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高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破 難點(diǎn)02 充要條件

 大安匠人 2012-01-04

難點(diǎn)2  充要條件的判定

充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念,主要用來區(qū)分命題的條件p和結(jié)論q之間的關(guān)系.本節(jié)主要是通過不同的知識點(diǎn)來剖析充分必要條件的意義,讓考生能準(zhǔn)確判定給定的兩個(gè)命題的充要關(guān)系.

●難點(diǎn)磁場

(★★★★★)已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α、β,證明:|α|<2|β|<22|a|<4+b|b|<4的充要條件.

●案例探究

[例1]已知p|1 |2,q:x22x+1m20(m>0),?p?q的必要而不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

命題意圖:本題以含絕對值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對象,同時(shí)考查了充分必要條件及四種命題中等價(jià)命題的應(yīng)用,強(qiáng)調(diào)了知識點(diǎn)的靈活性.

知識依托:本題解題的閃光點(diǎn)是利用等價(jià)命題對題目的文字表述方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使考生對充要條件的難理解變得簡單明了.

錯(cuò)解分析:對四種命題以及充要條件的定義實(shí)質(zhì)理解不清晰是解此題的難點(diǎn),對否命題,學(xué)生本身存在著語言理解上的困難.

技巧與方法:利用等價(jià)命題先進(jìn)行命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化,搞清晰命題中條件與結(jié)論的關(guān)系,再去解不等式,找解集間的包含關(guān)系,進(jìn)而使問題解決.

解:由題意知:

命題:若?p?q的必要而不充分條件的等價(jià)命題即逆否命題為:pq的充分不必要條件.

p:|1 |2 2 12 1 3 2x10

q:x22x+1m20 x(1m)][x(1+m)]≤0  *

pq的充分不必要條件,

∴不等式|1 |2的解集是x22x+1m20(m>0)解集的子集.

又∵m>0

∴不等式*的解集為1mx1+m

,∴m9,

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[9,+ .

[例2]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)Sn=pn+q(p0,p1),求數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件.

命題意圖:本題重點(diǎn)考查充要條件的概念及考生解答充要條件命題時(shí)的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

知識依托:以等比數(shù)列的判定為主線,使本題的閃光點(diǎn)在于抓住數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的遞推關(guān)系,嚴(yán)格利用定義去判定.

錯(cuò)解分析:因?yàn)轭}目是求的充要條件,即有充分性和必要性兩層含義,考生很容易忽視充分性的證明.

技巧與方法:由an= 關(guān)系式去尋找anan+1的比值,但同時(shí)要注意充分性的證明.

解:a1=S1=p+q.

當(dāng)n2時(shí),an=SnSn1=pn1(p1)

p0,p1, =p

{an}為等比數(shù)列,則 =p

=p,

p0,∴p1=p+q,∴q=1

這是{an}為等比數(shù)列的必要條件.

下面證明q=1{an}為等比數(shù)列的充分條件.

當(dāng)q=1時(shí),∴Sn=pn1(p0,p1)a1=S1=p1

當(dāng)n2時(shí),an=SnSn1=pnpn1=pn1(p1)

an=(p1)pn1  (p0,p1)

=p為常數(shù)

q=1時(shí),數(shù)列{an}為等比數(shù)列.即數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件為q=1.

●錦囊妙計(jì)

本難點(diǎn)所涉及的問題及解決方法主要有:

(1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念:當(dāng)“若pq”形式的命題為真時(shí),就記作p q,稱pq的充分條件,同時(shí)稱qp的必要條件,因此判斷充分條件或必要條件就歸結(jié)為判斷命題的真假.

(2)要理解“充要條件”的概念,對于符號“ ”要熟悉它的各種同義詞語:“等價(jià)于”,“當(dāng)且僅當(dāng)”,“必須并且只需”,“……,反之也真”等.

(3)數(shù)學(xué)概念的定義具有相稱性,即數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要條件,既是概念的判斷依據(jù),又是概念所具有的性質(zhì).

(4)從集合觀點(diǎn)看,若A B,則AB的充分條件,BA的必要條件;若A=B,則AB互為充要條件.

(5)證明命題條件的充要性時(shí),既要證明原命題成立(即條件的充分性),又要證明它的逆命題成立(即條件的必要性).

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)函數(shù)f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)的充要條件是(    )

A.ab=0                         B.a+b=0                       C.a=b                   D.a2+b2=0

2.(★★★★)a=1”是函數(shù)y=cos2axsin2ax的最小正周期為“π”的(    )

A.充分不必要條件                                                 B.必要不充分條件

C.充要條件                                                     D.既非充分條件也不是必要條件

二、填空題

3.(★★★★)a=3是直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a1)y=a7平行且不重合的_________.

