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一、選擇題
1 、△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D、E是BC上的點，∠BAD=∠DAE=∠EAC，則圖中等腰三角形的個數(shù)是（ ） 
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 6個 【正確答案】D
【題目解析】
考點：等腰三角形的判定．
分析：由已知條件，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°、角的平分線的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)，然后利用等腰三角形的判定進行找尋，注意做到由易到難，不重不漏．
解答：
解：AB=AC，∠ABC=36°，
∴∠BAC=108，
∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°．
∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6個．
故選D．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵．
2、如圖，P、Q是△ABC邊BC上的兩點，且QC=AP=AQ=BP=PQ，則∠BAC為（）
A. 125° B. 130° C. 90° D. 120° 【正確答案】D 【題目解析】 考點：等腰三角形的性質(zhì)．
分析：先根據(jù)BP=QC=PQ=AP=AQ求證△APQ為等邊三角形，△ABP為等腰三角形，△AQC為等腰三角形，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠QAC和∠BAP的度數(shù)即可．
解答：解：∵BP=QC=PQ=AP=AQ，
∴△APQ為等邊三角形，△ABP為等腰三角形，△AQC為等腰三角形，
∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°， 
在△ABP和△CAQ中，，
∴△ABP≌△ACQ，
同理：∠BAP=30°， ∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°．
故選D．
點評：此題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是判定出△APQ為等邊三角形，△ABP為等腰三角形，△AQC為等腰三角形，然后利用三角形外角的性質(zhì)即可求解．
3、如圖，在△ABC中，AB=AC，AD=DE，若∠BAD=18°，∠EDC=12°，則∠ADE=（ ）
A. 56° B. 58° C. 60° D. 62° 【正確答案】A 【題目解析】 考點：等腰三角形的性質(zhì)．
分析：設(shè)∠ADE=x°，則∠B+18°=x°+12°，可用x表示出∠B和∠C，再利用外角的性質(zhì)可表示出∠DAE和∠DEA，在△ADE中利用三角形內(nèi)角和可求得x．
解答：解：設(shè)∠ADE=x°，且∠BAD=18°，∠EDC=12°，
∴∠B+18°=x°+12°，
∴∠B=x°﹣6°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=x°﹣6°，
∴∠DEA=∠C+∠EDC=x°﹣6°+12°=x°+6°，
∵AD=DE，
∴∠DEA=∠DAE=x°+6°，
在△ADE中，由三角形內(nèi)角和定理可得
x+x+6+x+6=180，
解得x=56，即∠ADE=56°，
故選A．
點評：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及外角的性質(zhì)，用∠ADE表示出∠DAE和∠DEA是解題的關(guān)鍵．
4 、如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于點D，點E為AC的中點，連接DE，則△CDE的周長為（ ）
A. 20 B. 12 C. 14 D. 13 【正確答案】C 【題目解析】 考點：直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的性質(zhì)．
分析：根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD⊥BC，CD=BD，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DE=CE=?AC，然后根據(jù)三角形的周長公式列式計算即可得解． 解答：解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8， ∴AD⊥BC，CD=BD=?BC=4， ∵點E為AC的中點，
∴DE=CE=?AC=5， ∴△CDE的周長=CD+DE+CE=4+5+5=14．
故選C．
點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．
5、上午8時，一條船從海島A出發(fā)，以15n mile/h（海里/時，1n mile=1852m）的速度向正北航行，10時到達海島B處，從A、B望燈塔C，測得NAC=42°，NBC=84°．則從海島B到燈塔C的距離為（ ）
A. 45n mile B. 30n mile C. 20n mile D. 15n mile 【正確答案】B 【題目解析】 考點：等腰三角形的判定與性質(zhì)；方向角． 專題：應(yīng)用題
分析：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，求證∠C=∠NAC，然后即可證明BC=AB，從而求得B到C的距離． 解答：解：∵∠NBC=84°，∠NAC=42°，
∴∠C=84°﹣42°=42°．
∴∠C=∠NAC，
∴BC=AB，
∵上午8時，一條船從海島A出發(fā)，以150n mile/h的速度向正北航行．10時到達海島B處，
∴BC=AB=15×2=30n mile．
故選B．
點評：此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用等腰三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6 、已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，則下列結(jié)論正確的是（ ） A. 2α+∠A=180° B. α+∠A=90° C. 2α+∠A=90° D. α+∠A=180°
【正確答案】A 【題目解析】 考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．
專題：壓軸題．
分析：由AB=AC，根據(jù)等邊對等角，即可得∠B=∠C，又由BF=CD，BD=CE，可證得△BDF≌△CED（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求得∠B=∠C=α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求得答案．
解答：解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵BF=CD，BD=CE，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD=∠EDC，
