林開亮（首都師范大學數(shù)學博士，目前任教于西北農(nóng)林科技大學理學院）

最近讀到物理學家和科技史家程貞一教授的訪談錄（標題是“我的人生經(jīng)歷與學術(shù)生涯”，作者郭金海），他提到早年的一段感受：

另一件印象比較深刻的事，是上初中時，我對中國古代數(shù)學萌發(fā)了興趣。記得那時我們在念代數(shù)，教科書是《范氏大代數(shù)》。那時一直困惑我的一個問題是：為什么我們的數(shù)學教科書上沒有一個來自中國文明的定理和成就？

正是這個疑問引導程貞一后來慢慢走向了科學史的研究，最終取得了杰出的成就。

與他相仿，我在年少時也渴望了解中國古代數(shù)學，然而教科書上很少提及這段歷史。即便到了大學、上了數(shù)學系、念了研究生、翻了好多書，我對中國古代數(shù)學的認識還是很模糊。直到工作之后，我偶然讀到吳文俊先生的幾篇分析中國古代數(shù)學的文章，才豁然開朗。

照我的解讀，吳文俊先生的意思是，中國古代數(shù)學其實只有一個關(guān)鍵字：術(shù)。吳先生在《對中國傳統(tǒng)數(shù)學的再認識》中的原話如下：

大體說來，中國數(shù)學的古典著作大都以依據(jù)不同方法或不同類型分成章節(jié)的問題集的形式出現(xiàn)。每一個別問題又都分成若干個條目。條目一是“問”，提出有具體數(shù)值的問題。條目二是“答”，給出這一問題的具體數(shù)值解答。條目三稱為“術(shù)”，一般來說乃是解答與條目一同一類型問題的普遍方法，實際上就相當于現(xiàn)代計算機科學中的“算法”，但有時也相當于一個公式或一個定理。條目四是“注”，說明“術(shù)”的依據(jù)或理由，實質(zhì)上相當于一種證明。宋元以來，可能是由于印刷術(shù)的發(fā)達，往往加上條目五“草”，記述依據(jù)“術(shù)”得出答案的詳細計算過程。

這里應特別提出條目三“術(shù)”的作用。雖然條目一、二中的問與答都以具體數(shù)值表達，有時甚至術(shù)文本身也是如此，但不難看出所有術(shù)文都具有普遍意義。術(shù)文中即使帶有具體數(shù)值，這些數(shù)值并不起重要作用。如果以其他同類型的數(shù)值來代替，術(shù)文也依然行之有效。條目四的“注”或即證明也是如此。論證的正確性完全不依賴于原設數(shù)值的特殊性。例如，《九章算術(shù)》第九章勾股的第一、二、三的三個問題，都是以勾三、股四、弦五為例，知其二求其第三者。求法名為勾股術(shù)，術(shù)文曰：“勾、股各自乘，并而開方除之，即弦。”顯然，這是從勾股求弦的一般方法，與具體數(shù)值三、四、五無關(guān)。勾股術(shù)的注或即證明也是如此。因此，問、答或術(shù)文中的具體數(shù)值，只起著一種舉例說明的作用，同時也指出了術(shù)即一般方法的來歷或動機。

在最近出版的《走自己的路——吳文俊口述自傳》（湖南教育出版社，2015年）中，吳文俊先生著重指出：

機械化，貫穿中國古代數(shù)學的思想是機械化，中國古代數(shù)學的特點就是構(gòu)造性和機械化。中國古代數(shù)學是著重解決實際問題，它的方法是“機械”的，跟西方數(shù)學的證明不一樣，靈機一動什么的。中國古代數(shù)學不講這個，沒有什么靈機一動，都是死板的。這是我的發(fā)現(xiàn)，這是我真正讀懂了中國古代數(shù)學。

吳先生這里所謂的機械化，就體現(xiàn)在“術(shù)”的作用，相當于現(xiàn)代計算機科學中的“算法”。讀到這里，就容易明白，為什么一直以來我們稱數(shù)學為“算術(shù)”了：因為“術(shù)”正是中國古代數(shù)學的精髓。改稱“算學”為“數(shù)學”，還是近代的事情。民國時期，北大有“數(shù)學系”，而清華的則叫作“算學系”。他們認為是一樣的，但不想用同樣的名字，因為互相不服氣。

