

    難點(diǎn)是垂徑定理及其推論的條件和結(jié)論的區(qū)分及靈活運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)突破的關(guān)鍵是注意基本圖形，活用弦心距，同時(shí)注意與直角三角形的知識(shí)組合。

 

［中考動(dòng)向分析］

    首先是充分利用選擇題容量較大的特點(diǎn)考查對(duì)圓的有關(guān)性質(zhì)的準(zhǔn)確理解；其次是利用垂徑定理的證題，開(kāi)放性試題中的作用詮釋圓的軸對(duì)稱性，第三是利用垂徑定理與解直角三角形的組合考查學(xué)生的幾何計(jì)算能力；第四是利用圓的有關(guān)性質(zhì)與中位線、相似三角形的組合優(yōu)勢(shì)考查學(xué)生的幾何綜合證題能力。

 

［知識(shí)要點(diǎn)及解題方法指導(dǎo)］

（一）圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

    圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓。

    圓內(nèi)：圓的內(nèi)部可以看做是到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合。

    圓外：圓的外部可以看做是到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合。

    弦：連結(jié)圓上任意兩個(gè)點(diǎn)的線段叫做弦。

    ?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧。

    弓形：由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形。

    同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓。

    等圓：能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓，同圓或等圓的半徑相等。

    等?。和瑘A或等圓中能夠互相重合的弧叫做等弧。

    對(duì)稱性：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸，圓還是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。

    弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等。

 

  例1. 圓O中，弦AB＝AC，AD是圓O的直徑。

    求證：AD平分∠BAC

    證明：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F

    ∵AB＝AC

    ∴OE＝OF

    ∵△OAE≌△AOF

    ∴∠1＝∠2

    ∴AD平分∠BAC

 

  例2. 已知：P為圓O中任意一點(diǎn)，AB為過(guò)P點(diǎn)的弦，且AB⊥OP，CD為過(guò)P點(diǎn)且異于AB的任意一條弦。

    求證：AB＜CD

    證明：作OE⊥CD于E，連結(jié)OC、OB，則OE為CD弦的弦心距

    ∵OP⊥AB

    ∴OP為AB弦的弦心距

    在Rt△OPE中

    ∵OP＞OE

    ∴在Rt△OCE和Rt△OBP中，CE＞PB

    ∴2CE＞2PB

    ∴AB＜CD

 

  例3. 如圖：，求證：2CD＞AB

    證明：取中點(diǎn)E，連結(jié)AE、BE，則：

   

    ∴AE＝BE＝CD

    又∵AE＋BE＞AB

    ∴2CD＞AB

 

  例4. 如圖：圓周，AB＝8cm，求圓O直徑。

    解：∵圓周的度數(shù)為360°

    又圓周

    ∴的度數(shù)為90°

    ∴∠AOB＝90°

    ∴OA＝OB

   

   

    ∴圓O直徑為

 

（二）點(diǎn)和圓、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系

  1. 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系	點(diǎn)在圓內(nèi)	點(diǎn)在圓上	點(diǎn)在圓外
點(diǎn)到圓心的距離為d，圓的半徑為R

  2. 直線和圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系	相離	相切	相交
直線與圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)	0	1	2
圓心到直線的距離為d，半徑為R
圖形

  3. 圓和圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系	外離	外切	相交	內(nèi)切	內(nèi)含 （同心圓）
兩圓公共 點(diǎn)的個(gè)數(shù)	0	1	2	1	0
圓心距為d，半徑分別為R，r（R＞r）					（）
外公切線 的條數(shù)	2	2	2	1	0
內(nèi)公切線 的條數(shù)	2	1	0	0	0
圖形

 

（三）垂直于弦的直徑

    垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

    推論1：

    （1）平分弦（不是直徑）的直徑，垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?/SPAN>

    （2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；

    （3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。

    推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

 

  例5. 已知：如圖，AB為圓O直徑，EF為弦，AD、BC垂直于弦，交弦的延長(zhǎng)線于D、C。

    求證：DE＝FC

    分析：由已知容易得到AD∥BC，由O為AB中點(diǎn)應(yīng)想到利用梯形中位線性質(zhì)，因?yàn)轭}中有垂直條件，故作OH⊥DC于H，利用垂徑定理證明。

