• 張?zhí)烊兀ǖ驴怂_斯州大學(xué)奧斯汀分校理論物理博士）
  

人們常常將微觀粒子的旋轉(zhuǎn)與天體轉(zhuǎn)動(dòng)作比較，因而，有時(shí)就會(huì)想當(dāng)然地將“電子自旋”類(lèi)比于地球的自轉(zhuǎn)。實(shí)際上，量子力學(xué)中的“自旋”，是粒子的內(nèi)稟特性，與地球自轉(zhuǎn)完全不是一碼事。比如說(shuō)，地球自轉(zhuǎn)一圈，旋轉(zhuǎn)了360度回到原來(lái)的狀態(tài)，而電子呢，要轉(zhuǎn)兩圈才能返回原來(lái)的狀態(tài)。

因此，自旋空間中的旋轉(zhuǎn)只等于真實(shí)3維空間中旋轉(zhuǎn)角的一半。這是自旋為半整數(shù)的粒子，或者說(shuō)是“費(fèi)米子”的特性。自旋是微觀粒子的內(nèi)稟特性，經(jīng)典世界中并無(wú)對(duì)應(yīng)物。那么，在真實(shí)世界中是否也存在這種現(xiàn)象，旋轉(zhuǎn)360度不能恢復(fù)到原來(lái)的狀態(tài)，只有當(dāng)旋轉(zhuǎn)720度時(shí)才能恢復(fù)？

1986年，著名物理學(xué)家費(fèi)曼在一次紀(jì)念狄拉克的演講中，講到反物質(zhì)、對(duì)稱(chēng)和自旋時(shí)，為了生動(dòng)地解釋電子自旋，親自示范，模擬演示了一段水平放置的杯子在手臂上的旋轉(zhuǎn)過(guò)程，如圖1a所示。費(fèi)曼當(dāng)時(shí)以風(fēng)趣的語(yǔ)言及精彩的表演，贏得掌聲一片。

圖1：在三維空間旋轉(zhuǎn)360度，一定能夠復(fù)原嗎？

費(fèi)曼用奇妙的旋轉(zhuǎn)演示，說(shuō)明他的手臂也得轉(zhuǎn)兩圈才能返回原來(lái)的位置，正如同物理學(xué)中的自旋。費(fèi)曼的演示實(shí)驗(yàn)，實(shí)際上是來(lái)源于狄拉克提出的所謂“Dirac’s belt”“Dirac’s scissors”等等實(shí)驗(yàn)想法，見(jiàn)圖1b。

然而，這些真實(shí)空間中的旋轉(zhuǎn)演示，畢竟不同于自旋空間中的轉(zhuǎn)動(dòng)，還是讓更為強(qiáng)大的數(shù)學(xué)武器：李代數(shù)來(lái)幫助我們，才能對(duì)旋轉(zhuǎn)李群有更深的理解。

自從牛頓和萊布尼茨發(fā)明了微積分之后，數(shù)學(xué)家們就喜歡上了“無(wú)窮小”。凡事都要“萬(wàn)世不竭”地追究下去。他們將無(wú)窮小概念搬上幾何，便有了微分幾何。

現(xiàn)在，我們將這“無(wú)窮小”用到連續(xù)旋轉(zhuǎn)群上，也就是說(shuō)，考慮如何對(duì)“群”作微積分。李群這種光滑的群流形，是作無(wú)窮小實(shí)驗(yàn)的好對(duì)象，因?yàn)槔钊杭仁侨河质墙馕鰺o(wú)限可微的流形，對(duì)我們研究它而言，這一點(diǎn)帶來(lái)了復(fù)雜性，卻也有其特殊的優(yōu)越性。

