數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院　李文林

摘要：中國古代數(shù)學具有悠久的傳統(tǒng)。本文論述了中國古代數(shù)學的算法化、機械化特征及其對世界數(shù)學發(fā)展主流的歷史貢獻，并指出了解中國古代數(shù)學發(fā)展特征對于現(xiàn)實創(chuàng)新活動的借鑒意義。

1 中國古代數(shù)學的發(fā)展

在古代世界四大文明中，中國數(shù)學持續(xù)繁榮時期最為長久。從公元前后至公元14世紀，中國古典數(shù)學先后經(jīng)歷了三次發(fā)展高潮，即兩漢時期、魏晉南北朝時期和宋元時期，并在宋元時期達到頂峰。

與以證明定理為中心的希臘古典數(shù)學不同，中國古代數(shù)學是以創(chuàng)造算法特別是各種解方程的算法為主線。從線性方程組到高次多項式方程，乃至不定方程，中國古代數(shù)學家創(chuàng)造了一系列先進的算法(中國數(shù)學家稱之為“術”)，他們用這些算法去求解相應類型的代數(shù)方程，從而解決導致這些方程的各種各樣的科學和實際問題。特別是，幾何問題也歸結為代數(shù)方程，然后用程式化的算法來求解。因此，中國古代數(shù)學具有明顯的算法化、機械化的特征。以下?lián)褚e例說明中國古代數(shù)學發(fā)展的這種特征。

1.1 線性方程組與“方程術”

中國古代最重要的數(shù)學經(jīng)典《九章算術》(約公元前2世紀)卷8的“方程術”，是解線性方程組的算法。以該卷第1題為例，用現(xiàn)代符號表述，該問題相當于解一個三元一次方程組：

3x+2y+z＝39

2x+3y+z＝34

x+2y+3z＝26

《九章》沒有表示未知數(shù)的符號，而是用算籌將xyz的系數(shù)和常數(shù)項排列成一個(長)方陣：

1 2 3

2 3 2

3 1 1

26 34 39

“方程術”的關鍵算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下：用右行(x)的系數(shù)(3)“遍乘”中行和左行各數(shù)，然后從所得結果按行分別“直除”右行，即連續(xù)減去右行對應各數(shù)，就將中行與左行的系數(shù)化為0。反復執(zhí)行這種“遍乘直除”算法，就可以解出方程。很清楚，《九章算術》方程術的“遍乘直除” 算法，實質上就是我們今天所使用的解線性方程組的消元法，以往西方文獻中稱之為“高斯消去法”，但近年開始改變稱謂,如法國科學院院士、原蘇黎世大學數(shù)學系主任P.Gabriel教授在他撰寫的教科書[4]中就稱解線性方程組的消元法為“張蒼法”，張蒼相傳是《九章算術》的作者之一。

1.2 高次多項式方程與“正負開方術”

《九章算術》卷4中有“開方術”和“開立方術”?！毒耪滤阈g》中的這些算法后來逐步推廣到開更高次方的情形，并且在宋元時代發(fā)展為一般高次多項式方程的數(shù)值求解。秦九韶是這方面的集大成者，他在《數(shù)書九章》(1247年)一書中給出了高次多項式方程數(shù)值解的完整算法，即他所稱的“正負開方術”。

用現(xiàn)代符號表達，秦九韶“正負開方術”的思路如下：對任意給定的方程

f(x)=a[0]x^n+a[1]x^(n-1)+……+a[n-2]x^2+a[n-1]x+a[n]=0 (1)

其中a[0]≠0，a[n]<0，要求(1)式的一個正根。秦九韶先估計根的最高位數(shù)字，連同其位數(shù)一起稱為“首商”，記作c，則根x＝c+h，代入(1)得

f(c+h)=a[0](c+h)^n+a[1](c+h)^(n-1)+……+a[n-1](c+h)+a[n]=0

按h的冪次合并同類項即得到關于h的方程:

f(h)=a[0]h^n+a[1]h^(n-1)+……+a[n-1]h+a[n]=0 (2)

