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極限，數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念。在數(shù)學(xué)中，如果某個(gè)變化的量無限地逼近于一個(gè)確定的數(shù)值，那么該定值就叫做變化的量的極限。極限指的是變量在一定的變化過程中，從總的來說逐漸穩(wěn)定的這樣一種變化趨勢(shì)以及所趨向的值（極限值）。極限的概念最終由柯西和魏爾斯特拉斯等人嚴(yán)格闡述。在現(xiàn)代的數(shù)學(xué)分析教科書中，幾乎所有基本概念都是建立在極限概念的基礎(chǔ)之上。極限思想是微積分的基本思想，數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來定義的。

• 中文名：極限
• 英文名：limit

• 應(yīng)用領(lǐng)域：微積分
• 代表人物：柯西和魏爾斯特拉斯

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極限概念更精確地表述為：如果序列x1,x2,...xn,...，當(dāng)n無窮大時(shí)，趨向于某個(gè)確定的數(shù)值a,則稱數(shù)a為該序列的極限。記作

極限思想在古希臘的窮竭法和中國古代的割圓術(shù)中已經(jīng)萌芽。在牛頓的微積分中也含有極限思想。但是，直到19世紀(jì)初，人們對(duì)極限的理解還沒有擺脫幾何直觀。只是到了1821年，法國數(shù)學(xué)家A.L.柯西才把極限概念建立在算術(shù)的基礎(chǔ)上。他把極限定義為：若變量的一串?dāng)?shù)值無限地趨向某一定值時(shí)，其差可以隨意地小，則該定值稱為這一串?dāng)?shù)值的極限。19世紀(jì)70年代，德國的K.魏爾施特拉斯等人在數(shù)學(xué)分析的算術(shù)化過程中，進(jìn)一步用'ε-N'語言更精確地把極限概念表述為：如果序列x1,x2,...xn,...對(duì)于任意給定的無論怎樣小的正數(shù)ε，總存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，不等式ㄧxn-aㄧ<ε恒成立，則稱數(shù)a為該序列的極限。
極限概念體現(xiàn)了有限與無限的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系。序列x1，x2，...xn,...是由無限多個(gè)有限值組成的，并且在收斂的條件下，存在著有限的極限值。這說明了無限包含著有限，并且在一定條件下，可以向有限轉(zhuǎn)化；另一方面，有限又包含著無限，在一定條件下，可以轉(zhuǎn)化為無限，并通過無限表現(xiàn)自身。這一點(diǎn)在函數(shù)f(x)的級(jí)數(shù)展開式

中得到充分體現(xiàn)。正是有了這一公式，我們才能研究復(fù)雜函數(shù)的變化情況，以及求無理數(shù)的近似值。例如，求自然對(duì)數(shù)的底e的近似值，就可以利用它的級(jí)數(shù)展開式

求得。這表明極限概念具有重要的方法論意義。

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數(shù)列的定義

一個(gè)定義在正整數(shù)集合上的函數(shù)yn=f(n)(稱為整標(biāo)函數(shù))，當(dāng)自變量n按正整數(shù)1，2，3…依次增大的順序取值時(shí)，函數(shù)值按相應(yīng)的順序排成一串?dāng)?shù)：f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…稱為一個(gè)無窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，f(n)稱為數(shù)列的一般項(xiàng)。

數(shù)列的極限

如果對(duì)于任意給定的正數(shù)c，總存在一個(gè)正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，∣yn－A∣

此定義中的正數(shù)c只有任意給定，不等式

才能表達(dá)出xn與a無限接近的意思。且定義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù)c是有關(guān)的，它是隨著c的給定而選定的。