反直覺的事實(shí)有時(shí)候甚至騙過了最好的數(shù)學(xué)家。這十大令人驚愕的數(shù)學(xué)結(jié)論，恰恰跟我們生活中的經(jīng)驗(yàn)背道而馳。

假設(shè)房間里有23人，那么兩個(gè)人生日是同天的概率將大于50%。我們很容易得出，任何一個(gè)特定的日子里某人過生日的概率是1/365。所以這個(gè)理論看似是無法成立，但理論與現(xiàn)實(shí)差異正源自于：我們的唯一要求是兩個(gè)人彼此擁有同一天生日即可，不限定在特定的一天。否則，如果換做某人在某特定日期生日，例如2月19日，那么23個(gè)人中概率便僅為6.12%。

另一方面如果你在有23個(gè)人的房間挑選一人問他：“有人和你同一天生日嗎？”答案很可能是否定的。但如果重復(fù)詢問其余22人，每問一次，你便會(huì)有更大機(jī)會(huì)得到肯定答復(fù)，最終這個(gè)概率是50.7%

這一定理指出在選擇公理成立的情況下可以將一個(gè)三維實(shí)心球分成有限（不勒貝格可測的）部分，然后僅僅通過旋轉(zhuǎn)和平移到其他地方重新組合，就可以組成兩個(gè)半徑和原來相同的完整的球。巴拿赫和塔斯基提出這一定理原意是想拒絕選擇公理，但該證明很自然，因此數(shù)學(xué)家認(rèn)為這僅意味著選擇公理可以導(dǎo)致少數(shù)令人驚訝和反直覺的結(jié)果。并且它被許多數(shù)學(xué)家視作數(shù)學(xué)中最為反常的一個(gè)結(jié)果。

在現(xiàn)實(shí)生活中我們沒有任何辦法能將一個(gè)物體憑空復(fù)制成兩個(gè)。但事實(shí)上他卻是成立的，這個(gè)結(jié)果似乎挑戰(zhàn)了物理中的質(zhì)量守恒定律，但似乎又是在說一個(gè)物體的質(zhì)量可以憑空變?yōu)樵瓉淼膬杀叮?/span>

但如若原質(zhì)量是無限的話，翻倍后還是無限大，那么從這一層面出發(fā)來看這一理論也并沒有打破物理法則。

三門問題亦稱為蒙提霍爾問題，大致出自美國的電視游戲節(jié)目Let's Make a Deal。問題名字來自該節(jié)目的主持人蒙提·霍爾。參賽者會(huì)看見三扇關(guān)閉了的門，其中一扇的后面有一輛汽車，選中后面有車的那扇門可贏得該汽車，另外兩扇門后面則各藏有一只山羊。

當(dāng)參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時(shí)候，節(jié)目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后會(huì)問參賽者要不要換另一扇仍然關(guān)上的門。

問題是：換另一扇門會(huì)否增加參賽者贏得汽車的機(jī)會(huì)率？如果嚴(yán)格按照上述的條件，即主持人清楚地知道，哪扇門后是羊，那么答案是會(huì)。不換門的話，贏得汽車的幾率是1/3。換門的話，贏得汽車的幾率是2/3。

這個(gè)問題亦被叫做蒙提霍爾悖論：雖然該問題的答案在邏輯上并不自相矛盾，但十分違反直覺。這問題曾引起一陣熱烈的討論。

小數(shù)老師曾經(jīng)問過很多人，幾乎所有人都沒有答對(duì)，換門的這一答案實(shí)在是太過反常識(shí)！

關(guān)于第一個(gè)解答這個(gè)問題的女士的經(jīng)歷也十分耐人尋味：

關(guān)于蒙提霍爾問題，瑪麗蓮·沃斯·莎凡特在她專欄的回答是改選會(huì)更有優(yōu)勢，這在美國引起了激烈的爭議：人們寄來了數(shù)千封抱怨信，很多寄信人是科學(xué)老師或?qū)W者。

