2015年8月23日晚，數(shù)學(xué)家張益唐在清華大學(xué)做了《我對數(shù)學(xué)的理解》的主題演講，本場演講由百人傳媒主辦，現(xiàn)場聽眾云集，大家紛紛來一睹這位當(dāng)代著名華人數(shù)學(xué)家的風(fēng)采。蝌蚪君也在現(xiàn)場聆聽了張教授的精彩演講。

　　本次講座中最重要的人物是“張益唐”。 最重要的數(shù)學(xué)概念是“解析數(shù)論”。

　　很多人可能對“張益唐”與“解析數(shù)論”都還不太了解，蝌蚪君為你略說一二。

張益唐的師承

　　張益唐究竟是何許人？這個問題如果放在3年前來問，估計知道這個名字的人極少，因為他一共只發(fā)表過3篇學(xué)術(shù)論文。張益唐的學(xué)術(shù)經(jīng)歷非常坎坷，在成名之前，他只是美國一個普通大學(xué)的數(shù)學(xué)講師，可以說是默默無聞。

　　但張益唐本來就不是等閑之輩。他1978年考入北京大學(xué)數(shù)學(xué)系，師從潘承彪教授攻讀碩士學(xué)位。潘承彪教授是著名數(shù)論（關(guān)于整數(shù)的學(xué)問，很多問題與素數(shù)有關(guān)）專家潘承洞的弟弟，他們兩兄弟寫過一本專著叫做《哥德巴赫猜想》（中、英文版）。自從新中國成立以后，華羅庚放棄在美國的優(yōu)異待遇，發(fā)表熱情洋溢的愛國宣言：“良園雖好,卻非久居之地”，毅然回國把中國的解析數(shù)論提高到一個國際性的高度以來，以潘家兩兄弟，王元，陳景潤等為代表的中國數(shù)學(xué)家就在這一艱深的領(lǐng)域進行了富有成果的研究。

　　因此可以說，張益唐的學(xué)術(shù)背景本來就是“出身名門”。

什么是解析數(shù)論

　　解析數(shù)論是在初等數(shù)論無法解決很多具體問題的情況下發(fā)展起來的，是數(shù)論中以分析方法作為研究工具的一個分支。什么是分析方法呢？加減乘除這種不是分析方法，分析方法就是以概率，極限以及微積分等高等數(shù)學(xué)為工具的方法。

　　比如，歐幾里德證明素數(shù)的個數(shù)是無限的，那么素數(shù)在正整數(shù)中的出現(xiàn)的概率是多少呢？用解析數(shù)論的辦法可以證明：如果有1到n一共n個連續(xù)的正整數(shù)，那么素數(shù)在這n個數(shù)中出現(xiàn)的概率近似是1/log（n）。

　　這種概率的看法并不是精確的，但卻是解析數(shù)論研究的基本觀念。

　　在解析數(shù)論中，另外要做的事情就是用分析的辦法估計一些求和的大小。

　　比如，所有素數(shù)的倒數(shù)之和是發(fā)散的，也就是說，這個和是無窮大，但具體是怎么發(fā)散到無窮大的，則需要深入的分析。對于所有素數(shù)的倒數(shù)和，可以證明它的發(fā)散方式是以“對數(shù)的對數(shù)”方式趨向于無窮。

解析數(shù)論的特點

　　如果我們有了一個可以表達出所有素數(shù)的通項公式，那么一些解析數(shù)論范圍的問題，就自動轉(zhuǎn)到初等數(shù)論的范圍內(nèi)?？上У氖?，我們并沒有素數(shù)的通項公式——也就是說我們并不完全掌握素數(shù)的在整數(shù)里的分布規(guī)律到底是什么，給你一個很大的素數(shù)，你無法預(yù)測下一個素數(shù)是多少——正因為這個基本的困難，現(xiàn)在數(shù)學(xué)家只能有一些“估計”的辦法來處理數(shù)論問題。

　　因此，“估計”也就成了解析數(shù)論的特點。

解析數(shù)論怎么做？主要是估計主項與余項

　　在張益唐之前，有一篇8年前發(fā)表的論文，是最接近要證明的孿生素數(shù)猜想的。這篇論文就是美國人Glodston 、匈牙利人Pintz以及土耳其人Yidirim三位數(shù)學(xué)家完成的，按照作者個人名字的首字母，簡稱為GPY論文。該論文雖然看上去非常接近“孿生素數(shù)猜想”，但仍然不能證明存在一對素數(shù)，其間隔總小于某一特定的有限值。

