在測量工作中一般采用中誤差作為評定精度的指標(biāo)。
誤差傳播定律：
說明觀測值中誤差與其函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律 。
間接觀測量:
在實(shí)際測量工作中，往往會(huì)碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接觀測的,
則：由直接觀測的量，通過函數(shù)關(guān)系間接計(jì)算得出的量稱為～。
例如：用水準(zhǔn)儀測量兩點(diǎn)間的高差h，通過直接觀測值后視讀數(shù)a 和前視讀數(shù)b 來求得的高差：h =a－b 。
間接觀測量的誤差：
由于直接觀測值(a、b)中都帶有誤差,因此間接觀測量——函數(shù)(h)也必然受到影響而產(chǎn)生誤差。
一、誤差傳播定律? 
設(shè)Z是獨(dú)立觀測量x1，x2，…，xn的函數(shù)，即
　　　　
式中：x1，x2，…，xn為直接觀測量，它們相應(yīng)的觀測值的中誤差分別為m1，m 2，…，mn，則觀測值的函數(shù)Z的中誤差為:
　　　　
　式中為函數(shù)Z分別對各變量 xi 的偏導(dǎo)數(shù)，并將觀測值（xi=Li）代入偏導(dǎo)數(shù)后的值，故均為常數(shù)。

求任意函數(shù)中誤差的方法和步驟如下：
列出獨(dú)立觀測量的函數(shù)式：
　　　　　　
求出真誤差關(guān)系式。對函數(shù)式進(jìn)行全微分，得
　　　　　　
求出中誤差關(guān)系式。只要把真誤差換成中誤差的平方，系數(shù)也平方，即可直接寫出中誤差關(guān)系式：
　　　　　　
表5-2 常用函數(shù)的中誤差公式
　　　　　　

二、應(yīng)用舉例
【例5-2】 在比例尺為1：500的地形圖上，量得兩點(diǎn)的長度為 d=23.4 mm，其中誤差 md=±0.2 mm，求該兩點(diǎn)的實(shí)際距離D及其中誤差 mD 。
解：函數(shù)關(guān)系式：D=M d，屬倍數(shù)函數(shù)，M=500是地形圖比例尺分母。
　　　　
兩點(diǎn)的實(shí)際距離結(jié)果可寫為：11.7 m±0.1 m。

【例5-3】水準(zhǔn)測量中，已知后視讀數(shù)a =1.734 m，前視讀數(shù)b=0.476 m，中誤差分別為ma=±0.002 m，mb=±0.003 m，試求兩點(diǎn)的高差及其中誤差。
解：函數(shù)關(guān)系式為h=a-b，屬和差函數(shù)，得
　　　
兩點(diǎn)的高差結(jié)果可寫為1.258 m±0.004 m。

【例 5-4】在斜坡上丈量距離，其斜距為L=247.50 m，中誤差mL=±0.05 m，并測得傾斜角α=10°34′，其中誤差mα=±3′，求水平距離D及其中誤差mD
解: 1）首先列出函數(shù)式
　　
2）水平距離
　　
這是一個(gè)非線性函數(shù)，所以對函數(shù)式進(jìn)行全微分， 
3）先求出各偏導(dǎo)值如下
　　
4）寫成中誤差形式：
　　
5）得結(jié)果 ： D=243.30 m±0.06 m。

【例5-5】
圖根水準(zhǔn)測量中，已知每次讀水準(zhǔn)尺的中誤差為m讀=±2 mm，假定視距平均長度為50 m，若以3倍中誤差為容許誤差，試求在測段長度為L km的水準(zhǔn)路線上，圖根水準(zhǔn)測量往返測所得高差閉合差的容許值。
解:1)每站觀測高差為：h=a-b
2)每站觀測高差的中誤差：
　　
因視距平均長度為50 m，則每公里可觀測10個(gè)測站，L公里共觀測10L個(gè)測站，L公里高差之和為：
　　
L(km)高差和的中誤差為：
　　
往返高差的較差（即高差閉合差）為：
　　
高差閉合差的中誤差為：
　　
以3倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差的容許值為：
　　
在第二章中，取 (5-3-41.4)作為閉合差的容許值是考慮了除讀數(shù)誤差以外的其它誤差的影響（如外界環(huán)境的影響、儀器的i角誤差等）。

三、注意事項(xiàng)
應(yīng)用誤差傳播定律應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：
1．要正確列出函數(shù)式
例：用長30 m的鋼尺丈量了10個(gè)尺段，若每尺段的中誤差為ml =±5 mm，求全長D及其中誤差mD。
1）函數(shù)式 D=10l=10×30=300 m
按倍數(shù)函數(shù)式求全長中誤差，將得出
　　
2）實(shí)際上全長應(yīng)是10個(gè)尺段之和，故函數(shù)式應(yīng)為
　　
用和差函數(shù)式求全長中誤差，因各段中誤差均相等，故得全長中誤差為
　　
按實(shí)際情況分析用和差公式是正確的，而用倍數(shù)公式則是錯(cuò)誤的。 
2．在函數(shù)式中各個(gè)觀測值必須相互獨(dú)立，即互不相關(guān)。
如有函數(shù)式：z=y1+2y2=1 (a)
而：y1=3x;y2=2x+2 (b)
若已知x的中誤差為mx，求Z的中誤差mz。
1）直接用公式計(jì)算,由（a）式得：
　　
由（b）式得：
　　
代入（c）式得
　　
（上面所得的結(jié)果是 錯(cuò)誤）

上面的結(jié)果為什么是錯(cuò)誤的 ？
因?yàn)閥1和y2都是x的函數(shù)，它們不是互相獨(dú)立的觀測值，因此在（a）式的基礎(chǔ)上不能應(yīng)用誤差傳播定律。
正確的做法是：先把(b)式代入(a)式，再把同類項(xiàng)合并，然后用誤差傳播定律計(jì)算。