極限法的哲學思考;(轉(zhuǎn)自中國數(shù)學在線);極限的ε-N定義,術(shù)語抽象,符號陌生,其中的辯證;1什么叫極限法?;所謂 極限法,是指用極限概念分析問題和解決問題的;例如,已知拋物線y2=2x.(1)在拋物線上任;在該題中,為了推導所求拋物弓形的面積,必須借 助;就像坐標法是解析幾何的基本方法一樣,極限法是微;2極限法思想是從哪兒來的?;與一切科學方法一樣,極 極限法的哲學思考 (轉(zhuǎn)自中國數(shù)學在線) 極 限的ε-N定義,術(shù)語抽象,符號陌生,其中的辯證關(guān)系不易搞清,學生會提出的一系列問題:描述性定義簡單明白,為什么要搞個ε-N定義?它與描述性定義有 什么不同?數(shù)學家怎么會想出這種“古怪而討厭”的定義?正如R·柯朗與H·羅賓所說:“初次遇到它時暫時不理解是不足為怪的,遺憾的是某些課本的作者故弄 玄虛,他們不作充分的準備,而只是把這個定義直接向讀者列出,好像作些解釋就有損于數(shù)學家的身份似的.”要弄清這些問題,有必要翻開數(shù)學史,從哲學的角度 認識極限法,這不僅是搞清極限概念的需要,也有助于建立正確的數(shù)學觀念. 1 什么叫極限法? 所謂極限法,是指用極限概念分 析問題和解決問題的一種數(shù)學方法.極限法的一般步驟可概括為:對于被考察的未知量,先設(shè)法構(gòu)思一個與它有關(guān)的變量,確認這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求 的未知量;最后用極限計算來得到這結(jié)果.極限法不同于一般的代數(shù)方法,代數(shù)中的加、減、乘、除等運算都是由兩個數(shù)來確定出另一個數(shù),而在極限法中則是由無 限個數(shù)來確定一個數(shù).很多問題,用常量數(shù)學的方法無法解決,卻可用極限法解決. 例如,已知拋物線y2=2x.(1)在拋物線上任取二點 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),經(jīng)過線段P1P2的中點作直線平行于拋物線的軸,和拋物線交于點P3,證明△P1P2P3的面積為 (1/16)·|y1-y2|3;(2)經(jīng)過線段P1P3、P2P3的中點分別作直線平行于拋物線的軸,與拋物線依次相交于Q1、Q2,試將 △P1P3Q1與△P2P3Q2的面積之和用y1、y2表示出來;(3)依照(2)又可作出四個更小的三角形,如此繼續(xù)下去可以作一系列的三角形,由此設(shè) 法求出線段P1P2與拋物線所圍成的圖形的面積.(1965年高考數(shù)學試題第7題) 在該題中,為了推導所求拋物弓形的面積,必須借助于極限法. 就像坐標法是解析幾何的基本方法一樣,極限法是微積分的基本方法,微積分中的一系列重要概念,如函數(shù)連續(xù)性、導數(shù)以及定積分等等都是借助于極限法定義的.如果要問:“微積分是一門什么學科?”那么可以概括地說:“微積分是用極限法來研究函數(shù)的一門學科.” 2 極限法思想是從哪兒來的? 與一切科學方法一樣,極限法也是社會實踐的產(chǎn)物. 極限法的思想可以追溯到古代.劉徽的割圓術(shù)就是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始極限觀念的應(yīng)用.古希臘人的窮竭法也蘊含了極限思想,但由于希臘人“對無限的恐懼”,他們避免明顯地“取極限”,而是借助于簡接證法——歸謬法完成有關(guān)證明. 到了16世紀,荷蘭數(shù)學家斯泰文在考察三角形重心的過程中改進了古希臘人的窮竭法,他借助幾何直觀,大膽地運用極限思想思考問題,放棄了歸繆法證明步驟.如此,他就在無意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個實用的概念的方向”. 極限法的進一步發(fā)展與微積分的建立緊密聯(lián)系.16世紀的歐洲處于資本主義萌芽時期,生產(chǎn)力得到很大的發(fā)展,生產(chǎn)和技術(shù)中大量的問題,只用初等數(shù)學的方法已 無法解決,要求數(shù)學突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍,而提供能夠用以描述和研究運動、變化過程的新工具,這是促進極限發(fā)展、建立微積分的社會背景. 起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎(chǔ)建立微積分,后來因遇到了邏輯困難,所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想.