整完了材料，中間休息，寫(xiě)點(diǎn)文字。加個(gè)副標(biāo)題，以示與“微積分”說(shuō)課系列的區(qū)別。

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    這學(xué)期給本科生講授“實(shí)變函數(shù)”課，這是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)本科階段老師覺(jué)得不太好講、學(xué)生覺(jué)得不太好學(xué)的課程，在川大教了8輪“實(shí)變函數(shù)”，在廣大只教了3輪，主要原因是前幾年為了寫(xiě)微積分教材去教微積分課程了。我覺(jué)得要寫(xiě)好一部教材，不反復(fù)實(shí)踐肯定是不行的，這不，《高等數(shù)學(xué)》剛開(kāi)始試用就有人提出質(zhì)疑了，說(shuō)沒(méi)有制作課件，也沒(méi)有習(xí)題解答。有課件固然好，備課省事，但這與教材是兩回事，至于習(xí)題解答，與我們寫(xiě)《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》一樣是故意不做的，我們認(rèn)為這些應(yīng)該留給學(xué)生自己做，也許再版中會(huì)考慮給個(gè)參考答案。

    實(shí)變函數(shù)可能是所有本科數(shù)學(xué)課程中介紹集合論最為詳細(xì)的課程，別的課程大多只介紹一些簡(jiǎn)單的概念，實(shí)變函數(shù)則用了相當(dāng)?shù)钠鶃?lái)介紹集合論的基本內(nèi)容，在詳細(xì)介紹集合論之前，講授者有必要對(duì)集合論的前世今生做一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹，因?yàn)榧险撾m然成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石，但存在的問(wèn)題迄今并未得到很好的解決。換句話(huà)說(shuō)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)建立在一個(gè)十分不完善的理論基礎(chǔ)之上，作為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生對(duì)此應(yīng)有所了解。

    對(duì)大學(xué)生而言，集合論中出現(xiàn)的第一個(gè)陌生概念是集合序列的極限，有兩個(gè)問(wèn)題常常是教師沒(méi)有交代清楚的：

1、為什么要定義集合序列的極限？

2、為什么要如此這般定義集合序列的極限？

    要說(shuō)清楚第一個(gè)問(wèn)題，教師自己需要清楚實(shí)變函數(shù)的思維特征以及學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)的關(guān)鍵是什么？從可測(cè)函數(shù)的定義可以看出（此時(shí)當(dāng)然不必詳細(xì)介紹可測(cè)函數(shù)，但在課程的引言中應(yīng)該已經(jīng)講過(guò)Lebesgue積分的基本思想，學(xué)生對(duì)可測(cè)函數(shù)概念的理解沒(méi)有任何困難），我們常常是把函數(shù)的某種性質(zhì)用集合的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，有時(shí)也需要反過(guò)來(lái)做。而分析學(xué)的靈魂則是極限，如何將函數(shù)序列的極限概念轉(zhuǎn)換為集合的語(yǔ)言顯然是個(gè)需要考慮的問(wèn)題，于是集合序列的極限概念應(yīng)運(yùn)而生。事實(shí)上，在后續(xù)的各個(gè)部分，這種集合論語(yǔ)言與函數(shù)論語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換乃家常便飯。例如，如何把一個(gè)函數(shù)序列的極限不存在的點(diǎn)表示出來(lái)？學(xué)生如果能搞清楚這個(gè)問(wèn)題，那么實(shí)變函數(shù)中的一些重要定理的證明就不是一件令人望而生畏的事情了。

    第二個(gè)問(wèn)題的講解涉及如何定義集合序列的極限，大多數(shù)教材中是直接給出一個(gè)描述性定義：集合序列An的上極限集為A={x|x在無(wú)窮多個(gè)An中}，下極限集為B={x|只有有限個(gè)An不含x}，如果A=B，則稱(chēng)序列{An}的極限存在。這個(gè)定義的好處在于學(xué)習(xí)者對(duì)上極限集與下極限集一目了然。問(wèn)題在于，為什么要這么定義？它與函數(shù)序列極限之間似乎沒(méi)有相似之處，沒(méi)有任何蛛絲馬跡可循，直到老師證明了一個(gè)與之等價(jià)的定義并將之與函數(shù)序列的極限做類(lèi)比之后，學(xué)生才似有所悟。我們則換了一種做法，首先回顧函數(shù)序列上下極限的定義，其關(guān)鍵之處在于尋找到函數(shù)序列上下確界的類(lèi)似物，這就需要我們首先找出集合論中與大小關(guān)系類(lèi)似的東西，不必老師指出來(lái)，學(xué)生很容易回答：是集合的包含關(guān)系（這又為后面講述偏序關(guān)系以及超窮歸納法埋下了伏筆）。按照集合的包含關(guān)系，所謂集合序列的“最小上界”是什么呢？是包含所有An的集合中最小的那個(gè)集合，顯而易見(jiàn)，這個(gè)集合就是所有An的并集。類(lèi)似找出集合序列的“最大下界”，有了這些類(lèi)似物，集合的上極限、下極限定義問(wèn)題就水到渠成迎刃而解了。學(xué)生對(duì)這個(gè)定義不會(huì)產(chǎn)生任何理解上的困難，更不會(huì)感到概念的突兀，但這到底是個(gè)什么樣的集合則需要進(jìn)一步考察，換句話(huà)說(shuō)，老師需要引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)兩個(gè)定義之間的內(nèi)在關(guān)系。與描述性的定義相比，這個(gè)定義更自然，也更適合學(xué)生的思維習(xí)慣。