∵α+∠BDF+∠EDC=180°，
∴α+∠BDF+∠BFD=180°，
∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，
∴∠B=α，
∴∠C=∠B=α，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2α+∠A=180°．
故選：A．
點評：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
7 、下列說法：①角平分線上的點到角兩邊的距離相等； ②等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；
③三角形三邊的垂直平分線交于一點且這一點到三角形三個頂點的距離相等；
④等腰三角形的一邊長為8，一邊長為16，那么它的周長是32或40．
其中，所有正確說法的序號是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③ D. ②④ 【正確答案】C 【題目解析】 考點：角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．
分析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)判斷①； 根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)判斷②； 根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷③； 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系及周長的定義判斷④．
解答： 解：①角平分線上的點到角兩邊的距離相等，說法正確；
②等腰三角形底邊上的高、中線與頂角的角平分線互相重合，說法錯誤；
③三角形三邊的垂直平分線交于一點且這一點到三角形三個頂點的距離相等，說法正確；
④等腰三角形的一邊長為8，一邊長為16，那么它的周長是40．
故選C．
點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，熟記性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．
8 、如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，那么下列結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE=BD+CE；
③△ADE的周長等于AB與AC的和；
④BF=CF．
其中正確的有（ ）
A. ①②③ B. ①②③④ C. ①② D. ① 【正確答案】A 【題目解析】 考點：等腰三角形的判定；角平分線的性質(zhì)．
分析：由平行線得到角相等，由角平分線得角相等，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定和性質(zhì)．
解答： 解：∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵BF是∠ABC的平分線，CF是∠ACB的平分線，
∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，
∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，
∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．
∴DF=DB，F(xiàn)E=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，
∴△ADE的周長AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．
故選A．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)；題目利用了兩直線平行，內(nèi)錯角相等，及等角對等邊來判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關(guān)鍵．
9 、如圖，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，點P從點B出發(fā)以每秒3cm的速度向點A運動，點Q從點A同時出發(fā)以每秒2cm的速度向點C運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，當(dāng)△APQ是以PQ為底的等腰三角形時，運動的時間是（ ）
A. 2.5秒 B. 3秒 C. 3.5秒 D. 4秒 【正確答案】D 【題目解析】 考點：等腰三角形的性質(zhì)．
專題：壓軸題；動點型．
分析：設(shè)運動的時間為x，則AP=20﹣3x，當(dāng)APQ是等腰三角形時，AP=AQ，則20﹣3x=2x，解得x即可．
解答： 解：設(shè)運動的時間為x，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，
點P從點B出發(fā)以每秒3cm的速度向點A運動，點Q從點A同時出發(fā)以每秒2cm的速度向點C運動，
當(dāng)△APQ是等腰三角形時，AP=AQ，
AP=20﹣3x，AQ=2x
即20﹣3x=2x，
解得x=4．
故選D．
點評：此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)這一知識點的理解和掌握，此題涉及到動點，有一定的拔高難度，屬于中檔題．
二、簡答題 (1題)
已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°．點D為△ABC內(nèi)一點，且DB=DC，∠DCB=30°．點E為BD延長線上一點，且AE=AB．
（1）求∠ADE的度數(shù)； （2）若點M在DE上，且DM=DA，求證：ME=DC． 【正確答案】 解：（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°， ∴∠ABC=∠ACB= =75°， ∵DB=DC，∠DCB=30°， ∴∠DBC=∠DCB=30°， ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=45°， ∵AB=AC，DB=DC， ∴AD所在直線垂直平分BC， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD=?∠BAC=15°， ∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°； （2）連接AM， ∵∠ADE=60°，DM=AD， ∴△ADM是等邊三角形， ∴∠ADB=∠AME=120° ∵AE=AB， ∴∠ABD=∠E， 在△ABD和△AEM中， ∴△ABD≌△AEM（AAS）， ∴BD=ME， ∵BD=CD， ∴CD=ME． 【題目解析】 【分析】 （1）易求∠ABD的大小，易求AD所在直線垂直平分BC，根據(jù)等腰三角形底邊三線合一性質(zhì)可得AD平分∠BAC，根據(jù)三角形外角等于不相鄰兩內(nèi)角性質(zhì)即可解題； （2）連接AM，易證△ABD≌△AEM，可得BD=ME，根據(jù)BD=CD即可求得ME=CD．
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