牛頓用路程的改變量ΔS與時間的 改變量Δt之比ΔS/Δt表示運動物體的平均速度,讓Δt無限趨近于零,得到物體的瞬時速度,并由此引出導數(shù)概念和微分學理論.他意識到極限概念的重要性, 試圖以極限概念作為微積分的基礎(chǔ).他說:“兩個量和量之比,如果在有限時間內(nèi)不斷趨于相等,且在這一時間終止前互相靠近,使得其差小于任意給定的差別,則 最終就成為相等.”但牛頓的極限觀念也是建立在幾何直觀上,因而他無法得出極限的嚴密表述.牛頓所運用的極限概念,只是接近于下列直觀性的語言描述:“如 果當n無限增大時,an無限地接近于常數(shù)A,那么就說an以A為極限.” 這種描述性語言,人們?nèi)菀捉邮埽F(xiàn)代一些初等的微積分讀物中還經(jīng)常采用這種定義.但是,這種定義沒有定量地給出兩個“無限過程”之間的聯(lián)系,不能作為科學論證的邏輯基礎(chǔ). 正因為當時缺乏嚴格的極限定義,微積分理論才受到人們的懷疑與攻擊,例如,在瞬時速度概念中,究竟Δt是否等于零?如果說是零,怎么能用它去作除法呢?如 果它不是零,又怎么能把包含著它的那些項去掉呢?這就是數(shù)學史上所說的無窮小悖論.英國哲學家、大主教貝克萊對微積分的攻擊最為激烈,他說微積分的推導是 “分明的詭辯”. 貝克萊之激烈攻擊微積分,一方面是為宗教服務(wù),另一方面也由于當時的微積分缺乏牢固的理論基礎(chǔ),連牛頓自己也無法擺脫極限概念中的混亂.這個事實表明,弄清極限概念,建立嚴格的微積分理論基礎(chǔ),不但是數(shù)學本身所需要而且有著認識論上的重大意義. 3 極限法的完善 極限法的完善與微積分的嚴格化密切聯(lián)系. 在很長一段時間里,微積分理論基礎(chǔ)的問題,許多人都曾嘗試解決,但都未能如愿以償.這是因為數(shù)學的研究對象已從常量擴展到變量,而人們對變量數(shù)學特有的規(guī) 律還不十分清楚;對變量數(shù)學和常量數(shù)學的區(qū)別和聯(lián)系還缺乏了解;對有限和無限的對立統(tǒng)一關(guān)系還不明確.這樣,人們使用習慣了的處理常量數(shù)學的傳統(tǒng)思想方 法,就不能適應(yīng)變量數(shù)學的新需要,僅用舊的概念說明不了這種“零”與“非零”,相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系. 到了18世紀,羅賓斯、達朗貝爾與羅 依里埃等人先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎(chǔ)概念,并且都對極限作出過各自的定義.其中達朗貝爾的定義是:“一個量是另一個量的極限,假如第二個 量比任意給定的值更為接近第一個量.”它接近于極限的正確定義,然而,這些人的定義都無法擺脫對幾何直觀的依賴.事情也只能如此,因為19世紀以前的算術(shù) 和幾何概念大部分都是建立在幾何量的概念上面的. 首先用極限概念給出導數(shù)正確定義的人,是捷克數(shù)學家波爾查諾,他把函數(shù)f(x)的 導數(shù),定義為差商Δy/Δx的極限f′(x),他強調(diào)指出,f′(x)不是兩個零的商.波爾查諾的思想是有價值的,但關(guān)于極限的本質(zhì)他仍未說清楚. 到了19世紀,法國數(shù)學家柯西在前人工作的基礎(chǔ)上,比較完整地闡述了極限概念及其理論,他在《分析教程》中指出:“當一個變量逐次所取的值無限趨于一個定 值,最終使變量的值和該定值之差要多小就多小,這個定值就叫做所有其他值的極限值.”特別地,當一個變量的數(shù)值(絕對值)無限地減小使之收斂到極限0,就 說這個變量成為無窮小. 柯西把無窮小視為以0為極限的變量,這就澄清了無窮小“似零非零”的模糊認識,這就是說,在變化過程中,它的值可以是非零,但它變化的趨向是“零”,可以無限地接近于零. 柯西試圖消除極限概念中的幾何直觀,作出極限的明確定義,然后去完成牛頓的愿望.但柯西的敘述中還存在描述性的詞語,如“無限趨近”、“要多小就多小”等,因此還保留著幾何和物理的直觀痕跡,沒有達到徹底嚴密化的程度. 為了排除極限概念中的直觀痕跡,維爾斯脫拉斯提出了極限的靜態(tài)的定義,給微積分提供了嚴格的理論基礎(chǔ).所謂an=A,就是指:“如果對任何ε>0,總存在自然數(shù)N,使得當n>N時,不等式|an-A|<ε恒成立.” 這個定義,借助不等式,通過ε和N之間的關(guān)系,定量地、具體地刻劃了兩個“無限過程”之間的聯(lián)系.