初三數(shù)學(xué)應(yīng)知應(yīng)會(huì)的知識(shí)點(diǎn)
一元二次方程
1. 一元二次方程的一般形式: a≠0時(shí)，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有關(guān)問題時(shí)，多數(shù)習(xí)題要先化為一般形式，目的是確定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具體數(shù)，也可能是含待定字母或特定式子的代數(shù)式.
2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四種解法要求靈活運(yùn)用，其中直接開平方法雖然簡單，但是適用范圍較小；公式法雖然適用范圍大，但計(jì)算較繁，易發(fā)生計(jì)算錯(cuò)誤；因式分解法適用范圍較大，且計(jì)算簡便，是首選方法；配方法使用較少.
3. 一元二次方程根的判別式: 當(dāng)ax2+bx+c=0 (a≠0)時(shí)，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判別式.請(qǐng)注意以下等價(jià)命題：
Δ＞0 <=> 有兩個(gè)不等的實(shí)根； Δ=0 <=> 有兩個(gè)相等的實(shí)根；
Δ＜0 <=> 無實(shí)根； Δ≥0 <=> 有兩個(gè)實(shí)根（等或不等）.
4. 一元二次方程的根系關(guān)系： 當(dāng)ax2+bx+c=0 (a≠0) 時(shí)，如Δ≥0，有下列公式：
※ 5．當(dāng)ax2+bx+c=0 (a≠0) 時(shí)，有以下等價(jià)命題：
(以下等價(jià)關(guān)系要求會(huì)用公式 ；Δ=b2-4ac 分析，不要求背記)
（1）兩根互為相反數(shù) ? = 0且Δ≥0 ? b = 0且Δ≥0；
（2）兩根互為倒數(shù) ? =1且Δ≥0 ? a = c且Δ≥0；
（3）只有一個(gè)零根 ? = 0且 ≠0 ? c = 0且b≠0；
（4）有兩個(gè)零根 ? = 0且 = 0 ? c = 0且b=0；
（5）至少有一個(gè)零根 ? =0 ? c=0；
（6）兩根異號(hào) ? ＜0 ? a、c異號(hào)；
（7）兩根異號(hào)，正根絕對(duì)值大于負(fù)根絕對(duì)值? ＜0且 ＞0? a、c異號(hào)且a、b異號(hào)；
（8）兩根異號(hào)，負(fù)根絕對(duì)值大于正根絕對(duì)值? ＜0且 ＜0? a、c異號(hào)且a、b同號(hào)；
（9）有兩個(gè)正根 ? ＞0，＞0且Δ≥0 ? a、c同號(hào)， a、b異號(hào)且Δ≥0；
（10）有兩個(gè)負(fù)根 ? ＞0，＜0且Δ≥0 ? a、c同號(hào)， a、b同號(hào)且Δ≥0.
6．求根法因式分解二次三項(xiàng)式公式：注意：當(dāng)Δ＜ 0時(shí)，二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解.
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax2+bx+c= .
7．求一元二次方程的公式：
x2 -（x1+x2）x + x1x2 = 0. 注意：所求出方程的系數(shù)應(yīng)化為整數(shù).
8．平均增長率問題--------應(yīng)用題的類型題之一（設(shè)增長率為x）：
(1) 第一年為 a , 第二年為a(1+x) , 第三年為a(1+x)2.
（2）常利用以下相等關(guān)系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=總和.
9．分式方程的解法：
10. 二元二次方程組的解法：
※11．幾個(gè)常見轉(zhuǎn)化：
；
；
初三數(shù)學(xué)應(yīng)知應(yīng)會(huì)的知識(shí)點(diǎn)
圓
幾何A級(jí)概念：（要求深刻理解、熟練運(yùn)用、主要用于幾何證明）
|
1.垂徑定理及推論:
如圖：有五個(gè)元素，“知二可推三”；需記憶其中四個(gè)定理，
即“垂徑定理”“中徑定理” “弧徑定理”“中垂定理”.