吳文俊先生一直強調(diào)，不同于希臘數(shù)學的公理化論證（以歐幾里得《幾何原本》為代表），中國古代數(shù)學是算法式的數(shù)學。這不難理解，只要看看我們的前輩創(chuàng)造了多少“術(shù)”：

• 更相減損術(shù)（《九章算術(shù)》，求兩個整數(shù)的最大公因子）

• 盈虧術(shù)（《九章算術(shù)》，線性插值法）

• 方程術(shù)（《九章算術(shù)》，解線性方程組的方法，國外稱高斯消去法）

• 割圓術(shù)（劉徽、祖沖之，用圓的內(nèi)接正多邊形的面積作為圓面積的近似，從而得到圓周率的近似值）

• 球積術(shù)（劉徽、祖暅，計算球的體積）

• 天元術(shù)（李冶，設未知數(shù)解方程）

• 大衍求一術(shù)（秦九韶、黃宗憲，解同余方程，主要結(jié)果表述為中國剩余定理）

• 增乘開方術(shù)（賈憲、楊輝）

• 正負開方術(shù)（劉益、秦九韶，英國數(shù)學家霍納后獨立發(fā)現(xiàn)）

• 四元術(shù)（朱世杰，天元術(shù)的推廣，解四個未知數(shù)的方程組）

• 隙積術(shù)（沈括）、垛積術(shù)（楊輝、朱世杰）

• 招差術(shù)（王恂、郭守敬、朱世杰）

• 尖錐求積術(shù)（李善蘭）

正如吳文俊先生所總結(jié)的：“中國古代數(shù)學，就是一部算法大全?！彼砸私庵袊糯鷶?shù)學，就要了解一些代表性的算法。以下我們選取其中幾項，略為介紹。

第一個例子是吳文俊先生本人舉的，即求兩個正整數(shù)的最大公因子的“更相減損術(shù)”。

一個典型的例子是求最大公約數(shù)，中國古代叫“更相減損術(shù)”。中國古代數(shù)學中，把最大公約數(shù)叫做“等數(shù)”，術(shù)曰：以少減多，更相減損，求其等也。 就這么幾句話！比如說，要求24和15的最大公約數(shù)，也就是 “等數(shù)”，“更相減損術(shù)”的步驟如下：

(24,15) → (9,15) → (9,6) → (3,6) → (3,3)

因此“等數(shù)”為 3。真漂亮！

“更相減損術(shù)”來自《九章算術(shù)》，一般簡稱《九章》，它是中國第一部數(shù)學專著，一共有九章內(nèi)容?！毒耪隆范ㄐ筒煌碛诠?00年，但其作者不可考，后世流行的版本是經(jīng)三國時期數(shù)學家劉徽加工之后的《九章算術(shù)注》（公元263年出版）。劉徽在《九章算術(shù)注》中曾明確指出，“更相減損術(shù)”的原理在于：在運算過程中，整數(shù)逐步減小，但其等數(shù)卻始終保持不變。順便提一句，《九章》中主要是利用“更相減損術(shù)”來約分，所以它完全包含在“約分術(shù)”中：“副置分母、子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約之?！?/span>就是求出分子、分母的最大公因子（等數(shù)），然后分子分母同除以最大公因子。

劉徽 《九章算術(shù)注》

在現(xiàn)代教科書中，通常用“輾轉(zhuǎn)相除法”（也稱為歐幾里得算法）來求兩個正整數(shù)的最大公因子。它是“更相減損術(shù)”的一個變體，其基礎是所謂的帶余除法。

帶余除法定理：設a和b是兩個整數(shù)，其中b>0 ，則存在唯一的整數(shù)q和r使得

a=qb+r，（其中r滿足0≤r<>

定理中的q稱為a除以b的商，可以用下述性質(zhì)刻畫：qb是b的所有的倍數(shù)中不超過a最大的一個；r稱為a除以b的余數(shù)，由r=a-qb確定。帶余除法名稱的由來，在于等式右邊有余數(shù)r。當余數(shù)r＝0時，稱b整除a，而且b就是a,b的最大公因子。

我們不擬介紹歐幾里得算法，是因為在解決另一個與求最大公因子問題關(guān)系非常密切的問題時，中國古代的數(shù)學家本質(zhì)上也創(chuàng)造了同樣的算法，只不過它換了一個名字，叫“求一術(shù)”。

