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巧用“兩線合一”構(gòu)建且證明等腰三角形問題 湖北省襄陽市樊城區(qū)牛首鎮(zhèn)竹條一中 李敬峰 谷興武 學(xué)習(xí)了等腰三角形的三線合一后，筆者認(rèn)為，可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，補(bǔ)充“三線合一”的逆命題的教學(xué)，因?yàn)檫@種逆命題雖然不能作為定理用，但它在解題中非常常見的。掌握了它，可以為我們解題增加一種重要思路。它有以下幾種形式： ①一邊上的高與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形．（線段垂直平分線的性質(zhì)） ②一邊上的高與這邊所對(duì)角的平分線重合的三角形是等腰三角形． ③一邊上的中線與這邊所對(duì)角的平分線重合的三角形是等腰三角形. 因此，三角形“一邊上的高、這邊上的中線及這邊所對(duì)角的平分線”三線中“兩線合一”就能證明它是等腰三角形． 為了便于記憶，筆者簡言之：兩線合一，必等腰。 本文重點(diǎn)利用該逆命題作為一種思路正確地添加輔助線，構(gòu)建等腰三角形且證明之來解決問題。
一、我們先來證明“三線合一”性質(zhì)的逆命題三種情形的正確性：
證明①：已知:如圖1，△ABC中，AD是BC邊上的中線，又是BC邊上的高。 求證：△ABC是等腰三角形。 分析：AD就是BC邊上的垂直平分線，利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可以推出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。具體證明過程略。 證明②：已知:如圖1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AD是BC邊上的高。 求證：△ABC是等腰三角形。 分析：利用ASA的方法來證明△ABD≌△ACD，由此推出AB=AC得出△ABC是等腰三角形。具體證明過程略。 證明③：已知:如圖2， △ABC中，AD是∠BAC的角平分線， AD是BC邊上的中線。 求證：△ABC是等腰三角形。 方法一： 分析：要證△ABC是等腰三角形就是要證AB=AC，直接通過證明這兩條線段所在的三角形全等不行，那就換種思路，經(jīng)驗(yàn)告訴我們，在有中點(diǎn)的幾何證明題中常用的添輔助線的方法是“倍長中線法”（即通過延長三角形的中線使之加倍，以便構(gòu)造出全等三角形來解決問題的方法），即延長AD到E點(diǎn)，使DE=AD，由此問題就解決了。 證明：如圖2，延長AD到E點(diǎn)，使DE=AD，連接BE
AD = DE ∠ADC=∠EDB CD=BD ∴△ADC≌△EDB ∴AC=BE, ∠CAD=∠BED ∵AD是∠BAC的角平分線 ∴∠BAD=∠CAD ∴∠BED=∠BAD ∴AB=BE 又∵AC=BE ∴AB=AC ∴△ABC是等腰三角形。 方法二： 分析：上面的“倍長中線法”稍微有點(diǎn)麻煩，經(jīng)驗(yàn)告訴我們，遇到角的平分線，我們可以利用角的平分線的性質(zhì)：過角的平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，從而構(gòu)造出了高，再利用面積公式開辟出新思維。具體做法是：如圖2， 當(dāng)然，學(xué)生在作出角的平分線上一點(diǎn)到角的兩邊的距離時(shí)，很容易形成思維定勢，證明兩組直角三角形分別全等，從而證明∠B=∠C，所以AB=AC，此法明顯較麻煩些，但是思路要給予肯定。 需要提醒讀者的是：以上我們證明了“三線合一”的逆定理的正確性，但是這種逆命題不能作為定理來用，掌握了它和它的證明過程，其目的是為我們解題增加一種重要思路和方法。
二、 利用“三線合一”性質(zhì)的逆命題添加輔助線，構(gòu)建且證明等腰三角形來解決問題
1、逆命題①的應(yīng)用（即線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用） 例1 人教版八（上）第十二章章節(jié)復(fù)習(xí)題中的第5題：如圖4，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求證：AC=AB。 經(jīng)筆者驗(yàn)證，學(xué)生一拿到題目就找全等三角形或構(gòu)建全等三角形，所以連接AO（圖略），證明△AOC≌△AOB或者三組直角三角形分別全等，其中還要用到線段的垂直平分線的性質(zhì)，證明OA=OB=OC，方法相當(dāng)?shù)芈闊?/SPAN> 分析：題目沒有直接給出“CD、BE分別是AB、AC的垂直平分線”這樣的語句，所以學(xué)生最初拿到這個(gè)題目，很難把分立的垂直和平分兩個(gè)條件聯(lián)系在一起。如果學(xué)生有“兩線合一，必等腰”的思維，很容易想到CD、BE分別可以是以AB、AC為底邊的等腰三角形底邊上的高和中線，即“兩線合一”，因此添加輔助線，構(gòu)造等腰三角形。 簡單證明：連結(jié)BC，∵ CD⊥AB，AD=BD ∴ AC=BC （注：利用線段垂直平分線的性質(zhì)） 同理可得：AB=BC ∴ AC=AB 由于逆命題①的應(yīng)用與線段垂直平分線的性質(zhì)相一致，所以筆者在此就不過多的舉例。 2、逆命題②的應(yīng)用 例2 已知：如圖5，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D為垂足，AB>AC。 求證：∠2=∠1+∠B 分析：由“AD平分∠BAC，CD⊥AD”可以想到AD可以是同一個(gè)等腰三角形底邊上的高和底邊所對(duì)角的平分線，即“兩線合一”，因此添加輔助線，構(gòu)造等腰三角形。 簡單證明：延長CD交AB于點(diǎn)E，由題目提供的條件，可證△AED≌△ACD，∠2=∠AEC，又∠AEC=∠1+∠B，所以結(jié)論得證。 