李群既然是群，它作為流形一定有其與眾不同之處。群中有一個(gè)特殊的幺元，我們就從這個(gè)“幺元”開(kāi)始解剖群流形。

比如說(shuō)，上一次（參看《超越直觀：他們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)參透永恒的旋轉(zhuǎn)？》，回復(fù)“366”提取全文）討論過(guò)的旋轉(zhuǎn)李群U(1)，由復(fù)數(shù)平面上的所有旋轉(zhuǎn)G (q)=eiq構(gòu)成，因此U(1)的流形是單位圓（圖2a）。這里的G(q)代表群元素，q是連續(xù)變化的實(shí)參數(shù)。當(dāng)q等于0的時(shí)候，G=1，對(duì)應(yīng)于群的幺元。旋轉(zhuǎn)群中幺元的意思就是不旋轉(zhuǎn)。那么，如果q有別于0，但等于一個(gè)很小的數(shù)值e的話，便將對(duì)應(yīng)于一個(gè)無(wú)窮小的旋轉(zhuǎn)：

G(ε) = 1+iε， （1）

圖2：李群和李代數(shù)

無(wú)窮小總是和切空間聯(lián)系起來(lái)，這點(diǎn)并不奇怪，在微積分中就是如此。因?yàn)槲⒎直緛?lái)就是對(duì)函數(shù)值局部變化的一種線性描述。在微積分中，曲線的線性化得到過(guò)該點(diǎn)的切線，平面曲線在給定點(diǎn)的微分便對(duì)應(yīng)于該點(diǎn)切線的斜率。曲面的局部線性化，則得到過(guò)該點(diǎn)的切平面。

李群具有群結(jié)構(gòu)，所以比一般隨意變化的微分流形有更多的特色。這使得我們研究它時(shí)有了一些方便之處：比如，根據(jù)剛才U(1)群的例子，我們并不需要研究流形上每一個(gè)點(diǎn)的切空間，而只需要研究與群的“幺元”對(duì)應(yīng)的那個(gè)點(diǎn)的切空間就可以了。這個(gè)結(jié)論可以從U(1)推廣到一般李群。

更通俗地說(shuō)，李群被表示成一個(gè)曲面，李代數(shù)就是包含曲面微分性質(zhì)的幺元上的切空間，見(jiàn)圖2b所示。為什么要研究李代數(shù)？因?yàn)楸容^起李群的流形結(jié)構(gòu)而言，李代數(shù)是性質(zhì)更為簡(jiǎn)單的線性矢量空間。

剛才例子中的U(1)群表示二維旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)是一種對(duì)稱(chēng)特性，奇妙的是，數(shù)學(xué)中的對(duì)稱(chēng)與物理中的守恒定律聯(lián)系在一起。

在19世紀(jì)男性主宰的數(shù)學(xué)王國(guó)中，走出了一位杰出的女?dāng)?shù)學(xué)家——艾米·諾特。她不僅對(duì)抽象代數(shù)作出重要貢獻(xiàn)，也為物理學(xué)家們點(diǎn)燈指路，她有關(guān)對(duì)稱(chēng)和守恒的美妙定理，揭開(kāi)了自然界一片神秘的面紗。

艾米·諾特（Emmy Noether）是一位才華洋溢的德國(guó)數(shù)學(xué)家，曾經(jīng)受到外爾、希爾伯特及愛(ài)因斯坦等人的高度贊揚(yáng)。當(dāng)年的希爾伯特為了極力推薦諾特得到大學(xué)教職，曾用犀利的語(yǔ)言嘲笑那些性別歧視的學(xué)究們：“大學(xué)又不是澡堂！”

諾特對(duì)理論物理最重要的貢獻(xiàn)是她的“諾特定理”。這個(gè)定理將表示對(duì)稱(chēng)性的李群與物理學(xué)中的守恒定律聯(lián)系起來(lái)。表面上看起來(lái)，對(duì)稱(chēng)性描述的是大自然的數(shù)學(xué)幾何結(jié)構(gòu)，守恒定律說(shuō)的是某種物理量對(duì)時(shí)間變化的規(guī)律，兩者似乎不是一碼事。但是，這位數(shù)學(xué)才女卻從中悟出了兩者間深刻的內(nèi)在聯(lián)系。