簡單地說，求一術(shù)，就是求解下述方程

ax≡1(mod b)                             （1）

的算法。這里a,b是給定的非零整數(shù)，x是要求的整數(shù)，它滿足方程ax≡1(mod b)是指，ax除以b的余數(shù)為1。

北宋數(shù)學家秦九韶發(fā)明了一種求一術(shù)，他在1247年出版的《數(shù)書九章》中命名為“大衍求一術(shù)”（“大衍”的來由：在序言中，秦九韶把這一方法與《周易》“大衍之數(shù)”附會）。后來，清代數(shù)學家黃宗憲進一步簡化了秦九韶的方法。我們現(xiàn)在介紹的，是這個簡化的版本。

不同于歐幾里得的輾轉(zhuǎn)相除，秦九韶‐黃宗憲的方法是用矩陣。首先寫出一個 2 行 2 列的陣

其中a,b,1都是源自方程(1)，只有0是補充進來的。

秦九韶‐黃宗憲的方法（求一術(shù)）如下：對第一列的數(shù)a,b使用帶余除法（較大的數(shù)除以較小的數(shù)）。設得到的商為q，則較大的數(shù)那一行減去較小數(shù)的那一行對應元素的q倍。于是新得到的矩陣的第一列兩個元素替換為第一次帶余除法的除數(shù)與余數(shù)。重復之前的操作，直到某一步帶余除法得到的余數(shù)為 1（算法結(jié)束）。此時1正右方的數(shù)，即為所求的x。求一術(shù)，實際上就是“得1”的方法，因此又名“得一術(shù)”。

作為例子，我們用秦九韶‐黃宗憲的方法來求

5x≡1(mod 7)                                   （2）

的一個解。

解：求一術(shù)步驟如下：

根據(jù)求一術(shù)，1的右邊的數(shù)，就是x的一個解，即x=3。這是很容易驗證的：

5·3＝15≡1(mod 7)

當然，你或許以為我是把問題搞復雜了，你甚至在一開始就試出來x=3是一個解。然而，正如吳文俊先生多次強調(diào)的，中國古代數(shù)學講究的是一種算法，是一種威力極強的基本功夫。毫不夸張地說，簡直可以遇妖除妖遇魔降魔。簡單的例子你用技巧可以解決，但如果我換成一個稍微復雜一點的例子，如解方程

250x≡1(mod 2017)

你若是還想故技重施，就沒那么幸運了！

說到這里，我想起著名數(shù)學家、數(shù)學教育家波利亞（George Pólya）的一句名言：“使用過一次的是技巧，使用過兩次以上的技巧就有可能發(fā)展為一種方法?！闭^“大智若愚，大巧若拙”，中國古代數(shù)學，注重的是通用的方法（“法”“術(shù)”同義），而不是特殊的技巧。讀者若想領教秦九韶‐黃宗憲的求一術(shù)的威力，不妨用上面的方程250x≡1(mod 2017)一試！

不難發(fā)現(xiàn)，秦九韶‐黃宗憲的求一術(shù)與求最大公因子的歐幾里得算法是相通的。作為例子，我們用矩陣格式寫出求250與2017的最大公因子的過程如下：

在上述歐幾里得算法中，直到某一步帶余除法得到的余數(shù)為 0（算法結(jié)束），此時另一個數(shù)（這里就是1）即為最大公因子。當然，在我們的例子中驗證十分容易，通過分解因子250=2×5×5×5 ，不難發(fā)現(xiàn)2017和250的公因子只有1。（事實上，2017是素數(shù)，但要徒手確認這一點，比上述求公因子的問題困難多了?。?/span>

學過線性代數(shù)的讀者應該會想起來，求一術(shù)本質(zhì)上就是解線性方程組的初等行變換法，也稱高斯消去法。因此，可以想見，秦九韶的求一術(shù)可能脫胎于“方程術(shù)”?！胺匠绦g(shù)”出自《九章算術(shù)》第八章，這一章詳述了線性聯(lián)立方程組的解法并引進了負數(shù)。按現(xiàn)代語言，“方程”這一術(shù)語的最好解釋就是“方陣”。實際上，“方”的字面意義為正方形或矩形。“程”，按劉徽在《九章算術(shù)注》里的解釋, 就是把數(shù)據(jù)在盤上擺成矩陣：“并列為行, 故謂之方程”。 因此，解法便是縱橫移動算籌，如我們上面所展示的那樣。

