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撰文 | 張?zhí)烊?/span>

責(zé)編 | 張?zhí)炱?/span>

美麗的對(duì)稱無(wú)處不在，從遍布大自然的蟲(chóng)草花鳥(niǎo)，到縹緲浩瀚的宇宙星辰，以及絢麗多彩燦爛輝煌的人類文化，處處都有對(duì)稱之美。自然界和人類社會(huì)的事物，無(wú)一不體現(xiàn)出對(duì)稱的和諧與美妙。而對(duì)稱在理論物理中也扮演著非常重要的角色。我們常說(shuō)到愛(ài)因斯坦的統(tǒng)一夢(mèng)，他要統(tǒng)一什么呢？何謂統(tǒng)一？物理理論的統(tǒng)一其實(shí)就是找到一個(gè)符合一定規(guī)律的數(shù)學(xué)框架，把所有的東西都能框在里面。物理學(xué)家熱衷于對(duì)稱性，大自然和物理理論也的確符合多種對(duì)稱性。因此，所謂的統(tǒng)一就是在理論中發(fā)掘更多的對(duì)稱性。這篇文章對(duì)現(xiàn)代物理中與對(duì)稱有關(guān)的一些概念，諸如群論、諾特定理、對(duì)稱破缺、宇宙演化中的對(duì)稱等作一簡(jiǎn)單介紹。

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對(duì)稱性，數(shù)學(xué)家怎么說(shuō)

幾何圖形的對(duì)稱不難理解，當(dāng)人們說(shuō)到“故宮是左右對(duì)稱的”，“地球是球?qū)ΨQ的”，“雪花是六角形對(duì)稱的”等等時(shí)，每個(gè)人都懂得那是什么意思。

不過(guò)，數(shù)學(xué)家有他們特殊的語(yǔ)言來(lái)描述對(duì)稱。例如，從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看待剛才的幾個(gè)例子，對(duì)稱意味著幾何圖形在某種變換下保持不變。比如說(shuō)，故宮的左右對(duì)稱意味著在鏡像反射變換下不變；球?qū)ΨQ是說(shuō)在三維旋轉(zhuǎn)變換下的不變性；雪花六角形對(duì)稱則是說(shuō)將雪花的圖形轉(zhuǎn)動(dòng)60、120、180、240、300度時(shí)圖形不變。聽(tīng)起來(lái)十分有趣，原來(lái)對(duì)稱是上帝設(shè)計(jì)世界時(shí)偷懶的花招之一：利用鏡像對(duì)稱，他只需要設(shè)計(jì)一半！利用六角形對(duì)稱，他的雪花圖案只需畫(huà)出六分之一！球?qū)ΨQ的天體就更好辦了，畫(huà)出了一個(gè)方向的景色，就讓它們?nèi)ダ@著一個(gè)固定點(diǎn)不停地轉(zhuǎn)圈！

上帝這種偷懶辦法讓人類欣賞和喜愛(ài)，譽(yù)之為對(duì)稱之美。科學(xué)家們更是感覺(jué)深?yuàn)W無(wú)比而對(duì)其探索不止。他們發(fā)明出了一套又一套的理論來(lái)描述對(duì)稱。群論，便是描述對(duì)稱的一種最好的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。例如，簡(jiǎn)單的鏡像對(duì)稱用反射群描述；雪花的對(duì)稱群叫做D6，是二面體群的一種；球?qū)ΨQ的天體，則可以用3維旋轉(zhuǎn)群SO3描述。

對(duì)稱不一定只是表現(xiàn)在物體的外表幾何形態(tài)上，也可以表現(xiàn)于某種內(nèi)在的自然規(guī)律中。許多物理定律的表述都呈對(duì)稱形式。最簡(jiǎn)單的例子，牛頓第三定律說(shuō)：作用力等于反作用力，它們大小相等、方向相反，兩者對(duì)稱。電磁學(xué)中的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，彼此關(guān)聯(lián)相互作用，變化的電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)，變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)，也是一種對(duì)稱。