（注：這里(2)和(1)式子里的a[i]，一般是不一樣的。）

于是又可估計滿足新方程(2)的根的最高位數(shù)字。如此進行下去，若得到某個新方程的常數(shù)項為0，則求得的根是有理數(shù)；否則上述過程可繼續(xù)下去，按所需精度求得根的近似值。

如果從原方程(1)的系數(shù)a[0],a[1]，…,a[n]及估值c求出新方程(2)的系數(shù)a[0],a[1]，…,a[n]的算法是需要反復迭代使用的，秦九韶給出了一個規(guī)格化的程序，我們可稱之為“秦九韶程序”，他在《數(shù)書九章》中用這一算法去解決各種可以歸結為代數(shù)方程的實際問題，其中涉及的方程最高次數(shù)達到10次，秦九韶解這些問題的算法整齊劃一，步驟分明，堪稱是中國古代數(shù)學算法化、機械化的典范。

1.3 多元高次方程組與“四元術”

絕不是所有的問題都可以歸結為線性方程組或一個未知量的多項式方程來求解。實際上，可以說更大量的實際問題如果能化為代數(shù)方程求解的話，出現(xiàn)的將是含有多個未知量的高次方程組。

多元高次方程組的求解即使在今天也絕非易事。歷史上最早對多元高次方程組作出系統(tǒng)處理的是中國元代數(shù)學家朱世杰。朱世杰的《四元玉鑒》(1303年)一書中涉及的高次方程達到了4個未知數(shù)。朱世杰用“四元術”來解這些方程?！八脑g”首先是以“天”、“地”、“人”、“物”來表示不同的未知數(shù)，同時建立起方程式，然后用順序消元的一般方法解出方程。朱世杰在《四元玉鑒》中創(chuàng)造了多種消元程序。

通過《四元玉鑒》中的具體例子可以清晰地了解朱世杰“四元術”的特征。值得注意的是，這些例子中相當一部分是由幾何問題導出的。這種將幾何問題轉化為代數(shù)方程并用某種統(tǒng)一的算法求解的例子，在宋元數(shù)學著作中比比皆是，充分反映了中國古代幾何代數(shù)化和機械化的傾向。

1.4 一次同余方程組與“中國剩余定理”

中國古代數(shù)學家出于歷法計算的需要，很早就開始研究形如：

X≡Ri (mod ai) i=1,2,...,n (1)

(其中ai 是兩兩互素的整數(shù))的一次同余方程組求解問題。公元4世紀的《孫子算經(jīng)》中已有相當于求解下列一次同余組的著名的“孫子問題”：

X≡2(mod3) ≡3(mod5) ≡2(mod7)

《孫子算經(jīng)》作者給出的解法，引導了宋代秦九韶求解一次同余組的一般算法——“大衍求一術”?，F(xiàn)代文獻中通常把這種一般算法稱為“中國剩余定理”。

1.5 插值法與“招差術”

插值算法在微積分的醞釀過程中扮演了重要角色。在中國，早從東漢時期起，學者們就慣用插值法來推算日月五星的運動。起初是簡單的一次內(nèi)插法，隋唐時期出現(xiàn)二次插值法(如一行《大衍歷》，727年)。由于天體運動的加速度也不均勻，二次插值仍不夠精密。隨著歷法的進步，到了宋元時代，便產(chǎn)生了三次內(nèi)插法(郭守敬《授時歷》，1280年)。在此基礎上，數(shù)學家朱世杰更創(chuàng)造出一般高次內(nèi)插公式，即他所說的“招差術”。朱世杰的公式相當于