|
幾何表達(dá)式舉例：
∵ CD過圓心
∵CD⊥AB |
|
2.平行線夾弧定理：
圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
|
幾何表達(dá)式舉例： |
|
3.“角、弦、弧、距”定理：（同圓或等圓中）
“等角對(duì)等弦”； “等弦對(duì)等角”；
“等角對(duì)等弧”； “等弧對(duì)等角”；
“等弧對(duì)等弦”；“等弦對(duì)等(優(yōu)，劣)弧”；
“等弦對(duì)等弦心距”；“等弦心距對(duì)等弦”.
|
幾何表達(dá)式舉例：
(1) ∵∠AOB=∠COD
∴ AB = CD
(2) ∵ AB = CD
∴∠AOB=∠COD |
|
4．圓周角定理及推論:
（1）圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半；
（2）一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；(如圖)
（3）“等弧對(duì)等角”“等角對(duì)等弧”；
（4）“直徑對(duì)直角”“直角對(duì)直徑”；(如圖)
（5）如三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.(如圖)
（1） （2）（3） （4）
|
幾何表達(dá)式舉例：
（1） ∵∠ACB= ∠AOB
∴ ……………
（2） ∵ AB是直徑
∴ ∠ACB=90°
（3） ∵ ∠ACB=90°
∴ AB是直徑
（4） ∵ CD=AD=BD
∴ ΔABC是RtΔ
|
|
5．圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理:
圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外
角都等于它的內(nèi)對(duì)角. |
幾何表達(dá)式舉例：
∵ ABCD是圓內(nèi)接四邊形
∴ ∠CDE =∠ABC
∠C+∠A =180° |
|
6．切線的判定與性質(zhì)定理:
如圖：有三個(gè)元素，“知二可推一”；
需記憶其中四個(gè)定理.
（1）經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條
半徑的直線是圓的切線；
（2）圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；
※（3）經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)；
※（4）經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.
|
幾何表達(dá)式舉例：
（1） ∵OC是半徑
∵OC⊥AB
∴AB是切線
（2） ∵OC是半徑
∵AB是切線
∴OC⊥AB
（3） ……………
|
|
7．切線長定理:
從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，
它們的切線長相等；圓心和這一
點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.
|
幾何表達(dá)式舉例：
∵ PA、PB是切線
∴ PA=PB
∵PO過圓心
∴∠APO =∠BPO |
|
8．弦切角定理及其推論:
（1）弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角；
（2）如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等；（如圖）
（3）弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半.（如圖）
（1） （2） |
幾何表達(dá)式舉例：
（1）∵BD是切線，BC是弦
∴∠CBD =∠CAB
（2）
∵ ED，BC是切線
∴ ∠CBA =∠DEF
|
|
9．相交弦定理及其推論:
（1）圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的乘積相等；
（2）如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段長的比例中項(xiàng).
（1） （2） |
幾何表達(dá)式舉例：
（1） ∵PA·PB=PC·PD
∴………
（2） ∵AB是直徑
∵PC⊥AB
∴PC2=PA·PB |
|
10．切割線定理及其推論:
（1）從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)；
（2）從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等.
（1） （2） |
幾何表達(dá)式舉例：
（1） ∵PC是切線，
PB是割線
∴PC2=PA·PB
（2） ∵PB、PD是割線
∴PA·PB=PC·PD |
|
11．關(guān)于兩圓的性質(zhì)定理:
（1）相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦；
（2）如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上.
（1） （2） |
幾何表達(dá)式舉例：
（1） ∵O1，O2是圓心
∴O1O2垂直平分AB
（2） ∵⊙1 、⊙2相切
∴O1 、A、O2三點(diǎn)一線 |
|
12．正多邊形的有關(guān)計(jì)算:
（1）中心角an ，半徑RN ， 邊心距rn ，
邊長an ，內(nèi)角bn ， 邊數(shù)n；
（2）有關(guān)計(jì)算在RtΔAOC中進(jìn)行.
|
公式舉例：
(1) an = ；
(2) |
幾何B級(jí)概念：（要求理解、會(huì)講、會(huì)用，主要用于填空和選擇題）
一 基本概念：圓的幾何定義和集合定義、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高
三角形的外接圓、三角形的外心、三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、 圓心角、圓周角、 弦
切角、 圓的切線、 圓的割線、 兩圓的內(nèi)公切線、 兩圓的外公切線、 兩圓的內(nèi)（外）
公切線長、 正多邊形、 正多邊形的中心、 正多邊形的半徑、 正多邊形的邊心距、 正
多邊形的中心角.