考慮3維旋轉(zhuǎn)群SO(3)，三維旋轉(zhuǎn)可以通過(guò)繞空間三個(gè)獨(dú)立轉(zhuǎn)軸的2維轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。所以應(yīng)該有3種可能的類(lèi)似于二維情形公式（1）的無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)：

g = 1+iε1A1，（2）

g = 1+iε2A2，（3）

g = 1+iε3A3，（4）

圖3：三維轉(zhuǎn)動(dòng)不對(duì)易

但三維轉(zhuǎn)動(dòng)不同于二維轉(zhuǎn)動(dòng)，二維轉(zhuǎn)動(dòng)是對(duì)易的，就是說(shuō)，在二維xy平面上，先繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)20度，再轉(zhuǎn)動(dòng)50度，與先轉(zhuǎn)動(dòng)50度，再轉(zhuǎn)動(dòng)20度，兩個(gè)過(guò)程的結(jié)果是完全一樣的。三維空間中，繞不同方向軸的旋轉(zhuǎn)是不對(duì)易的。讀者從圖3中很容易驗(yàn)證這種不對(duì)易性：圖3a是將一本書(shū)先繞X軸旋轉(zhuǎn)90度，再繞Z軸旋轉(zhuǎn)90度；而圖2b所示的，是將原來(lái)同樣位置的這本書(shū)先繞Z軸旋轉(zhuǎn)90度，再繞X軸旋轉(zhuǎn)90度。這兩個(gè)過(guò)程中，兩次旋轉(zhuǎn)的前后次序不同，造成最后結(jié)果不同，進(jìn)而證明了這兩次轉(zhuǎn)動(dòng)是不可對(duì)易的。

二維旋轉(zhuǎn)對(duì)易，因此U(1)是阿貝爾群，三維空間旋轉(zhuǎn)不對(duì)易，所以SO(3) 與SU(2)不是阿貝爾群。公式（2-4）中的符號(hào)Ai便反映了這種不對(duì)易性，被稱(chēng)之為李群SO(3)（或SU(2)）的生成元。U(1)和SU(2)是物理的統(tǒng)一理論中重要的李群。

為了更清楚地解釋生成元的意義，我們首先通過(guò)幾條簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算，將SO(3)無(wú)窮小群的表達(dá)式（2-4）改寫(xiě)成生成元的表達(dá)式：

熟悉微積分的讀者會(huì)覺(jué)得這些公式有點(diǎn)眼熟，它們與微積分中導(dǎo)數(shù)的定義在形式上頗為相似。表達(dá)式中的(1)是什么呢？并不是簡(jiǎn)單的實(shí)數(shù)值1，而是李群中對(duì)應(yīng)于參數(shù)ε=0時(shí)的幺元：(1) = g(0)。所以，如此看來(lái)，生成元A似乎就相當(dāng)于在幺元處對(duì)李群流形的參數(shù)曲線作微分時(shí)切線的斜率，這也就與我們之前所述“李群上的李代數(shù)就是幺元上的切空間”一致，生成元?jiǎng)t可看作是構(gòu)成這個(gè)切空間的基矢量。旋轉(zhuǎn)群SO(3)有3個(gè)參數(shù)，切空間是3維的，因而有3個(gè)獨(dú)立的基矢量A1、A2、A3?？臻g的基矢量可以有多種方式選取，比如說(shuō)，我們可以用對(duì)群參數(shù)1階導(dǎo)數(shù)的“算符”來(lái)表示基矢量：

什么是算符？物理算符是物理學(xué)家通常用以表示某種運(yùn)算過(guò)程（或者復(fù)雜方程式）的符號(hào)，有時(shí)候可以用來(lái)做一些形式上的代數(shù)運(yùn)算而使得真正的計(jì)算簡(jiǎn)單易懂。只要不忘記這種算符表達(dá)的意義，便往往能夠使推導(dǎo)過(guò)程看起來(lái)簡(jiǎn)明扼要并且經(jīng)過(guò)最后驗(yàn)證得到正確的結(jié)果。公式（6）中所示的是大家熟悉的微分算符。微分算符通常作用在函數(shù)上，將一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)。量子力學(xué)中的微分算符作用在系統(tǒng)的量子態(tài)上，將一個(gè)量子態(tài)變成另一個(gè)量子態(tài)。