f(n)=n△ + n(n-1)/2!△2 + n(n-1)(n-2)/3!△3 + n(n-1)(n-2)(n-3)/4!△4 + ……

這是一項很突出的成就。

這里不可能一一列舉中國古代數(shù)學家的所有算法，但僅從以上介紹不難看到，古代與中世紀中國數(shù)學家創(chuàng)造的算法，有許多即使按現(xiàn)代標準衡量也達到了很高的水平。這些算法所表達的數(shù)學真理，有的在歐洲直到18世紀以后依賴近代數(shù)學工具才重新獲得(如前面提到的高次代數(shù)方程數(shù)值求解的秦九韶程序，與1819年英國數(shù)學家W. 霍納重新導出的“霍納算法”基本一致；多元高次方程組的系統(tǒng)研究在歐洲也要到18世紀末才開始在E. 別朱等人的著作中出現(xiàn)；解一次同余組的剩余定理則由歐拉與高斯分別獨立重新獲得；至于朱世杰的高次內(nèi)插公式，實質上已與現(xiàn)在通用的牛頓-格列高里公式相一致)。這些算法的結構，其復雜程度也是驚人的。如對秦九韶“大衍求一術”和“正負開方術”的分析表明，這些算法的計算程序，包含了現(xiàn)代計算機語言中構造非平易算法的基本要素與基本結構。這類復雜的算法，很難再僅僅被看作是簡單的經(jīng)驗法則了，而是高度的概括思維能力的產(chǎn)物，這種能力與歐幾里得幾何的演繹思維風格截然不同，但卻在數(shù)學的發(fā)展中起著完全可與之相媲美的作用。事實上，古代中國算法的繁榮，同時也孕育了一系列極其重要的概念，顯示了算法化思維在數(shù)學進化中的創(chuàng)造意義和動力功能。以下亦舉幾例。

1.6 負數(shù)的引進

《九章算術》“方程術”的消元程序，在方程系數(shù)相減時會出現(xiàn)較小數(shù)減較大數(shù)的情況，正是在這里，《九章算術》的作者們引進了負數(shù)，并給出了正、負數(shù)的加減運算法則，即“正負術”。

對負數(shù)的認識是人類數(shù)系擴充的重大步驟。公元7世紀印度數(shù)學家也開始使用負數(shù)，但負數(shù)的認識在歐洲卻進展緩慢，甚至到16世紀，韋達的著作還回避負數(shù)。

1.7 無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)

中國古代數(shù)學家在開方運算中接觸到了無理數(shù)?！毒耪滤阈g》開方術中指出了存在有開不盡的情形：“若開方不盡者，為不可開”，《九章算術》的作者們給這種不盡根數(shù)起了一個專門名詞——“面”。“面”，就是無理數(shù)。與古希臘畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)正方形的對角線不是有理數(shù)時驚慌失措的表現(xiàn)相比，中國古代數(shù)學家卻是相對自然地接受了那些“開不盡”的無理數(shù)，這也許應歸功于他們早就習慣使用的十進位制，這種十進位制使他們能夠有效地計算“不盡根數(shù)”的近似值。為《九章算術》作注的三國時代數(shù)學家劉徽就在“開方術”注中明確提出了用十進制小數(shù)任意逼近不盡根數(shù)的方法，他稱之為“求微數(shù)法”，并指出在開方過程中，“其一退以十為步，其再退以百為步，退之彌下，其分彌細，則……雖有所棄之數(shù)，不足言之也”。

十進位值記數(shù)制是對人類文明不可磨滅的貢獻。法國大數(shù)學家拉普拉斯曾盛贊十進位值制的發(fā)明，認為它“使得我們的算術系統(tǒng)在所有有用的創(chuàng)造中成為第一流的”。中國古代數(shù)學家正是在嚴格遵循十進位制的籌算系統(tǒng)基礎上，建立起了富有算法化特色的東方數(shù)學大廈。