中國古代數(shù)學的高峰是在宋元時代，其代表人物是秦九韶、李冶和朱世杰。前面我們介紹了秦九韶和黃宗憲的大衍求一術(shù)，接下來我們介紹一下李冶的天元術(shù)和朱世杰的四元術(shù)。

秦九韶的《數(shù)書九章》

天元術(shù)其實就是設未知數(shù)解方程的方法。元就是未知數(shù)，“天元”就是未知數(shù)的名稱。打個比方，“天元”相當于“嫌疑人X”，其中“元”相當于“嫌疑人”，“天”相當于“X”。

我相信每個人都對這種方法的威力深有體會，尤其是剛接觸這個方法的小學生。其實， 我們每個人在小學就已經(jīng)接觸到中國古代數(shù)學的杰出成就了，只是我們沒有被告知而已！

國家自然科學基金中有個數(shù)學專項基金名叫“數(shù)學天元基金”，命名就來自“天元術(shù)”。

四元術(shù)，是天元術(shù)的推廣。四元是指“天、地、人、物”四元，相當于說四個未知數(shù)x,y,z,w。天元術(shù)是求解帶有一個未知數(shù)的方程的方法；而四元術(shù)則是求解帶有四個未知數(shù)的方程組的方法。

“四”在此并無特殊含義，只是多項式中各項系數(shù)要擺在盤上的固定位置，這就限定了未知數(shù)的個數(shù)不超過四。因而對于懂“四元術(shù)”的人來說，這個方法不難推廣到任意多個未知數(shù)。然而，宋元之后，中國古代數(shù)學就盛極而衰了，以至朱世杰的“四元術(shù)”沒有被后人繼承發(fā)展（甚至當利瑪竇在明代來到中國時，中國已經(jīng)無人懂《九章》了?。Ｖ钡?20 世紀，在計算機興起和數(shù)學機械化思想復蘇的背景下，朱世杰的這一工作最終啟發(fā)吳文俊開創(chuàng)了幾何定理機器證明的“吳方法”。吳文俊甚至這樣說：“這里所謂本人所創(chuàng)立的方法，事實上無非是朱世杰四元術(shù)的現(xiàn)代化推廣形式?！?/span>

《吳文俊論數(shù)學機械化》其中收入了吳文俊先生部分數(shù)學史文章

在一次訪談（標題是“走進吳文俊院士”，作者黃祖賓）中，吳文俊先生說到：

最早的幾何學、最早的方程組、最古老的矩陣等等，翻開歷史，中國曾經(jīng)是一個數(shù)學的國度，中國數(shù)學在世界上的位置遠比今天靠前。祖沖之、劉徽、《九章算術(shù)》、《周髀算經(jīng)》、《四元玉鑒》等一批大家和著作，使中國數(shù)學曾經(jīng)處于世界巔峰。正是由于這些輝煌，中國數(shù)學，不僅要振興，更要復興！

就我個人的感覺，從前學數(shù)學，在課本上讀不到中國古代數(shù)學的成就， 確實有些打擊士氣，下意識里就覺得我們中國人，是不是不適合學數(shù)學？如果當初有幸從吳文俊先生的文章中 了解到一些中國古代數(shù)學思想，我想我可能會學得更好些，甚至有可能專門研究中國古代數(shù)學。筆者這里并沒有要揚中國古代數(shù)學而抑希臘古代數(shù)學的意思，只是想告訴讀者，從風格上講，中國古代數(shù)學具有鮮明的算法特色，這是中國古代數(shù)學的精髓所在。

無論如何，我要向所有對中國古代數(shù)學感興趣的讀者，推薦吳文俊先生的文章。要知道，這位榮獲2000年首屆國家最高科技獎的大數(shù)學家曾經(jīng)說：“對中國古代數(shù)學的研究，是我最得意的，拓撲的那些工作不算什么。我感到最得意最自豪的是：真正懂了中國古代數(shù)學是怎么回事。”

如果我拋此磚能引出美玉，這篇小文的目標就達到了。

致謝：感謝陳關(guān)榮、李良攀、劉云朋諸位教授和潘穎女士對初稿提出的寶貴意見！