細(xì)心的讀者可能會(huì)注意到，上述有關(guān)群參數(shù)的公式中（1~6），總是寫(xiě)iε而不是ε，為什么多了一個(gè)純虛數(shù)i呢？這是為了保證公式中的生成元是厄密算符。復(fù)數(shù)和算符在量子力學(xué)中不可或缺，因?yàn)樵诹孔永碚撝校Ｗ拥能壍栏拍钍チ艘饬x，必須代之以粒子的波函數(shù)，或者系統(tǒng)的量子態(tài)，原來(lái)的經(jīng)典物理量則用相對(duì)應(yīng)的算符表示，量子算符的本征值必須為實(shí)數(shù)，才能表示量子力學(xué)中的可觀測(cè)量，厄密算符的本征值為實(shí)數(shù)，符合可觀測(cè)量的條件。

生成元算符中的約化普朗克常數(shù)（=h/2π），是量子現(xiàn)象的象征，在自然單位系統(tǒng)中，約化普朗克常數(shù)取為1（=1），普朗克常數(shù)則為（2π）。因此，量子可觀測(cè)量的算符等于經(jīng)典算符乘上一個(gè)因子（-i）。

生成元算符之間的代數(shù)關(guān)系，表明了李群的對(duì)稱(chēng)性。諾特將這種對(duì)稱(chēng)性通過(guò)系統(tǒng)的拉格朗日量與物理守恒定律聯(lián)系起來(lái)。諾特定理的意思是說(shuō)，每一個(gè)能夠保持拉格朗日量不變的連續(xù)群的生成元，都對(duì)應(yīng)一個(gè)物理中的守恒量。物理對(duì)稱(chēng)性有兩種：時(shí)空對(duì)稱(chēng)性和內(nèi)稟對(duì)稱(chēng)性。比如說(shuō)，如圖4所舉的例子，空間平移群的生成元，對(duì)應(yīng)于動(dòng)量守恒定律；時(shí)間平移群的生成元，對(duì)應(yīng)于能量守恒定律；旋轉(zhuǎn)群SO(3)的生成元，則對(duì)應(yīng)于角動(dòng)量守恒定律。

圖4：艾米·諾特和諾特定理

此外，規(guī)范不變反映了物理系統(tǒng)的內(nèi)稟對(duì)稱(chēng)性，統(tǒng)一理論標(biāo)準(zhǔn)模型中的規(guī)范對(duì)稱(chēng)，用U(1)×SU(2)×SU(3)來(lái)表示。考察一下最簡(jiǎn)單的情形：當(dāng)U(1)群用在電磁規(guī)范場(chǎng)中時(shí)，所對(duì)應(yīng)的守恒量是什么？電磁場(chǎng)規(guī)范變換φ → eiqθ(x)φ 的群元素是g= eiqθ(x)，旋轉(zhuǎn)角θ是群參數(shù)，對(duì)θ求導(dǎo)后得到生成元= q，所以，對(duì)應(yīng)于電磁規(guī)范場(chǎng)U(1)的守恒量是電荷q。根據(jù)類(lèi)似的道理和數(shù)學(xué)推導(dǎo)，同位旋空間的SU(2)規(guī)范變換對(duì)應(yīng)于同位旋守恒，夸克場(chǎng)的SU(3)則對(duì)應(yīng)于“色”荷守恒。此外，除了諾特定理最初所說(shuō)的連續(xù)對(duì)稱(chēng)性之外，在量子力學(xué)中，某些離散對(duì)稱(chēng)性也對(duì)應(yīng)守恒量，例如，對(duì)應(yīng)于空間鏡像反演的守恒量是宇稱(chēng)。

總之，現(xiàn)代物理學(xué)及統(tǒng)一場(chǎng)論中，對(duì)稱(chēng)和守恒似乎已經(jīng)成為物理學(xué)家們探索自然奧秘的強(qiáng)大秘密武器。感謝諾特這位偉大的女性，為我們揭開(kāi)了數(shù)學(xué)和物理之間這個(gè)妙不可言的神秘聯(lián)系。

參考資料：

[1]R. P. Feynman: Elementary Particles and the Laws of Physics (1986 Dirac memorial lecture) https://www./watch?v=cKzzG5DS6V8

[2]Kosmann-Schwarzbach, Yvette (2010). The Noether theorems: Invariance and conservation laws in the twentieth century. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Springer-Verlag.