1.8 賈憲三角或楊輝三角

從前面關于高次方程數(shù)值求解算法(秦九韶程序)的介紹我們可以看到，中國古代開方術是以(c+h)^n的二項展開為基礎的，這就引導了二項系數(shù)表的發(fā)現(xiàn)。南宋數(shù)學家楊輝著《詳解九章算法》(1261年)中，載有一張所謂“開方作法本源圖”，實際就是一張二項系數(shù)表。這張圖摘自公元1050年左右北宋數(shù)學家賈憲的一部著作?！伴_方作法本源圖”現(xiàn)在就叫“賈憲三角”或“楊輝三角”。二項系數(shù)表在西方則叫“帕斯卡三角”(1654年)。

1.9 走向符號代數(shù)

解方程的數(shù)學活動，必然引起人們對方程表達形式的思考。在這方面，以解方程擅長的中國古代數(shù)學家們很自然也是走在了前列。在宋元時期的數(shù)學著作中，已出現(xiàn)了用特定的漢字作為未知數(shù)符號并進而建立方程的系統(tǒng)努力。這就是以李冶為代表的“天元術”和以朱世杰為代表的“四元術”。所謂“天元術”，首先是“立天元一為某某”，這相當于“設為某某”，“天元一”就表示未知數(shù)，然后在籌算盤上布列“天元式”，即一元方程式。該方法被推廣到多個未知數(shù)情形，就是前面提到的朱世杰的“四元術”。因此，用天元術和四元術列方程的方法，與現(xiàn)代代數(shù)中的列方程法已相類似。

符號化是近世代數(shù)的標志之一。中國宋元數(shù)學家在這方面邁出了重要一步，“天元術”和“四元術”，是以創(chuàng)造算法特別是解方程的算法為主線的中國古代數(shù)學的一個高峰。

2 中國古代數(shù)學對世界數(shù)學發(fā)展的貢獻

數(shù)學的發(fā)展包括了兩大主要活動：證明定理和創(chuàng)造算法。定理證明是希臘人首倡，后構成數(shù)學發(fā)展中演繹傾向的脊梁；算法創(chuàng)造昌盛于古代和中世紀的中國、印度，形成了數(shù)學發(fā)展中強烈的算法傾向。統(tǒng)觀數(shù)學的歷史將會發(fā)現(xiàn)，數(shù)學的發(fā)展并非總是演繹傾向獨占鰲頭。在數(shù)學史上，算法傾向與演繹傾向總是交替地取得主導地位。古代巴比倫和埃及式的原始算法時期，被希臘式的演繹幾何所接替，而在中世紀，希臘數(shù)學衰落下去，算法傾向在中國、印度等東方國度繁榮起來；東方數(shù)學在文藝復興前夕通過阿拉伯傳播到歐洲，對近代數(shù)學興起產(chǎn)生了深刻影響。事實上，作為近代數(shù)學誕生標志的解析幾何與微積分，從思想方法的淵源看都不能說是演繹傾向而是算法傾向的產(chǎn)物。

從微積分的歷史可以知道，微積分的產(chǎn)生是尋找解決一系列實際問題的普遍算法的結果。這些問題包括：決定物體的瞬時速度、求極大值與極小值、求曲線的切線、求物體的重心及引力、面積與體積計算等。從16世紀中開始的100多年間，許多大數(shù)學家都致力于獲得解決這些問題的特殊算法。牛頓與萊布尼茲的功績是在于將這些特殊的算法統(tǒng)一成兩類基本運算——微分與積分，并進一步指出了它們的互逆關系。無論是牛頓的先驅者還是牛頓本人，他們所使用的算法都是不嚴格的，都沒有完整的演繹推導。牛頓的流數(shù)術在邏輯上的瑕疵更是眾所周知。對當時的學者來說，首要的是找到行之有效的算法，而不是算法的證明。這種傾向一直延續(xù)到18世紀。18世紀的數(shù)學家也往往不管微積分基礎的困難而大膽前進。如泰勒公式，歐拉、伯努利甚至19世紀初傅里葉所發(fā)現(xiàn)的三角展開等，都是在很長時期內(nèi)缺乏嚴格的證明。正如馮·諾伊曼指出的那樣：沒有一個數(shù)學家會把這一時期的發(fā)展看作是異端邪道；這個時期產(chǎn)生的數(shù)學成果被公認為第一流的。并且反過來，如果當時的數(shù)學家一定要在有了嚴密的演繹證明之后才承認新算法的合理性，那就不會有今天的微積分和整個分析大廈了。