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言定義對(duì)稱的優(yōu)越性之一在于容易推廣。無(wú)論是外觀幾何的對(duì)稱，還是內(nèi)在特性的對(duì)稱，都抽象成同樣的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述。例如，將對(duì)稱概念用于物理研究中的情形，一般被表述為：如果某種變換能夠保持系統(tǒng)的拉格朗日量不變，從而保持物理規(guī)律不變的話，就說(shuō)系統(tǒng)對(duì)此變換是對(duì)稱的。

物理規(guī)律應(yīng)該在變換中保持不變，這應(yīng)該是顯而易見(jiàn)的。試想，如果今天的某個(gè)定律明天就不適用了，或者是萬(wàn)有引力定律在紐約適用，搬到上海就不對(duì)了，那還叫做自然規(guī)律嗎？研究它有意義嗎？當(dāng)然不應(yīng)該是這樣的。

剛才舉的例子中，今天到明天、紐約到上海，這兩個(gè)概念都稱之為數(shù)學(xué)變換。前者叫時(shí)間平移變換，后者叫空間平移變換。除了平移變換之外，還有許多別的種類的變換，這些變換之間有些什么樣的關(guān)系呢？

物以類聚，人以群分。各種變換也可以用數(shù)學(xué)上的“群”來(lái)加以分類。所以，變換用以描述對(duì)稱，群描述變換，群和對(duì)稱，便如此關(guān)聯(lián)起來(lái)了。

此文不深究“群” 在數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格定義，只是簡(jiǎn)單地用一句話來(lái)概括：群就是一組元素的集合，在集合中每?jī)蓚€(gè)元素之間，定義了符合一定規(guī)則的某種乘法運(yùn)算規(guī)則。這兒所說(shuō)的“乘法”是廣義的，并不限于通常意義上的乘法。實(shí)際上，群論中的“乘法”，只是兩個(gè)群元之間的某種“操作”而已。這種“乘法” “操作”不一定可交換（或稱對(duì)易），乘法可對(duì)易的“群”叫做“阿貝爾群”，不對(duì)易的“群”叫做“非阿貝爾群”。

群中的元素滿足群的4個(gè)基本要求，可將它們簡(jiǎn)稱為“群4點(diǎn)”。

歐拉最早有了群的模糊概念，但“群”這個(gè)名詞以及基本設(shè)想，是法國(guó)數(shù)學(xué)家，少年天才伽羅瓦提出的。伽羅瓦生活坎坷且無(wú)端卷入一場(chǎng)糾紛，最后在決斗中飲彈身亡。他短短20年生命所作的最重要工作就是開(kāi)創(chuàng)建立了“群論”這個(gè)無(wú)比重要的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

群的概念不限于“有限”，其中的“乘法”含義也很廣泛，只需要滿足群4點(diǎn)即可。

如果你還沒(méi)有明白什么是“群”的話，那就再說(shuō)得通俗一點(diǎn)：“群”就是那么一群東西，我們?yōu)樗鼈儍蓛芍g規(guī)定一種“作用”。兩兩作用的結(jié)果還是屬于這群東西；其中有一個(gè)特別的東西，與任何其它東西作用都不起作用；此外，每樣?xùn)|西都有另一個(gè)東西和它抵消；最后，如果好幾個(gè)東西接連作用，只要這些東西的相互位置不變，結(jié)果與作用的順序無(wú)關(guān)。

群的例子包括離散群、連續(xù)群、有限群、無(wú)限群、阿貝爾群、非阿貝爾群……。

空間中的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成群，是物理中非常重要的一類群。物理學(xué)與各種旋轉(zhuǎn)結(jié)下不解之緣，從力學(xué)中研究的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，到量子理論中的粒子自旋。地球繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)，月亮繞地球轉(zhuǎn)，滾珠在軸承滾道中轉(zhuǎn)，電子繞原子核轉(zhuǎn)，宇宙中的星云，我們居住的地球，太陽(yáng)系和銀河系，這些天體都處于永恒而持久的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中。每一層次的實(shí)驗(yàn)和理論中似乎都少不了旋轉(zhuǎn)。物理中的旋轉(zhuǎn)除了在真實(shí)時(shí)空中的旋轉(zhuǎn)之外，還有一大部分是在假想的、抽象的空間中的旋轉(zhuǎn)，比如動(dòng)量空間，希爾伯特空間，自旋空間、同位旋空間等。