因此,這樣的定義是嚴格的,可以作為科學論證的基礎(chǔ),至 今仍不顯得陳舊.在該定義中,涉及到的僅僅是數(shù)及其大小關(guān)系,此外只是給定、存在、任取等詞語,已經(jīng)擺脫了“趨近”一詞,不求助于運動的直觀. 眾所周知,常量數(shù)學靜態(tài)地研究數(shù)學對象,自從解析幾何和微積分問世以后,運動進入了數(shù)學,人們有可能對物理過程進行動態(tài)研究,之后,維爾斯脫拉斯建立的 ε-N語言,則用靜態(tài)的定義刻劃變量的變化趨勢.這種“靜態(tài)——動態(tài)——靜態(tài)”的螺旋式的演變,反映了數(shù)學發(fā)展的辯證規(guī)律. 綜上所述可見,極限法的引入與完善是出于社會實踐的需要,是幾代人奮斗的結(jié)果,不是哪一個數(shù)學家苦思冥想出來的. 4 極限法的思維功能 極限法在現(xiàn)代數(shù)學乃至物理等學科中有廣泛的應(yīng)用,這是由它本身固有的思維功能所決定蹬.極限法揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關(guān)系,是唯物辯證法 的對立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學領(lǐng)域中的應(yīng)用.借助極限法,人們可以從有限認識無限,從“不變”認識“變”,從直線形認識曲線形,從量變認識質(zhì)變,從近似認識準確. 無限與有限有本質(zhì)的不同,但二者又有聯(lián)系,無限是有限的發(fā)展.無限個數(shù)目的和不是 一般的代數(shù)和,把它定義為“部分和”的極限,就是借助極限法,從有限認識無限. “變”與“不變”反映了事物運動變化與相對靜止兩種不同狀態(tài),但它們在一定條件下又可相互轉(zhuǎn)化,這種轉(zhuǎn)化是“數(shù)學科學的有力杠桿之一”.例如,要求變速直 線運動的瞬時速度,用初等方法是無法解決的,困難在于這時速度是變量.為此,人們先在小范圍內(nèi)用勻速代替變速,并求其平均速度,把瞬時速度定義為平均速度 的極限,就是借助極限法,從“不變”認識“變”. 曲線形與直線形有本質(zhì)的差異,但在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化,正如恩格斯所說:“直線和曲 線在微分中終于等同起來了.”善于利用這種對立統(tǒng)一關(guān)系是處理數(shù)學問題的重要手段之一.直線形的面積容易求得,要求曲線形的面積,只用初等的方法就不行 了.劉徽用圓內(nèi)接多邊形逼近圓,一般地,人們用小矩形的面積和逼近曲邊梯形的面積,都是借助極限法,從直線形認識曲線形. 量變和質(zhì)變既有 區(qū)別又有聯(lián)系,兩者之間有著辯證關(guān)系.量變能引起質(zhì)變,質(zhì)和量的互變規(guī)律是辯證法的基本規(guī)律之一,在數(shù)學研究工作中起重要作用.對任何一個圓內(nèi)接正多邊形 來說,當它邊數(shù)加倍后,得到的還是內(nèi)接正多邊形,是量變,不是質(zhì)變.但是,不斷地讓邊數(shù)加倍,經(jīng)過無限過程之后,多邊形就“變”成圓,多邊形面積變轉(zhuǎn)化為 圓面積.這就是借助極限法從量變認識質(zhì)變. 近似與準確是對立統(tǒng)一關(guān)系,兩者在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化,這種轉(zhuǎn)化是數(shù)學應(yīng)用于實際計算的重 要訣竅.前面所講到的“部分和”、“平均速度”、“圓內(nèi)接正多邊形面積”,依次是相應(yīng)的無窮級數(shù)和、瞬時速度、圓面積的近似值,取極限后就可得到相應(yīng)的準 確值.這都是借助極限法,從近似認識準確. 參考文獻 1 周述岐.數(shù)學思想和數(shù)學哲學.北京:中國人民大學出版社,1993 2 張綏.數(shù)學與哲學.上海:學林出版社,1988 3 袁小明.數(shù)學思想史導論,南寧:廣西人民出版社,1991 4 劉云章.中學微積分教學.南京:江蘇教育出版社,1986 三億文庫3y.包含各類專業(yè)文獻、專業(yè)論文、應(yīng)用寫作文書、高等教育、文學作品欣賞、57極限法的哲學思考等內(nèi)容。 |
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