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一、全等動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 例1： 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，線段PQ＝AB，P，Q兩點(diǎn)分別在AC和過(guò)點(diǎn)A且垂直于AC的射線AO上運(yùn)動(dòng)，要使△ABC和△APQ全等．AP的長(zhǎng)應(yīng)為_______． 分析： 本題中，∠C＝90°，AO⊥AC，則得到∠BCA＝∠PAQ＝90°，則點(diǎn)C必然與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，因此△ABC與△APQ全等，只剩下了兩種情況． 解答： 例2： 如圖，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA，點(diǎn)P在線段AB上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，若使得△ACP與△BPQ全等，則x的值為________． 分析： 本題中，因?yàn)椤螩AB＝∠DBA，所以點(diǎn)A與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)已經(jīng)確定．兩三角形全等也只剩兩種可能．這里的時(shí)間t，速度x均為未知量，但可以建立方程，求出其中一個(gè)，再求另一個(gè)． 解答： 例3： 如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝24cm，∠ABC＝∠ACB，BC＝16cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以4cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為______cm/s時(shí)，能夠在某一時(shí)刻使△BPD與△CQP全等． 分析： 本題可以看作例2的變式，幾乎如出一轍，依舊是點(diǎn)B與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)，兩種情況． 解答： 例4： 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P、Q是邊AC、BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD⊥AB于點(diǎn)D，QE⊥AB于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)沿CA以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來(lái)的速度沿AC返回到點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C后停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t＝_______時(shí)，△APD和△QBE全等． 分析： 本題中，∠ADP＝∠QEB＝90°，則點(diǎn)D與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)，而∠A＋∠APD＝90°，∠A＋∠B＝90°，則∠APD＝∠B，點(diǎn)P與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，則△APD≌△QEB，而可以用含t的代數(shù)式表示的邊是AP，BQ．要注意點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為從C到A再返回C，表示邊AP 時(shí)要分類討論． 解答： 二、再談倍長(zhǎng)中線 例1： 已知：如圖，AD是△ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD． 分析： 本題是涉及兩線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段長(zhǎng)度的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題，應(yīng)該想到，放在三角形的三邊關(guān)系來(lái)考慮．而這里的AD為中線，要構(gòu)造2AD，顯然要延長(zhǎng)中線AD，即倍長(zhǎng)中線． 解答： 例2： △ABC中，D為BC中點(diǎn)，已知AB＝7，AD＝5，求AC的取值范圍． 分析： 本題是涉及兩線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段長(zhǎng)度的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題，應(yīng)該想到，放在三角形的三邊關(guān)系來(lái)考慮．而這里的AD為中線，要構(gòu)造2AD，顯然要延長(zhǎng)中線AD，即倍長(zhǎng)中線． 解答： 例3： 如圖，△ABC 中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF，請(qǐng)判斷BE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系． 分析： 本題中，要直接發(fā)現(xiàn)BE，EF，CF 間的大小關(guān)系很困難，三條線段不在同一個(gè)三角形中．受上一題啟發(fā)，可能有同學(xué)會(huì)想到連接AD，倍長(zhǎng)中線．但是，這樣只能將AC轉(zhuǎn)化至某一條線段，與CF沒(méi)有關(guān)系．因此看到中點(diǎn)D，我們也要想到倍長(zhǎng)與中點(diǎn)相關(guān)的線段FD．再聯(lián)想到∠EDF＝90°，想到通過(guò)二次全等，轉(zhuǎn)化EF，以達(dá)到將三條線段轉(zhuǎn)化至同一個(gè)三角形內(nèi)的目的． 解答： 本講思考題 |
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