|
上 期微專題探討了勾股定理與折疊問題的不解之緣，本期我們將一起來探究特殊平行四邊形中的折疊問題。 透過現(xiàn)象看本質(zhì) 如圖，在矩形ABCD中，把ΔADE沿AE折疊，點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，且點(diǎn)F落在BC 邊上.   我們不難發(fā)現(xiàn)，折疊問題的本質(zhì)其實(shí)就是軸對(duì)稱，折疊的性質(zhì)就是軸對(duì)稱的性質(zhì)。 性質(zhì)1. 圖形的全等性 ：重合部分是全等圖形，對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等. （由折疊性質(zhì)1可得： ΔADE≌ΔAEF） 性質(zhì)2. 點(diǎn)的對(duì)稱性：對(duì)稱點(diǎn)連線被對(duì)稱軸（折痕）垂直平分. （由折疊性質(zhì)2可得： AE是DF的垂直平分線） 特殊平行四邊形中的折疊問題，既要用到折疊的性質(zhì)，又要用到特殊平行四邊形本身的性質(zhì)，有時(shí)還需要借助勾股定理和圖形的相似等知識(shí)建立有關(guān)線段、角之間的聯(lián)系。接下來，我們通過3個(gè)例題來探究特殊平行四邊形中的折疊問題。 類型一、折疊性質(zhì)1的應(yīng)用 例1．如圖，菱形紙片ABCD中，AM⊥CD于點(diǎn)M，將△ADM沿直線AM折疊后，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，AE交BC于點(diǎn)N，且AE⊥BC． （1）求證：△AME≌△ANB； （2）求∠CBE的度數(shù)．  分析：本題的已知條件有 1. △ADM沿直線AM折疊為△AME 2. 菱形ABCD 3. AM⊥CD, AE⊥BC 那么我們便利用折疊性質(zhì)和菱形的性質(zhì)及垂直的特殊條件來尋找線段和角之間的關(guān)系。 解： （1）∵四邊形ABCD是菱形 ∴AB=AD，∠ABC=∠D ∵AM⊥CD，AN⊥BC ∴∠AMD=∠ANB ∴△ADM≌△ABN 由折疊得△ADM≌△AEM ∴△AME≌△ANB （2）由（1）得∠EAB=∠EAM，AE=AB ∵CD//AB，AM⊥CD ∴∠MAB=∠AMD = 90° ∴∠EAB=∠EAM = 45° ∴∠ABE=∠AEB = 67.5° ∵AN⊥BN ∴∠ABN =90°–∠EAB = 45° ∴∠CBE=∠ABE–∠ABN = 67.5°–45° = 22.5° 類型二、折疊性質(zhì)2的應(yīng)用 例2．如圖，已知矩形ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，連接CE，將△BCE沿直線CE折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)B?處，連接AB?并延長交CD于點(diǎn)F． （1）求證：四邊形AECF是平行四邊形； （2）若AB = 6，BC=4，求tan∠CB?F的值．  情景再現(xiàn)： 本題第（2）問并不困難，難點(diǎn)在 第（1）問。這是一個(gè)區(qū)統(tǒng)考題目，當(dāng)時(shí)筆者批改了近600份試卷，一半同學(xué)證不出來，就自認(rèn)為F也是DC中點(diǎn)，自己硬加了這樣一個(gè)原題中并沒有的條件，當(dāng)然是錯(cuò)誤的，這種錯(cuò)誤我們可以俗稱“見光死”。能夠證明出來結(jié)論的同學(xué)中基本上是用外角定理，轉(zhuǎn)化出相等的角，從而證明AF//CE，過程如下： （1）證明：由已知得 CE=B?E，∠BEC=∠B?EC ∵E是AB的中點(diǎn) ∴AE=BE=AB=3 ∴AE=B?E ∴∠EAB?=∠EB?A ∵∠BEB?=∠EAB? ∠EB?A，∠BEB?=∠BEC ∠B?EC ∴∠BEC=∠EAB? ∴AF//CE ∵四邊形ABCD是矩形 ∴CF//AE ∴四邊形AECF是平行四邊形 驚喜： 在批改的過程中，我們驚喜的發(fā)現(xiàn)有6位同學(xué)是用折疊的性質(zhì)2巧妙證出AF//CE，請(qǐng)看具體過程： 連接BB?