難點(diǎn)2 充要條件的判定 充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念,主要用來區(qū)分命題的條件p和結(jié)論q之間的關(guān)系.本節(jié)主要是通過不同的知識點(diǎn)來剖析充分必要條件的意義,讓考生能準(zhǔn)確判定給定的兩個(gè)命題的充要關(guān)系. ●難點(diǎn)磁場 (★★★★★)已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α、β,證明:|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件. ●案例探究 [例1]已知p:|1- 命題意圖:本題以含絕對值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對象,同時(shí)考查了充分必要條件及四種命題中等價(jià)命題的應(yīng)用,強(qiáng)調(diào)了知識點(diǎn)的靈活性. 知識依托:本題解題的閃光點(diǎn)是利用等價(jià)命題對題目的文字表述方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使考生對充要條件的難理解變得簡單明了. 錯(cuò)解分析:對四種命題以及充要條件的定義實(shí)質(zhì)理解不清晰是解此題的難點(diǎn),對否命題,學(xué)生本身存在著語言理解上的困難. 技巧與方法:利用等價(jià)命題先進(jìn)行命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化,搞清晰命題中條件與結(jié)論的關(guān)系,再去解不等式,找解集間的包含關(guān)系,進(jìn)而使問題解決. 解:由題意知: 命題:若?p是?q的必要而不充分條件的等價(jià)命題即逆否命題為:p是q的充分不必要條件. p:|1- q:x2-2x+1-m2≤0 ∵p是q的充分不必要條件, ∴不等式|1- 又∵m>0 ∴不等式*的解集為1-m≤x≤1+m ∴ ∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[9,+∞ [例2]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件. 命題意圖:本題重點(diǎn)考查充要條件的概念及考生解答充要條件命題時(shí)的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性. 知識依托:以等比數(shù)列的判定為主線,使本題的閃光點(diǎn)在于抓住數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的遞推關(guān)系,嚴(yán)格利用定義去判定. 錯(cuò)解分析:因?yàn)轭}目是求的充要條件,即有充分性和必要性兩層含義,考生很容易忽視充分性的證明. 技巧與方法:由an= 解:a1=S1=p+q. 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1) ∵p≠0,p≠1,∴ 若{an}為等比數(shù)列,則 ∴ ∵p≠0,∴p-1=p+q,∴q=-1 這是{an}為等比數(shù)列的必要條件. 下面證明q=-1是{an}為等比數(shù)列的充分條件. 當(dāng)q=-1時(shí),∴Sn=pn-1(p≠0,p≠1),a1=S1=p-1 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=pn-pn-1=pn-1(p-1) ∴an=(p-1)pn-1 (p≠0,p≠1) ∴q=-1時(shí),數(shù)列{an}為等比數(shù)列.即數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件為q=-1. ●錦囊妙計(jì) 本難點(diǎn)所涉及的問題及解決方法主要有: (1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念:當(dāng)“若p則q”形式的命題為真時(shí),就記作p (2)要理解“充要條件”的概念,對于符號“ (3)數(shù)學(xué)概念的定義具有相稱性,即數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要條件,既是概念的判斷依據(jù),又是概念所具有的性質(zhì). (4)從集合觀點(diǎn)看,若A (5)證明命題條件的充要性時(shí),既要證明原命題成立(即條件的充分性),又要證明它的逆命題成立(即條件的必要性). ●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★)函數(shù)f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)的充要條件是( ) A.ab=0 B.a+b= 2.(★★★★)“a=1”是函數(shù)y=cos2ax-sin2ax的最小正周期為“π”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既非充分條件也不是必要條件 二、填空題 3.