　　后來，美國數(shù)學(xué)研究所的召集了世界上所有的相關(guān)的數(shù)學(xué)家對這一問題進行評估，最后的評估結(jié)論就是：這個問題沒有辦法解決。

　　張益唐后來說：“GPY論文非常復(fù)雜，技術(shù)性很強，但對我來講看懂這個論文不太困難，因為我在這方面的訓(xùn)練還是夠的。解析數(shù)論，歸結(jié)到最后，往往是你去算一個很復(fù)雜的求和，而算這個東西呢，你不可能精確得算出來它等于多少。算出來的結(jié)果往往有兩部分，一部分是主項，另外一部分是余項（或者叫誤差項），往往計算的結(jié)果是涉及到這兩個方面?！?/p>

　　在解析數(shù)論中，因為素數(shù)分布的極不規(guī)則，往往要做兩部分證明，首先要證明主項是正的，然后要證明誤差項取了絕對值以后不能超過主項。

　　張益唐打了一個比方，他說2015年是愛因斯坦廣義相對論100周年，第一次世界大戰(zhàn)以后愛丁頓等物理學(xué)家去非洲與巴西通過日全食來檢測光線在引力場中的偏折。他看霍金的《時間簡史》里介紹，這個測光線偏折的物理實驗中誤差比較大。這用數(shù)論的語言來說就是余項差不多跟主項一樣大了。物理試驗有這樣大的誤差， 但在數(shù)論研究中，就要比這種物理試驗更嚴格。

張益唐做了什么研究工作

　　張益唐1992年畢業(yè)于美國普渡大學(xué)，獲得博士學(xué)位，但他并沒有進入一個好的大學(xué)取得教職，而是在江湖上流浪了8年，后來在朋友的介紹下，他才在美國一個普通大學(xué)取得了數(shù)學(xué)講師的資格。張益唐研究的其中一個學(xué)術(shù)問題通常被稱為“素數(shù)間隔”（bound gaps）。在素數(shù)中，指差為2的素數(shù)對（p和p+2同為素數(shù)）又稱為孿生素數(shù)，比如（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）等。隨著數(shù)字變大，人們可以觀察到的孿生素數(shù)越來越少。

　　再過了10多年，一直到2013年5月，在數(shù)學(xué)江湖上名不見經(jīng)傳的張益唐突然在權(quán)威學(xué)術(shù)刊物《數(shù)學(xué)年刊》發(fā)表了一篇題為 “Bounded Gaps Between Prime Numbers”（《素數(shù)間的有限間隔》）的文章。

　　在這篇文章中，他證明了孿生素數(shù)猜想的一個弱化形式：在不依賴未經(jīng)證明推論（比如黎曼猜想）的前提下，發(fā)現(xiàn)存在無窮多差小于7000萬的素數(shù)對，從而在孿生素數(shù)猜想這個此前沒有數(shù)學(xué)家能實質(zhì)推動的著名問題的道路上邁出了革命性的一大步。他的論文一經(jīng)發(fā)表，立馬引起數(shù)學(xué)界與新聞界的巨大轟動。加州大學(xué)伯克利分校數(shù)學(xué)教授愛德華·弗倫克爾稱他的證明蘊含著“文藝復(fù)興的美感”。

　　從此，張益唐突然躋身世界一流數(shù)學(xué)家的行列，而且在最近的世界數(shù)學(xué)家大會上做1小時的邀請報告。

陳景潤之后的又一個華人解析數(shù)論學(xué)家

　　中國曾經(jīng)是一個解析數(shù)論的大國。

　　30多年前的1978年，這是科學(xué)的春天。 1978年3月，中共中央、國務(wù)院在北京隆重召開了為期13天的全國科學(xué)大會。全國科學(xué)大會在人民大會堂舉行閉幕式和授獎儀式。大會閉幕前，宣讀了中國科學(xué)院院長郭沫若的書面講話《科學(xué)的春天》。在這一特定的歷史時期，徐遲的報告文學(xué)作品《哥德巴赫猜想》把數(shù)學(xué)家陳景潤塑造成為一個家喻戶曉的數(shù)學(xué)家。

　　那么，如果要問，三十多年以后，誰是華人數(shù)學(xué)家中又一個取得“陳景潤”般數(shù)學(xué)成就的解析數(shù)論學(xué)家，答案可能是唯一的，那就是“張益唐”。

來源：蝌蚪五線譜