    證明：作OH⊥DC于H

    ∵AD⊥DC，BC⊥DC

    ∴AD∥OH∥BC

    又∵O為AB中點(diǎn)

    ∴DH＝HC

    又∵OH⊥EF

    ∴EH＝HF

    ∴DE＝FC

 

  例6. 如圖，AB為圓O直徑，BC為弦，直徑DE過(guò)BC中點(diǎn)F。

    求證：

    分析：欲證，由已知得到：，故考慮證。

    證明：∵F為BC中點(diǎn)，DE為圓O直徑

    ∴

    又∵∠1＝∠2

    ∴

   

 

  例7. 已知：如圖，AC為圓O的弦，D為中點(diǎn)，OD交AC于B，若OB＝1cm，DC＝cm，求圓O的直徑。

    分析：求半徑的長(zhǎng)，則應(yīng)把半徑放在一個(gè)直角三角形中，利用勾股定理求解（或放到適當(dāng)?shù)娜切沃校?，從已知，?yīng)考慮到垂徑定理。

    解：連結(jié)OC

    ∵D為中點(diǎn)

    ∴OD⊥AC

    設(shè)圓O半徑為x cm，則

   

    根據(jù)勾股定理有：

    解得：（舍去）

         

    ∴圓O的直徑為6cm

 

與圓有關(guān)的角

［復(fù)習(xí)目標(biāo)要求］

  3. 理解圓心角、圓周角、弦切角的概念，正確辨析圓心角、圓周角、弦切角之間的區(qū)別和聯(lián)系。

  4. 掌握?qǐng)A周角、弦切角定理及其推論，能熟練地運(yùn)用這些定理及推論進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明。

 

［重點(diǎn)難點(diǎn)突破］

    重點(diǎn)是掌握?qǐng)A周角、弦切角定理及其推論。

    難點(diǎn)是圓周角、弦切角定理的證明。

    實(shí)現(xiàn)突破的關(guān)鍵是用弧建立角與角之間的聯(lián)系；其次巧妙地利用直徑構(gòu)造直角從而借助直角三角形的知識(shí)解題；第三“在同圓或等圓中，等圓周角對(duì)等弧”與“圓心角、弧、弦、弦心距”之間的相等關(guān)系定理聯(lián)合使用可以靈活地實(shí)現(xiàn)不同等量之間的相互轉(zhuǎn)化，從而給許多問(wèn)題的證明帶來(lái)方便。

 

［中考動(dòng)向分析］

  1. 通過(guò)選擇題考查圓心角、圓周角、弦切角定理及其推論的題設(shè)條件的準(zhǔn)確理解，特別是圓周角定理及其推論；

  2. 以填空題的形式考查三大角的相關(guān)計(jì)算；

  3. 與切割線定理、解直角三角形組合進(jìn)行相關(guān)的幾何計(jì)算；

  4. 與相似三角形等的組合，進(jìn)行比例線段的證明等。

 

［知識(shí)要點(diǎn)及解題方法指導(dǎo)］

（四）與圓有關(guān)的角

    弧的度數(shù)：將頂點(diǎn)在圓心的周角等分成360份，則每一份的圓心角叫1°的角，°的圓心角所對(duì)的弧叫做1°的弧。

    圓心角：頂點(diǎn)在圓心，角的兩邊與圓相交的角叫圓心角，圓心角與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等。

    圓周角：（1）頂點(diǎn)在圓上，角的兩邊與圓相交的角叫圓周角。

    （2）圓周角等于它同弧上圓心角的一半。

    （3）同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等。

    （4）半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

    （5）如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么，這個(gè)三角形是直角三角形。

 

  例8. 已知三角形ABC內(nèi)接于圓O，∠A＝60°，，BC＝10，求圓O的直徑。

    解：連結(jié)CO并延長(zhǎng)交圓O于A'，則

    ∠A'＝∠A＝60°

    ∵A'C為圓O直徑

    ∴∠A'BC＝90°

   

   

 

  例9. 已知：△ABC內(nèi)接于圓O，EF是AB的中垂線，交AC于D，交BC延長(zhǎng)線于E，交圓O于F、H。

    求證：AD·CD＝OD·ED

    解：連結(jié)AO

    ∵EF垂直平分AB

    ∴EF過(guò)圓心O，

    ∵∠AOH的度數(shù)＝的度數(shù)

     ∠AFB的度數(shù)＝的度數(shù)＝的度數(shù)

