一．知識(shí)框架

二．知識(shí)概念　　

1.圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。定點(diǎn)稱(chēng)為圓心，定長(zhǎng)稱(chēng)為半徑。

2.圓弧和弦：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧。大于半圓的弧稱(chēng)為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱(chēng)為劣弧。連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦。經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。

3.圓心角和圓周角：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。

4.弦心距：圓心到弦間的距離叫弦心距。

5.內(nèi)心和外心：過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。和三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱(chēng)為內(nèi)心。

6.扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。

7.圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。這個(gè)扇形的半徑稱(chēng)為圓錐的母線(xiàn)。

三.四等定理：在同圓或等圓中，同?。ǖ然。┧鶎?duì)的弦、弦心距、圓心角、圓周角也相等；此定理也稱(chēng)1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，

即：①∠AOB=∠DOE；②AB=DE；

③OC=OF；④ 弧AB=弧BD

四.圓周角定理

1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。

即：∵∠AOB和∠ACB是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角

∴∠AOB=2∠AOC

2、圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等?。?/strong>

即：在⊙O中，∵∠C、∠D都是所對(duì)的圓周角

∴∠C=∠D

推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。

即：在⊙O中，∵AB是直徑 或∵∠C=90°

∴ ∠C=90° ∴AB是直徑

推論3：若三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

即：在△ABC中，∵OA=OB=OC

∴△ABC是直角三角形或∠C=90°

注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半的逆定理。

【真題演練】

1.下列命題中，正確的是（ ）

① 頂點(diǎn)在圓周上的角是圓周角； ② 圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半；

③ 90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑； ④ 不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；⑤ 同弧所對(duì)的圓周角相等

A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤

2.如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠DAB=48°，則∠ACD=　 　°．

五.垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；

（2）弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；

（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱(chēng)2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即：

①AB是直徑 ②AB⊥CD ③CE=DE

④ 弧BC弧BD ⑤ 弧AC弧AD

中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

即：在⊙中，∵AB∥CD

∴弧AC=弧BD

1. 如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結(jié)論不一定成立的是

A.CM=DM B.弧AC=弧AD C.AD=2BD D.∠BCD=∠BDC

2. 興隆蔬菜基地建圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB＝16m，

半徑 OA＝10 m，高度CD為 m．

3.如圖，AB是⊙O的弦，CO⊥AB于點(diǎn)，若AB=8cm，

OC=3cm，則⊙O的半徑為 cm．

六.圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。

即：在⊙O中，

∵四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形

∴∠C+∠BAD=180° ∠B+∠D=180°

∠DAE=∠C

七.與圓有關(guān)的位置關(guān)系

（一）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1、點(diǎn)在圓內(nèi) d<r 點(diǎn)在圓內(nèi)；

2、點(diǎn)在圓上 d-r 點(diǎn)在圓上；

3、點(diǎn)在圓外 d>r 點(diǎn)在圓外；

（二）直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

1、直線(xiàn)與圓相離 d>r 無(wú)交點(diǎn)；

2、直線(xiàn)與圓相切 d=r 有一個(gè)交點(diǎn)；

3、直線(xiàn)與圓相交 d<r 有兩個(gè)交點(diǎn)；

（三）圓與圓的位置關(guān)系

外離（圖1） 無(wú)交點(diǎn) ；

外切（圖2） 有一個(gè)交點(diǎn) ；

相交（圖3） 有兩個(gè)交點(diǎn) ；

內(nèi)切（圖4） 有一個(gè)交點(diǎn) ；

內(nèi)含（圖5） 無(wú)交點(diǎn) ；

1.已知⊙O的半徑為3cm，直線(xiàn)l上有一點(diǎn)P，OP=3cm，則直線(xiàn)l與⊙O的位置關(guān)系為（ ）

A．相交 B．相離 C．相切 D．相交或相切

2.如圖，在直角坐標(biāo)系中，圓O的半徑為1，則直線(xiàn)y=-x+√2與圓O的位置關(guān)系是（ ）

Ａ．相離 Ｂ．相交

Ｃ．相切 Ｄ．以上三種情形都有可能

3.已知⊙O的半徑是3，圓心O到直線(xiàn)AB的距離是3，則直線(xiàn)AB與⊙O的位置關(guān)系是 4. 兩圓半徑分別為3和4，圓心距為7，則這兩個(gè)圓( )

A．外切 B．相交 C．相離 D．內(nèi)切

八.切線(xiàn)的性質(zhì)與判定定理（中考必考考點(diǎn)，常與垂徑定理、全等三角形、相似三角形綜合）

（1）切線(xiàn)的判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線(xiàn)是切線(xiàn)；

兩個(gè)條件：過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可

即：∵M(jìn)N⊥OA且MN過(guò)半徑OA外端

∴MN是⊙O的切線(xiàn)

（2）性質(zhì)定理：切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（如上圖）

推論1：過(guò)圓心垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)切點(diǎn)。

推論2：過(guò)切點(diǎn)垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)圓心。

以上三個(gè)定理及推論也稱(chēng)二推一定理：

即：①過(guò)圓心；②過(guò)切點(diǎn)；③垂直切線(xiàn)，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。

以下內(nèi)容為付費(fèi)內(nèi)容52%

九、切線(xiàn)長(zhǎng)定理

切線(xiàn)長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。

即：∵PA、PB是的兩條切線(xiàn)

∴PA=PB

PO平分∠BPA

1. 如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)，使DC=BD，連結(jié)AC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）求證：AB=AC；