4.(★★★★)命題A:兩曲線F(x,y)=0G(x,y)=0相交于點(diǎn)P(x0,y0),命題B:曲線F(x,y)+λG(x,y)=0(λ為常數(shù))過點(diǎn)P(x0,y0),AB__________條件.

三、解答題

5.(★★★★★)設(shè)α,β是方程x2ax+b=0的兩個(gè)實(shí)根,試分析a>2b>1是兩根α、β均大于1的什么條件?

6.(★★★★★)已知數(shù)列{an}{bn}滿足:bn= ,求證:數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列.

7.(★★★★★)已知拋物線Cy=x2+mx1和點(diǎn)A(3,0),B(0,3),求拋物線C與線段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件.

8.(★★★★★)p:2<m<0,0<n<1;q:關(guān)于x的方程x2+mx+n=02個(gè)小于1的正根,試分析pq的什么條件.(充要條件)

 

參考答案

難點(diǎn)磁場

證明:(1)充分性:由韋達(dá)定理,得|b|=|α·β|=|α|·|β|2×2=4.

設(shè)f(x)=x2+ax+b,f(x)的圖象是開口向上的拋物線.

|α|2,|β|2,f(±2)>0.

即有 4+b>2a>(4+b)

|b|4 4+b>0 2|a|4+b

(2)必要性:

2|a|4+b f(±2)>0f(x)的圖象是開口向上的拋物線.

∴方程f(x)=0的兩根αβ同在(2,2)內(nèi)或無實(shí)根.

α,β是方程f(x)=0的實(shí)根,

α,β同在(2,2)內(nèi),即|α|2|β|2.

殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析:若a2+b2=0,a=b=0,此時(shí)f(x)=(x)|x+0|+0=x·|x|=(x|x+0|+b)

=(x|x+a|+b)=f(x).

a2+b2=0f(x)為奇函數(shù)的充分條件,又若f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù),即f(x)=

(x)|(x)+a|+b=f(x),則必有a=b=0,a2+b2=0.

a2+b2=0f(x)為奇函數(shù)的必要條件.

答案:D

2.解析:若a=1,y=cos2xsin2x=cos2x,此時(shí)y的最小正周期為π.a=1是充分條件,反過來,由y=cos2axsin2ax=cos2ax.故函數(shù)y的最小正周期為π,a=±1,a=1不是必要條件.

答案:A

二、3.解析:當(dāng)a=3時(shí),直線l1:3x+2y+9=0;直線l2:3x+2y+4=0.l1l2A1A2=B1B2=11,而C1C2=941,C1C2,a=3 l1l2.

答案:充要條件

4.解析:若P(x0,y0)F(x,y)=0G(x,y)=0的交點(diǎn),則F(x0,y0)+λG(x0,y0)=0,即F(x,y)+λG(x,y)=0,過P(x0,y0);反之不成立.

答案:充分不必要

三、5.解:根據(jù)韋達(dá)定理得a=α+β,b=αβ.判定的條件是p: 結(jié)論是q: (注意pab滿足的前提是Δ=a24b0)

(1) ,得a=α+β>2,b=αβ>1,q p

(2)為證明p q,可以舉出反例:取α=4,β= ,它滿足a=α+β=4+ >2,b=αβ=4× =2>1,q不成立.

綜上討論可知a>2,b>1α>1,β>1的必要但不充分條件.

6.證明:①必要性:

設(shè){an}成等差數(shù)列,公差為d,{an}成等差數(shù)列.

     從而bn+1bn=a1+n· da1(n1) d= d為常數(shù).

    {bn}是等差數(shù)列,公差為 d.

②充分性:

設(shè){bn}是等差數(shù)列,公差為d,bn=(n1)d′

bn(1+2++n)=a1+2a2++nan                                                                                                                                                            

bn1(1+2++n1)=a1+2a2++(n1)an                                                                                                                                   

①-②得:nan= bn1

an= ,從而得an+1an= d′為常數(shù),故{an}是等差數(shù)列.

綜上所述,數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列.

7.解:①必要性:

由已知得,線段AB的方程為y=x+3(0x3)

由于拋物線C和線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

所以方程組 *有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

消元得:x2(m+1)x+4=0(0x3)

設(shè)f(x)=x2(m+1)x+4,則有

②充分性:

當(dāng)3x 時(shí),

x1= >0

∴方程x2(m+1)x+4=0有兩個(gè)不等的實(shí)根x1,x2,0x1x23,方程組*有兩組不同的實(shí)數(shù)解.

因此,拋物線y=x2+mx1和線段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件3m .

8.解:若關(guān)于x的方程x2+mx+n=02個(gè)小于1的正根,設(shè)為x1,x2.

0x11,0x21,0x1+x220x1x21,

根據(jù)韋達(dá)定理:

有-2m0;0n1即有q p.

反之,取m= 0

方程x2+mx+n=0無實(shí)根,所以p q

綜上所述,pq的必要不充分條件.

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