    ∴∠AOH＝∠AFB

    ∵∠ACE為圓內(nèi)接四邊形AFBC的外角

    ∴∠ACE＝∠AFB＝∠AOH

    又∵∠1＝∠2

    ∴△AOD∽△ECD

   

 

  例10. 已知：如圖△ABC為等邊三角形，AB為圓O直徑，AC、BC與圓O交于D、E點(diǎn)。

    求證：D、E平分半圓。

    證明：連結(jié)AE

    ∵△ABC為等邊三角形

    ∴∠B＝60°

    ∵AB為圓O直徑

    ∴∠AEB＝90°

    ∴∠1＝∠2＝30°

    的度數(shù)＝60°

    又∵的度數(shù)＝180°

    的度數(shù)＝60°

    ∴D、E平分半圓

 

圓與三角形、圓與四邊形

［復(fù)習(xí)目標(biāo)要求］

  5. 理解三角形和多邊形的內(nèi)切圓，圓的外切三角形和圓的外切多邊形及三角形的內(nèi)心的概念；理解圓內(nèi)接四邊形的概念、性質(zhì)及圓外切四邊形的性質(zhì)；

  6. 掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理、圓外切四邊形的有關(guān)性質(zhì)，能熟練地解決與它們相關(guān)的計(jì)算及證明問(wèn)題。

 

［重點(diǎn)難點(diǎn)突破］

    重點(diǎn)是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形外接圓，內(nèi)切圓的性質(zhì)及圓外切四邊形的性質(zhì)。

    難點(diǎn)是圓外切四邊形的性質(zhì)的靈活運(yùn)用及三角形內(nèi)切圓的半徑與面積的關(guān)系，在解題過(guò)程中要重視利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)靈活地進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換；注意切線長(zhǎng)定理與整體觀念的組合正確領(lǐng)會(huì)三角形面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系。

 

［中考動(dòng)向分析］

  5. 組合與圓有關(guān)的角的知識(shí)考查角的計(jì)算；

  6. 計(jì)算三角形內(nèi)切圓半徑、三角形面積及圓外切四邊形的面積；

  7. 與切線長(zhǎng)定理、圓冪定理、相似三角形比例線段等知識(shí)結(jié)合考查幾何推理論證能力；

  8. 將相關(guān)的幾何問(wèn)題與函數(shù)、面積、三角函數(shù)、一元二次方程等知識(shí)組合考查數(shù)形結(jié)合的思想和綜合解題能力。

 

［知識(shí)要點(diǎn)及解題方法指導(dǎo)］

（五）圓與三角形、圓與四邊形

    圓的確定：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

    圓與三角形：

    （1）經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫三角形的外接圓，三角形叫圓的內(nèi)接三角形。

    （2）和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，三角形叫做圓的外切三角形。

    （3）三角形有且只有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，它們的圓心分別叫做三角形的外心和內(nèi)心。

    圓與多邊形：

    （1）若一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一圓上，則這個(gè)多邊形叫圓的內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做多邊形的外接圓。

    （2）和多邊形各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，多邊形叫圓的外切多邊形。

    （3）圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。

 

  例11. 已知：如圖AB、CD是圓O內(nèi)的兩條平行弦，在上任取一點(diǎn)P，PB的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于E，PD與AB交于F。

    求證：AD·DE＝BE·DP

    思路一：將等積式轉(zhuǎn)化為比例式，發(fā)現(xiàn)四條線段在兩個(gè)三角形中，因此只須證△BDE∽△PAD即可。

    證法一：連結(jié)AP、DB

    ∵DC∥AB

    ∴∠1＝∠2

    又∵∠2＝∠P

    ∴∠1＝∠P

    又∵∠DBE為圓內(nèi)接四邊形APBD的外角

    ∴∠DBE＝∠DAP

    ∴△ADP∽△DBE

   

    思路二：通過(guò)平行弦所夾的弧相等，等弧對(duì)等弦，可知AD＝BC，應(yīng)用等量代換可證：BC·DE＝BE·DP。

    證法二：連結(jié)BC

    ∵∠CBE為圓內(nèi)接四邊形DPBC的外角

    ∴∠CBE＝∠PDC

    又∵∠E＝∠E

    ∴△BCE∽△PDE

   

    ∴BC·DE＝BE·PD

    又∵AB∥DC

   