例3 在學(xué)習(xí)等腰三角形知識(shí)時(shí)，會(huì)遇到這個(gè)典型題目：如圖6，在△ABC中，∠ BAC=900，AB=AC，BE平分∠ABC，且CD⊥BE交BE的延長線于點(diǎn)D， 求證：CD= 分析：由已知條件可知：BD滿足了逆命題②的“兩線合一”，所以延長CD和BA，交于點(diǎn)F，補(bǔ)全等腰三角形。 簡單證明：由所添輔助線可證△BFD≌△BCD，可知△BCF是等腰三角形 ∴ CD=DF= 再證△ABE≌△ACF ∴ BE=CF ∴ CD= 可見，學(xué)會(huì)“兩線合一，必等腰”的思維，對(duì)滿足“三線合一”性質(zhì)的逆命題的條件，添加適當(dāng)?shù)妮o助線來構(gòu)造等腰三角形，為我們解決相關(guān)問題開辟了新思維。 筆者認(rèn)為，三個(gè)逆命題中以逆命題②在幾何證明的應(yīng)用中尤為突出。 例4 逆命題②還可以與中位線綜合應(yīng)用： 已知： 如圖7，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作AD的垂線，交AD的延長線于點(diǎn)E，F為BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF。 求證： EF∥AB，EF= 分析： 由已知可知，線段AE既是∠BAC的角平分線，又是EC邊上的高，即“兩線合一”，就想到把AE所在的等腰三角形構(gòu)造出來，因而就可添輔助線：分別延長CE、AB交于點(diǎn)G。 簡單證明：由所添輔助線可證△AGE≌△ACE，得出△AGC是等腰三角形，AG=AC ∴EG=CE 又∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn) ∴EF是△BGC的中位線 ∴EF∥AB，EF= 3、逆命題③應(yīng)用： 例5 已知：如圖8，△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE∥AC 、DF∥AB分別與AB、AC相交于點(diǎn)E，F。求證：DE=DF 分析：根據(jù)已知條件，利用相似性知識(shí)，可證：點(diǎn)E，F分別是AB、AC的中點(diǎn)（初中階段不能用三角形的中位線的逆定理），又因點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，再利用三角形中位線的性質(zhì)可知，DE= 證明：過程略。 還有的題目沒有直接給出“兩線合一”的條件，而是需要證明其中一個(gè)條件或者通過作輔助線構(gòu)建另一個(gè)條件，使題目符合“兩線合一”思路。 例6 如圖9，梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，求證：AD=CD+AB 例7 分析：拿到這個(gè)題目，學(xué)生的思維很活躍，有的用“截長補(bǔ)短法”；有的用“角的平分線性質(zhì)”；有的用“梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題” 的方法；筆者發(fā)現(xiàn)有幾個(gè)學(xué)生延長DC、AE相交于點(diǎn)F，易證△ABE≌△FCE，所以 AB=CF，AE=EF，可見只要證明AD=FD，題目所求證的結(jié)論就可得證?？墒菍W(xué)生想到這一步，思維受阻：DE此時(shí)既是∠ADC的角平分線，又是AF邊上的中線，△DAF肯定是等腰三角形，就是不知道怎么證明?？梢姡瑢W(xué)生如果有“兩線合一，必等腰”的思維和掌握了它的證明方法，那么此法是可行。只是此法用于這個(gè)題目較為麻煩、不可取，但是對(duì)于學(xué)生的思維火花還是要給予肯定的。 由于筆者在研究過程中，發(fā)現(xiàn)逆命題③的應(yīng)用不是很多，所以在此就不過多的舉例。
三、請(qǐng)讀者小試牛刀
學(xué)習(xí)了以上“兩線合一，必等腰”的新思路，筆者最后再一次警告讀者：由于“三線合一”性質(zhì)的逆命題①與線段垂直平分線的性質(zhì)相吻合，所以可直接應(yīng)用；但是運(yùn)用逆命題②或③添加輔助線構(gòu)造的等腰三角形必須先要證明，不能作為定理用，切記切記！謹(jǐn)防與“三線合一”性質(zhì)搞混淆。 請(qǐng)讀者試解下面問題（前2題提示，后3題不予提示） 1、已知，如圖10，△ABC中，∠BAC＝ 90°， AD⊥BC于D，∠ABC的平分線交AD于E，交AC于P，∠CAD的平分線交BP于Q。求證：△QAD是等腰三角形。（提示：可證∠AQB=90°，延長AQ。此題把逆命題②與直角三角形的性質(zhì)綜合應(yīng)用） 2、如圖（圖略，讀者自己畫），在△ABC中（AB≠AC），M為BC的中點(diǎn)，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．求證：ME=MF．（提示：延長BE、CF．） 3、如圖（圖略），BE、CF是△ABC的角平分線，AM⊥CF于M，AN⊥BE于N． 求證：MN∥BC．（畫圖時(shí)，注意AB≠AC） 4、如圖（圖略），已知梯形 ABCD中，AB∥CD，∠C的平分線CE⊥AD于E，且DE=2AE，CE把梯形ABCD分成兩部分，求這兩部分面積之比．（畫圖時(shí)，注意AB為上底，CD為下底，E點(diǎn)在線段AD上） 5、BD、CE是△ABC的兩個(gè)外角的平分線，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E．求證：(1)DE∥BC．(2)DE等于△ABC的周長的一半．（畫圖時(shí)，注意BD，CE在直線BC的同側(cè)） 等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題的應(yīng)用不斷為學(xué)生開辟了新思維，強(qiáng)化了學(xué)生通過添加輔助線解題的能力，而且在添加輔助線的過程中也蘊(yùn)含著化歸的數(shù)學(xué)思想。
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