一位來自佛羅里達(dá)大學(xué)的讀者寫道：“這個(gè)國家已經(jīng)有夠多的數(shù)學(xué)文盲了，我們不想再有個(gè)世界上智商最高的人來充數(shù)！真讓人羞愧！”另一個(gè)人寫道：“我看你就是那只山羊！”美國陸軍研究所(US Army Research Institute)的埃弗雷特·哈曼(Everett Harman)寫道，“如果連博士都要出錯(cuò)，我看這個(gè)國家馬上要陷入嚴(yán)重的麻煩了?！钡巧蔡夭]有錯(cuò)。

最后她用整整4個(gè)專欄，數(shù)百個(gè)新聞故事及在小學(xué)生課堂模擬的測驗(yàn)來說服她的讀者她是正確的。游戲秀的調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，那些改選的參賽選手贏的幾率是那些沒有改選的人的兩倍，這證實(shí)了莎凡特在其第三篇專欄中的解釋。

這一課告訴了我們，不要輕信自己的直覺。

將自然數(shù)各自平方取倒數(shù)加在一起等于π2/6。

一般人都會(huì)覺得，左邊這一坨自然數(shù)似乎和π（圓的周長與直徑的比值）不會(huì)存在任何聯(lián)系！然而它就這么發(fā)生了！

我們?cè)谥袑W(xué)都學(xué)過二次方程，也學(xué)過應(yīng)該怎么解次數(shù)為2的多項(xiàng)式方程 ax2 + bx + c = 0。

但在16世紀(jì)，數(shù)學(xué)家解出了一元三次方程，即ax3 + bx2 + cx + d = 0。當(dāng)然它對(duì)應(yīng)的求根公式稍稍復(fù)雜：

看到這里你應(yīng)該慶幸中學(xué)課本并沒有要求你掌握這個(gè)，讓我們?cè)倏纯辞笠辉拇畏匠痰那蟾剑@可更是不得了了！

好吧，反正小數(shù)老師都是直接下拉，一個(gè)字都讀不進(jìn)去了。放心，小數(shù)老師不會(huì)再繼續(xù)向你們展示之后的求根公式了。因?yàn)橐辉宕渭耙陨戏匠痰那蟾讲⒉淮嬖冢∵@里指的并不是至今還沒有找到它們的求根公式，而是數(shù)學(xué)家確確實(shí)實(shí)的證明了它們并不存在。

你可能從來想象不到，有一些無窮大比其他的無窮更大。無窮大應(yīng)該被稱為基數(shù)，并且一個(gè)無窮大如果比另一個(gè)無窮大擁有更大的基數(shù)，則說它比另一個(gè)無窮大要大。（無窮大的基數(shù)總是大于任何一個(gè)自然數(shù)的基數(shù)）

還有許多關(guān)于無窮大的基數(shù)大大出乎我們的意料。舉一個(gè)非常經(jīng)典的例子：整數(shù)比奇數(shù)多嗎？你可能會(huì)毫不猶豫的回答，那是當(dāng)然！因?yàn)檎麛?shù)多出了一系列的偶數(shù)。但答案是否定的，他們擁有相同的基數(shù)，因而整數(shù)并不比奇數(shù)多。知道了這個(gè)道理，就不難回答這個(gè)問題了吧：有理數(shù)多于整數(shù)嗎？不，有理數(shù)與整數(shù)相同多。

然而康托發(fā)現(xiàn)事實(shí)上上實(shí)數(shù)比有理數(shù)還要多。實(shí)數(shù)通常被認(rèn)為是連續(xù)統(tǒng)，并且至今并能完全知道，是否有介于整數(shù)基數(shù)和連續(xù)統(tǒng)基數(shù)的無窮大？這個(gè)猜想被稱為連續(xù)統(tǒng)猜想。

我們證明了有一些東西是不能被證明的。

它的邏輯是這樣的：

(1) 任何一個(gè)足夠強(qiáng)的系統(tǒng)都存在一個(gè)命題，既不能被證明也不能被證偽（例如連續(xù)統(tǒng)假設(shè)）

(2) 任何一個(gè)足夠強(qiáng)的系統(tǒng)都不能證明它自身是不推出矛盾，即便它不能被推出矛盾

以上兩條定義即著名的哥德爾不完備定理。他的意義并不僅僅局限于數(shù)學(xué)，也給了我們深深地哲學(xué)啟迪。

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