現(xiàn)在再來看一看更早的解析幾何的誕生。通常認為，笛卡兒發(fā)明解析幾何的基本思想，是用代數(shù)方法來解幾何問題。這同歐氏演繹方法已經(jīng)大相徑庭了。而事實上如果我們?nèi)ラ喿x笛卡兒的原著，就會發(fā)現(xiàn)貫穿于其中的徹底的算法精神?！稁缀螌W》開宗明義就宣稱：“我將毫不猶豫地在幾何學中引進算術的術語，以便使自己變得更加聰明”。眾所周知，笛卡兒的《幾何學》是他的哲學著作《方法論》的附錄。笛卡兒在他另一部生前未正式發(fā)表的哲學著作《指導思維的法則》(簡稱《法則》)中曾強烈批判了傳統(tǒng)的主要是希臘的研究方法，認為古希臘人的演繹推理只能用來證明已經(jīng)知道的事物，“卻不能幫助我們發(fā)現(xiàn)未知的事情”。因此他提出“需要一種發(fā)現(xiàn)真理的方法”，并稱之為“通用數(shù)學”(mathesis universakis)。笛卡兒在《法則》中描述了這種通用數(shù)學的藍圖，他提出的大膽計劃，概而言之就是要將一切科學問題轉化為求解代數(shù)方程的數(shù)學問題：

任何問題→數(shù)學問題→代數(shù)問題→方程求解而笛卡兒的《幾何學》，正是他上述方案的一個具體實施和示范，解析幾何在整個方案中扮演著重要的工具作用，它將一切幾何問題化為代數(shù)問題，這些代數(shù)問題則可以用一種簡單的、幾乎自動的或者毋寧說是機械的方法去解決。這與上面介紹的古代中國數(shù)學家解決問題的路線可以說是一脈相承。

因此我們完全有理由說，在從文藝復興到17世紀近代數(shù)學興起的大潮中，回響著東方數(shù)學特別是中國數(shù)學的韻律。整個17—18世紀應該看成是尋求無窮小算法的英雄年代，盡管這一時期的無窮小算法與中世紀算法相比有質的飛躍。而從19世紀特別是70年代直到20世紀中，演繹傾向又重新在比希臘幾何高得多的水準上占據(jù)了優(yōu)勢。因此，數(shù)學的發(fā)展呈現(xiàn)出算法創(chuàng)造與演繹證明兩大主流交替繁榮、螺旋式上升過程：

演繹傳統(tǒng)——定理證明活動

算法傳統(tǒng)——算法創(chuàng)造活動

中國古代數(shù)學家對算法傳統(tǒng)的形成與發(fā)展做出了毋容置疑的巨大貢獻。

我們強調中國古代數(shù)學的算法傳統(tǒng)，并不意味中國古代數(shù)學中沒有演繹傾向。事實上，在魏晉南北朝時期一些數(shù)學家的工作中，已出現(xiàn)具有相當深度的論證思想。如趙爽勾股定理證明、劉徽“陽馬”一種長方錐體體積證明、祖沖之父子對球體積公式的推導等等，均可與古希臘數(shù)學家相應的工作媲美。趙爽勾股定理證明示意圖“弦圖”原型，已被采用作2002年國際數(shù)學家大會會標。令人迷惑的是，這種論證傾向隨著南北朝的結束，可以說是戛然而止。囿于篇幅和本文重點，對這方面的內(nèi)容這里不能詳述。