二 定理：
1．不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.
2．任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.
3．正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分為2n個(gè)全等的直角三角形.
三 公式：
1.有關(guān)的計(jì)算：（1）圓的周長C=2πR；（2）弧長L= ；（3）圓的面積S=πR2.
（4）扇形面積S扇形 = ；（5）弓形面積S弓形 =扇形面積SAOB±ΔAOB的面積.（如圖）
2.圓柱與圓錐的側(cè)面展開圖：
（1）圓柱的側(cè)面積：S圓柱側(cè) =2πrh； (r:底面半徑；h:圓柱高)
（2）圓錐的側(cè)面積：S圓錐側(cè) = . （L=2πr，R是圓錐母線長；r是底面半徑）
四 常識(shí)：
1． 圓是軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形.
2． 圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù).
3． 三角形的外心 ? 兩邊中垂線的交點(diǎn) ? 三角形的外接圓的圓心；
三角形的內(nèi)心 ? 兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn) ? 三角形的內(nèi)切圓的圓心.
4． 直線與圓的位置關(guān)系：（其中d表示圓心到直線的距離；其中r表示圓的半徑）
直線與圓相交 ? d＜r ； 直線與圓相切 ? d=r ； 直線與圓相離 ? d＞r.
5． 圓與圓的位置關(guān)系：（其中d表示圓心到圓心的距離，其中R、r表示兩個(gè)圓的半徑且R≥r）
兩圓外離 ? d＞R+r； 兩圓外切 ? d=R+r； 兩圓相交 ? R-r＜d＜R+r；
兩圓內(nèi)切 ? d=R-r； 兩圓內(nèi)含 ? d＜R-r.
6．證直線與圓相切，常利用：“已知交點(diǎn)連半徑證垂直”和“不知交點(diǎn)作垂直證半徑” 的方法加輔助線.
7．關(guān)于圓的常見輔助線：
|
已知弦構(gòu)造弦心距. |
已知弦構(gòu)造RtΔ. |
已知直徑構(gòu)造直角.
|
已知切線連半徑，出垂直. |
|
|
圓外角轉(zhuǎn)化為圓周角.
|
圓內(nèi)角轉(zhuǎn)化為圓周角. |
構(gòu)造垂徑定理. |
構(gòu)造相似形. |
|
|
兩圓內(nèi)切，構(gòu)造外公切線與垂直.
|
兩圓內(nèi)切，構(gòu)造外公切線與平行. |
兩圓外切，構(gòu)造內(nèi)公切線與垂直. |
兩圓外切，構(gòu)造內(nèi)公切線與平行. |
|
|
兩圓同心，作弦心距，可證得AC=DB.
|
兩圓相交構(gòu)造公共弦，連結(jié)圓心構(gòu)造中垂線. |
PA、PB是切線，構(gòu)造雙垂圖形和全等. |
相交弦出相似. |
|
|
一切一割出相似, 并且構(gòu)造弦切角.
|
兩割出相似,并且構(gòu)造圓周角. |
雙垂出相似,并且構(gòu)造直角. |
規(guī)則圖形折疊出一對(duì)全等，一對(duì)相似. |
|
圓的外切四邊形對(duì)邊和相等. |
若AD ∥BC都是切線，連結(jié)OA、OB可證∠AOB=180°，即A、O、B三點(diǎn)一線. |
等腰三角形底邊上的的高必過內(nèi)切圓的圓心 和切點(diǎn),并構(gòu)造相似形.
|
RtΔABC的內(nèi)切圓半徑：r= . |
|
補(bǔ)全半圓. |
AB= . |
AB= . |
|
PC過圓心，PA是切線，構(gòu)造
雙垂、RtΔ. |
O是圓心，等弧出平行和相似.
|
作AN⊥BC，可證出:
.
|