    ∴AD·DE＝BE·DP

 

  例12. 如圖，AD為圓O直徑，∠ABC＝114°，AC平分∠BAD，求：∠BCD的度數(shù)。

    分析：利用直徑上的圓周角是直角和圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)進(jìn)行解題。

    解：∵AD為圓O直徑

    ∴∠ACD＝90°

    ∵∠ABC＝114°

    ∴∠D＝66°

    ∴∠1＝24°

    ∵AC平分∠BAD

    ∴∠BAD＝2∠1＝48°

    ∴∠BCD＝132°

 

【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）

一. 選擇題。

  1. 如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的長(zhǎng)為（    ）

    A. 2               B. 3               C. 4               D. 5

  2. 一種花邊由圖弓形組成，的半徑為5，弦AB＝8，則弓形的高CD為（    ）

    A. 2               B.             C. 3               D.

  3. 若圓的一條弦把圓分成度數(shù)比為1∶3的兩條弧，則劣弧所對(duì)圓周角等于（    ）

    A. 45°          B. 90°          C. 135°        D. 270°

  4. 下列命題中正確的是（    ）

    A. 三點(diǎn)確定一個(gè)圓

    B. 平分弦的直線垂直于弦

    C. 相等的圓心角所對(duì)弧相等

    D. 同圓中，同弦所對(duì)圓周角相等

  5. 如圖，BC為半圓O的直徑，A、D為半圓O上兩點(diǎn)，，則∠D的度數(shù)是（    ）

    A. 60°          B. 120°        C. 135°        D. 150°

 

二. 填空題。

  6. 半徑為1的圓中有一條弦，如果它的長(zhǎng)為，那么這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)為___________。

  7. 圓內(nèi)接四邊形ABCD中，如果∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，那么∠D＝__________度。

  8. 如圖，AB是⊙O的弦，AC切⊙O于點(diǎn)A，且∠BAC＝45°，AB＝2，則⊙O的面積為______________（結(jié)果保留）。

  9. 如圖，PA、PC分別切⊙O于A、C兩點(diǎn)，B為⊙O上與A、C不重合點(diǎn)，若∠P＝50°，則∠ABC＝_____________。

  10. 如圖，點(diǎn)O為△ABC內(nèi)心，∠A＝56°，則∠BOC＝_____________。

 

三. 解答題。

  11. 已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，直線DE與⊙O切于點(diǎn)A，BD∥CA。

    求證：AB·DA＝BC·BD

  12. 如圖，圓外切等腰梯形ABCD，E、F為切點(diǎn)，中位線EF＝15cm，求：等腰梯形ABCD周長(zhǎng)。

  13. 已知：如圖，BE是△ABC的外接圓O的直徑，CD是△ABC的高。

    （1）求證：AC·BC＝BE·CD；

    （2）已知CD＝6，AD＝3，BD＝8，求⊙O的直徑BE的長(zhǎng)。

 

【試題答案】

一. 選擇題。

  1. A            2. A        3. A        4. D        5. C

二. 填空題。

  6. 60°或120°

  7. 90

  8.

  9. 65°或115°

  10. 118°

三. 解答題。

  11. 解：∵BD∥CA

    ∴∠DBA＝∠BAC

    ∵DE切⊙O于A

    ∴∠BAD＝∠BCA

    ∴△ABC∽△BDA

   

    ∴AB·DA＝BC·BD

  12. 解：∵等腰梯形ABCD外切于⊙O

    ∴AB、BC、CD、DA分別切⊙O于點(diǎn)E、N、F、M

    ∴AM＝AE，DM＝DF，BE＝BN，NC＝FC

    ∵等腰梯形ABCD中位線EF＝15

   

    ∴等腰梯形ABCD周長(zhǎng)為60

  13. 解：（1）連結(jié)CE

    ∵BE是⊙O的直徑

    ∴∠ECB＝90°

    ∵CD⊥AB

    ∴∠ADC＝90°

    ∴∠ECB＝∠ADC

    又∵∠A＝∠E

    ∴△ADC∽△ECB

   

    （2）在Rt△ACD和Rt△BCD中

    ∵CD＝6，AD＝3，BD＝8

   

    由（1）有AC·BC＝BE·CD

    即

    ∴

    ∴⊙O的直徑BE的長(zhǎng)是