3 古為今用，創(chuàng)新發(fā)展

到了20世紀，至少從中葉開始，電子計算機的出現(xiàn)對數(shù)學的發(fā)展帶來了深遠影響，并孕育出孤立子理論、混沌動力學、四色定理證明等一系列令人矚目的成就。借助計算機及有效的算法猜測發(fā)現(xiàn)新事實、歸納證明新定理乃至進行更一般的自動推理……，這一切可以說已揭開了數(shù)學史上一個新的算法繁榮時代的偉大序幕?？茖W界敏銳的有識之士紛紛預見到數(shù)學發(fā)展的這一趨勢。在我國，早在上世紀50年代，華羅庚教授就親自領導建立了計算機研制組，為我國計算機科學和數(shù)學的發(fā)展奠定了基礎。吳文俊教授更是從70年代中開始，毅然由原先從事的拓撲學領域轉向定理機器證明的研究，并開創(chuàng)了現(xiàn)代數(shù)學的嶄新領域——數(shù)學機械化。被國際上譽為“吳方法”的數(shù)學機械化方法已使中國在數(shù)學機械化領域處于國際領先地位，而正如吳文俊教授本人所說：“幾何定理證明的機械化問題，從思維到方法，至少在宋元時代就有蛛絲馬跡可尋，”他的工作“主要是受中國古代數(shù)學的啟發(fā)”?！皡欠椒ā?，是中國古代數(shù)學算法化、機械化精髓的發(fā)揚光大。

計算機影響下算法傾向的增長，自然也引起一些外國學者對中國古代數(shù)學中算法傳統(tǒng)的興趣。早在上世紀70年代初，著名的計算機科學家D.E.Knuth就呼吁人們關注古代中國和印度的算法5。多年來這方面的研究取得了一定進展，但總的來說還亟待加強。眾所周知，中國古代文化包括數(shù)學是通過著名的絲綢之路向西方傳播的，而阿拉伯地區(qū)是這種文化傳播的重要中轉站?，F(xiàn)存有些阿拉伯數(shù)學與天文著作中包含有一定的中國數(shù)學與天文學知識，如著名的阿爾·卡西《算術之鑰》一書中有相當數(shù)量的數(shù)學問題顯示出直接或間接的中國來源，而根據(jù)阿爾·卡西本人記述，他所工作的天文臺中就有不少來自中國的學者。

然而長期以來由于“西方中心論”特別是“希臘中心論”的影響以及語言文字方面的障礙，有關資料還遠遠沒有得到發(fā)掘。正是為了充分揭示東方數(shù)學與歐洲數(shù)學復興的關系，吳文俊教授特意從他榮獲的國家最高科學獎中撥出?？畛闪⒘恕皡俏目?shù)學與天文絲路基金”，鼓勵支持年輕學者深入開展這方面的研究，這是具有深遠意義之舉。

研究科學的歷史，其重要意義之一就是從歷史的發(fā)展中獲得借鑒和汲取教益，促進現(xiàn)實的科學研究，通俗地說就是“古為今用”。吳文俊對此有精辟的論述，他說：“假如你對數(shù)學的歷史發(fā)展，對一個領域的發(fā)生和發(fā)展，對一個理論的興旺和衰落，對一個概念的來龍去脈，對一種重要思想的產(chǎn)生和影響等這許多歷史因素都弄清了，我想，對數(shù)學就會了解得更多，對數(shù)學的現(xiàn)狀就會知道得更清楚、更深刻，還可以對數(shù)學的未來起一種指導作用，也就是說，可以知道數(shù)學究竟應該按怎樣的方向發(fā)展可以收到最大的效益”。數(shù)學機械化理論的創(chuàng)立，正是這種古為今用原則的碩果。我國科學技術的偉大復興，呼喚著更多這樣既有濃郁的中國特色、又有鮮明時代氣息的創(chuàng)新。