（2）求證：DE為⊙O的切線(xiàn)；

（3）若⊙O的半徑為5，∠BAC=60°，求DE的長(zhǎng)．

2.如圖所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DE．

（1）求證：DE與⊙O相切；

（2）若⊙O的半徑為，DE=3，求AE．

3.如圖，⊙O的直徑AB=4，∠ABC=30°，BC=4，D是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，

（1）試判斷點(diǎn)D與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，求證直線(xiàn)DE是⊙O的切線(xiàn)。

4. 如圖，點(diǎn)A，B在直線(xiàn)MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半徑均為1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，⊙B的半徑也不斷增大，其半徑r（厘米）與時(shí)間t（秒）之間的關(guān)系式為r＝1+t（t≥0）．

（1）試寫(xiě)出點(diǎn)A，B之間的距離d（厘米）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）問(wèn)點(diǎn)A出發(fā)后多少秒兩圓相切？

十.圓冪定理

1.相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線(xiàn)段的乘積相等。

即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于點(diǎn)P，

∴PA·PB=PC·PD

2.推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線(xiàn)段的比例中項(xiàng)。

即：在⊙O中，∵直徑AB⊥CD，

∴CE2=AE·BE

3.切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。

即：在⊙O中，∵PA是切線(xiàn)，PB是割線(xiàn)

∴ PA2=PC·PB

4.割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn)，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等（如上圖）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割線(xiàn)

∴PC·PB=PD·PE

十一、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算

1.正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在Rt△BOD中進(jìn)行：

（2）正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在Rt△AOE中進(jìn)行，：

（3）正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在Rt△AOB中進(jìn)行，

十二.扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式

1、扇形：（1）弧長(zhǎng)公式：l=nπR/180；

（2）扇形面積公式：S=nπR2/360

n：圓心角 R：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑 l ：扇形弧長(zhǎng) S：扇形面積

2、圓柱：

（1）A圓柱側(cè)面展開(kāi)圖

（2）A圓錐側(cè)面展開(kāi)圖

1.如圖，如果從半徑為9cm的圓形紙片剪去1/3圓周的一個(gè)扇形，將留下的扇形圍成一個(gè)圓錐（接縫處不重疊），那么這個(gè)圓錐的高為（ ）．B

A．6cm B．3√5cm C．8cm D．5√3cm

2.現(xiàn)有一圓心角為90°，半徑為8cm的扇形紙片，用它恰好圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則該圓錐底面圓的半徑為（ ）

A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm

3. 將一個(gè)弧長(zhǎng)為12πcm, 半徑為10cm的扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐形容器(不計(jì)接縫), 那么這個(gè)圓錐形容器的高為_(kāi)____cm.

4.如圖，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，OF⊥AC于點(diǎn)F．

（1）請(qǐng)寫(xiě)出三條與BC有關(guān)的正確結(jié)論；

（2）當(dāng)∠D=30°，BC=1時(shí)，求圓中陰影部分的面積．

5. 如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且AB=13，BC=5．

（1）求sin∠BAC的值；

（2）如果OD⊥AC，垂足為D，求AD的長(zhǎng)；

（3）求圖中陰影部分的面積（精確到0.1）．

十三.圓中的動(dòng)點(diǎn)及最值問(wèn)題

在平面幾何問(wèn)題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量（如線(xiàn)段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)）的最大值或最小值問(wèn)題，稱(chēng)為最值問(wèn)題。

最值問(wèn)題的解決方法通常有兩種：

(1) 應(yīng)用幾何性質(zhì)：

① 三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

② 兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短；

③ 連結(jié)直線(xiàn)外一點(diǎn)和直線(xiàn)上各點(diǎn)的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短；

④ 定圓中的所有弦中，直徑最長(zhǎng)。

(2) 運(yùn)用代數(shù)證法：

① 運(yùn)用配方法求二次三項(xiàng)式的最值；

(通常和經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，效率問(wèn)題相結(jié)合)

② 運(yùn)用一元二次方程根的判別式。

這里只介紹圓中的動(dòng)點(diǎn)和最值相結(jié)合的問(wèn)題，還會(huì)有和相似相結(jié)合的。下面兩道題其實(shí)是同種類(lèi)型的題。一般考試涉及到都會(huì)是這兩種。

1.如圖，A點(diǎn)是⊙O上直徑MN所分的半圓的一個(gè)三等分點(diǎn)，B點(diǎn)是弧AN的中點(diǎn)，P點(diǎn)是MN上一動(dòng)點(diǎn)，⊙O的半徑為3，則AP+BP的最小值為_(kāi)________.

解：作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B，交MN于點(diǎn)P，連接OA′，AA′．

∵點(diǎn)A與A′關(guān)于MN對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)A是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，

∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，

∵點(diǎn)B是弧AN^的中點(diǎn)，

∴∠BON=30°，

∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，

又∵OA=OA′=3，

∴A′B=3

∵兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，

∴PA+PB=PA′+PB=A′B=3

此類(lèi)問(wèn)題其實(shí)是用將軍飲馬的思想去解決，先作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，然后連結(jié)求最值。是將軍飲馬和圓中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題相結(jié)合。

2.如圖，P為半圓直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，C為半圓中點(diǎn)，D為弧AC的三等分點(diǎn)，若AB=2，則PC+PD的最短距離為_(kāi)___________

解：設(shè)點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，連接DE交AB于P，則此時(shí)PC+PD的值最小，且PC+PD=PE+PD=DE．

連接OC、OE；

∵C為半圓中點(diǎn)，D為弧AC的三等分點(diǎn)，

∴弧CD的度數(shù)為30°，∠CDE=90°；

∵AB=2，

∴CE=2；

∴DE=EC·cos∠CED=

即PC+PD的最小值為