，  ∵△BCE沿直線CE折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)B?處， ∴由折疊的性質(zhì)2可知，CE是BB?的中垂線， 又∵E是AB的中點(diǎn) ∴EM//AB?，即AF//CE ∵四邊形ABCD是矩形 ∴CF//AE ∴四邊形AECF是平行四邊形 小結(jié)： 由于學(xué)生對(duì)折疊的性質(zhì)2不熟悉，當(dāng)用性質(zhì)1解決不了問題的時(shí)候，有近一半的同學(xué)選擇自己給題目增加一個(gè)條件，用這種錯(cuò)誤的方法來結(jié)束本題，“見光死”，多么痛的領(lǐng)悟！ 而利用性質(zhì)2 ：對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸（折痕）垂直平分，可以瞬間得到M是BB?的中點(diǎn)，則EM是中位線，從而得到EM//AB?，即AF//CE，使問題得證。 可見，我們?cè)趯W(xué)習(xí)圖形性質(zhì)的時(shí)候，必須對(duì)性質(zhì)有深刻的理解，找到問題的本質(zhì)，從而 利用性質(zhì)巧妙解題。 第（2）問并不困難，大部分同學(xué)都能做出，解答過程如下： 解：由（1） 得∠CEB=∠EB?A， ∠CEB?=∠BEC ∴∠BEC=∠EB?A ∵∠CB?E=∠B=90o ∴∠EB?A ∠CB?F=90o， ∠CEB ∠BCE=90o ∴∠BCE=∠CB?F ∴tan∠CB?F=tan∠BCE=BE/BC=3/4. 類型三、折疊與相似的應(yīng)用 例3．如圖1，將正方形紙片ABCD對(duì)折，使AB與CD重合，折痕為EF．如圖2，展開后再折疊一次，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，折痕為GH，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，EM交AB于N．若AD=2，則MN= ．  情景再現(xiàn)： 這個(gè)題目也是一道測(cè)試題，很多同學(xué)都能根據(jù)折疊性質(zhì)用勾股定理求出線段DH、EH的長，但接下來就陷入困境，不知如何去求MN的長。 是在RT△MNG中求解嗎？這個(gè)三角形的三條邊都是未知數(shù)，顯然求不出。這時(shí)候我們要建立已知△EDH與未知△AEN或者未知△MNG的聯(lián)系。但△MNG的三條邊都是未知的，而△AEN的邊AE是已知的，所以我們可以建立已知△EDH與未知△AEN之間的聯(lián)系。 由正方形的折疊，不難發(fā)現(xiàn)，這是一線三等角的模型，可以用相似建立聯(lián)系。  分析： 先由折疊的性質(zhì)1，得到四邊形GBCH與四邊形GMEH全等。設(shè)DH=x, 則CH=EH=2-x，DE=1，在Rt△EDH中，由勾股定理得x=3/4，則EH=5/4. ∵正方形ABCD ∴∠A=∠D=∠MEH=90° 由“一線三直角”的模型可得： △AEN與△DHE相似， ∴ AE/DH=EN/EH 得EN=5/3 ∴MN=ME-EN=2-5/3=1/3. 思路點(diǎn)撥： 折疊問題的解決，大都是以軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)作為切入點(diǎn)，而數(shù)形變化，是解決這類問題的突破口。有了“折”就有了“形”——軸對(duì)稱圖形、全等形；有了“折”就有了“數(shù)”——線段之間、角與角之間的數(shù)量關(guān)系。“折”就為“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)化搭起了橋梁。 特殊平行四邊形中的折疊問題，還要考慮特殊平行四邊形本身的性質(zhì)，有時(shí)也需要用到相似和勾股定理。 特別的，折疊的性質(zhì)2：對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分，屬于線段與直線的位置關(guān)系，經(jīng)常被人們遺忘。這個(gè)性質(zhì)能幫助我們快速得到線段中點(diǎn)和線與線之間的垂直關(guān)系，使一些復(fù)雜的問題能夠巧妙求解。  |
|
|