(★★★★)a=3是直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a-1)y=a-7平行且不重合的_________. 4.(★★★★)命題A:兩曲線F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于點(diǎn)P(x0,y0),命題B:曲線F(x,y)+λG(x,y)=0(λ為常數(shù))過點(diǎn)P(x0,y0),則A是B的__________條件. 三、解答題 5.(★★★★★)設(shè)α,β是方程x2-ax+b=0的兩個(gè)實(shí)根,試分析a>2且b>1是兩根α、β均大于1的什么條件? 6.(★★★★★)已知數(shù)列{an}、{bn}滿足:bn= 7.(★★★★★)已知拋物線C:y=-x2+mx-1和點(diǎn)A(3,0),B(0,3),求拋物線C與線段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件. 8.(★★★★★)p:-2<m<0,0<n<1;q:關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有2個(gè)小于1的正根,試分析p是q的什么條件.(充要條件) 參考答案 難點(diǎn)磁場 證明:(1)充分性:由韋達(dá)定理,得|b|=|α·β|=|α|·|β|<2×2=4. 設(shè)f(x)=x2+ax+b,則f(x)的圖象是開口向上的拋物線. 又|α|<2,|β|<2,∴f(±2)>0. 即有 又|b|<4 (2)必要性: 由2|a|<4+b ∴方程f(x)=0的兩根α,β同在(-2,2)內(nèi)或無實(shí)根. ∵α,β是方程f(x)=0的實(shí)根, ∴α,β同在(-2,2)內(nèi),即|α|<2且|β|<2. 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、1.解析:若a2+b2=0,即a=b=0,此時(shí)f(-x)=(-x)|x+0|+0=-x·|x|=-(x|x+0|+b) =-(x|x+a|+b)=-f(x). ∴a2+b2=0是f(x)為奇函數(shù)的充分條件,又若f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù),即f(-x)= (-x)|(-x)+a|+b=-f(x),則必有a=b=0,即a2+b2=0. ∴a2+b2=0是f(x)為奇函數(shù)的必要條件. 答案:D 2.解析:若a=1,則y=cos2x-sin2x=cos2x,此時(shí)y的最小正周期為π.故a=1是充分條件,反過來,由y=cos2ax-sin2ax=cos2ax.故函數(shù)y的最小正周期為π,則a=±1,故a=1不是必要條件. 答案:A 二、3.解析:當(dāng)a=3時(shí),直線l1:3x+2y+9=0;直線l2:3x+2y+4=0.∵l1與l2的A1∶A2=B1∶B2=1∶1,而C1∶C2=9∶4≠1,即C1≠C2,∴a=3 答案:充要條件 4.解析:若P(x0,y0)是F(x,y)=0和G(x,y)=0的交點(diǎn),則F(x0,y0)+λG(x0,y0)=0,即F(x,y)+λG(x,y)=0,過P(x0,y0);反之不成立. 答案:充分不必要 三、5.解:根據(jù)韋達(dá)定理得a=α+β,b=αβ.判定的條件是p: (1)由 (2)為證明p 綜上討論可知a>2,b>1是α>1,β>1的必要但不充分條件. 6.證明:①必要性: 設(shè){an}成等差數(shù)列,公差為d,∵{an}成等差數(shù)列. 故{bn}是等差數(shù)列,公差為 ②充分性: 設(shè){bn}是等差數(shù)列,公差為d′,則bn=(n-1)d′ ∵bn(1+2+…+n)=a1+2a2+…+nan ① bn-1(1+2+…+n-1)=a1+2a2+…+(n-1)an ② ①-②得:nan= ∴an= 綜上所述,數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列. 7.解:①必要性: 由已知得,線段AB的方程為y=-x+3(0≤x≤3) 由于拋物線C和線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn), 所以方程組 消元得:x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3) 設(shè)f(x)=x2-(m+1)x+4,則有 ②充分性: 當(dāng)3<x≤ x1= ∴方程x2-(m+1)x+4=0有兩個(gè)不等的實(shí)根x1,x2,且0<x1<x2≤3,方程組*有兩組不同的實(shí)數(shù)解. 因此,拋物線y=-x2+mx-1和線段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件3<m≤ 8.解:若關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有2個(gè)小于1的正根,設(shè)為x1,x2. 則0<x1<1,0<x2<1,有0<x1+x2<2且0<x1x2<1, 根據(jù)韋達(dá)定理: 有-2<m<0;0<n<1即有q 反之,取m=- 方程x2+mx+n=0無實(shí)根,所以p 綜上所述,p是q的必要不充分條件. |
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