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第17計 化歸開門 江山一統(tǒng) ●計名釋義 整數(shù)乘法有口訣：2×3=6，5×7=35.這就是整數(shù)乘法的法則.分數(shù)乘法無口訣，那么分數(shù)在怎樣作乘法呢？ 化歸思想，連小學(xué)生都在用，有一老師問學(xué)生：前100個偶數(shù)的和為多少？一學(xué)生回答：10100. 老師問怎么來的？學(xué)生回答：由前100個自然數(shù)的和來的： 2+4+…+200=2×（1+2+…+100）=2×5050=10100. 這就是數(shù)學(xué)解題中的“化歸法”，復(fù)雜向簡單化歸，陌生向熟悉化歸，未知向已知化歸。 ●典例示范 【例1】 已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+1.求數(shù)列的通項公式及前n項和Sn. 【分析】 這個數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，但又看到其中既含等差數(shù)列又含等比數(shù)列：比如把遞推式中的常數(shù)1去掉，則變成等比數(shù)列，把系數(shù)2換成1則變成等差數(shù)列.為此，破題工作在化歸上尋找入口：向等比（等差）數(shù)列轉(zhuǎn)換. 【解答】 在遞推式an+1=2an+1兩邊加1，化為(an+1+1)=2(an+1)，數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列，公比q=2. 所以an+1=2n-1(a1+1)，即an=2n-1，且Sn=2n-n-1. 【插語】 本數(shù)列的一般形式為：an+1=kan+b(k≠0、1，b≠0)，有人稱其為“等差比數(shù)列”.等差、等比數(shù)列都是它的特例，分別是k=1，或b=0時的特殊情況.用換元法化歸為等比數(shù)列的“常數(shù)匹配”可用待定系數(shù)法求得： 設(shè)an+1+c=k(an+c)=kan+kc 對于上題，b=1，k=2，因此解得c=1. 【點評】 化歸開門體現(xiàn)在本題中：把我們不熟悉的“等差比數(shù)列”化歸到我們熟悉的等比數(shù)列來解.化歸采用的辦法是換元，實際上是an+1+c=bn+1=kbn. 說來也很滑稽，對中學(xué)生來講，不向“等比（等差）”化歸，還有什么別的出路呢？ 【例2】 已知三條拋物線y=x2+4ax-4a+3，y=x2+(a-1)x+a2，y=x2+2ax-2a中至少有一條拋物線與x軸有交點，求實數(shù)a的取值范圍. 【解答】 解答本題如果從正面入手，將要分有一條拋物線、兩條拋物線、三條拋物線與x軸有交點的三類七種情況加以討論，過程十分繁瑣.但是如果轉(zhuǎn)化為從反面思考，即考慮三條拋物線都不與x軸相交，則只要解下列不等式組：
【點評】 很多的數(shù)學(xué)問題,如果直接從正面入手求解,難度較大,致使解題思路受阻,但如果轉(zhuǎn)化為考慮問題的反面，則往往可以將問題輕松解決.數(shù)學(xué)解題中的反證法、補集法等體現(xiàn)的就是這種思想. 【例3】
已知a，b，c均為正整數(shù)，且a2+b2+c2+48<4a+6b+12c，求 【點評】 將等式與不等式對應(yīng)轉(zhuǎn)化，是轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題常用的、有效的手段. ●對應(yīng)訓(xùn)練 1.空間兩條異面直線a，b所成的角為 A.θ∈Φ
B.θ∈{ C.θ∈［ 2.過拋物線y=ax2(a>0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是p，q，則 A.2a
B. 3.函數(shù)f (x)滿足:對任意實數(shù)x,y都有f (x)+f (y)= 求證： ●參考答案
就顯得千頭萬緒.如右圖所示， 過直線b上任意一點A作直線 a′∥a，a′與b確定平面a， 把點P移動到A點，問題便轉(zhuǎn)化 為過A點作一條直線c′與直線a′，b 所成的角均為θ，求θ的取值范圍. 易知當(dāng)直線c′在平面a內(nèi)時， 第1題解圖 直線c′與a′，b所成的角最小為 2.解析 一般解法是先求出焦點F坐標(biāo)為（0， 若把一般性的PQ的直線方程轉(zhuǎn)化為特殊性的方程，即取PQ與x軸平行的方程y= 3.證明 易證f (x)為奇函數(shù),且當(dāng)x>0時都有f (x)<0.先從 由于 故有 再整體處理不等式左端數(shù)列的和有
依題意 故原不等式成立. 點評 本題融函數(shù)、數(shù)列、不等式為一體，正確解答本題的關(guān)鍵是注意整體和式與局部數(shù)列的通項的轉(zhuǎn)化. 6 |
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