旋轉(zhuǎn)群有離散的和連續(xù)的之分。理論物理，特別是統(tǒng)一理論中所感興趣的連續(xù)旋轉(zhuǎn)群有SO(3)、SO(2)、U(1)、SU(2)、SU(3)等等[1]。

可以用矩陣的語(yǔ)言解釋上面一串旋轉(zhuǎn)群的符號(hào)：每個(gè)符號(hào)括號(hào)中的數(shù)目字（3、2、1）等是表示旋轉(zhuǎn)的矩陣空間的維數(shù)；大寫(xiě)字母O（Orthogonal）代表正交矩陣；U（Unitary）代表酉矩陣；S（Special）是特殊的意思，表示矩陣的行列式為1。

比如，舉三維空間的旋轉(zhuǎn)群O(3)為例。這兒3是指旋轉(zhuǎn)空間的維數(shù)，O對(duì)應(yīng)于保持長(zhǎng)度和角度不變的正交變換矩陣。具體一點(diǎn)說(shuō)，O(3)可以由一個(gè)3X3=9個(gè)實(shí)數(shù)組成的正交矩陣來(lái)表示。一般來(lái)說(shuō)，正交矩陣O(3)的行列式可為1或-1。當(dāng)行列式為-1時(shí)，正交矩陣表示的變換是旋轉(zhuǎn)再加反演，這兒的負(fù)號(hào)便來(lái)自反演。將O(3)旋轉(zhuǎn)群的行列式限制為1，指的便是特殊旋轉(zhuǎn)群，記為SO(3)。所以，SO(3)表示的是3維空間中無(wú)反演的純粹旋轉(zhuǎn)。

圖2：U(1)群和SO(2)群

物理學(xué)中的量子理論與復(fù)數(shù)關(guān)聯(lián)密切，因此量子論中將正交群的概念從實(shí)數(shù)擴(kuò)展到復(fù)數(shù)，正交群O(n)便擴(kuò)展成為元素為復(fù)數(shù)的酉群U(n)。行列式限制為實(shí)數(shù)1的酉群被稱為特殊酉群，記為SU(n)。舉例之：U(1)是1維復(fù)數(shù)空間的旋轉(zhuǎn)群；SU(2)和SU(3)分別是2維和3維復(fù)數(shù)空間的特殊旋轉(zhuǎn)群。

一個(gè)復(fù)數(shù)由兩個(gè)實(shí)數(shù)組成，可以表示成二維實(shí)數(shù)空間中的一個(gè)點(diǎn)。U(1)群的元素包括模為1的所有復(fù)數(shù)，可以表示為：u= eif。盡管復(fù)數(shù)u的模為1，但幅角f還可以任意變化，所以U(1)是由復(fù)數(shù)平面上所有長(zhǎng)度為1的矢量繞著原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)形成的單位圓構(gòu)成的。

所以， U(1) 與SO(2)同構(gòu)，SU(2)和SU(3)也有相關(guān)的實(shí)數(shù)群，不過(guò)關(guān)系比較復(fù)雜。例如， SU(2)與SO(3) 兩個(gè)群不是同構(gòu)的，它們之間存在的是2：1的同態(tài)關(guān)系。

圖3：SU(2) 群和SO(3)群

1986年，費(fèi)曼在一次演講中生動(dòng)地解釋與SU(2)相對(duì)應(yīng)的電子自旋，他身體力行，模擬演示了一段水平放置的杯子在手臂上的旋轉(zhuǎn)過(guò)程，如圖4所示。費(fèi)曼當(dāng)時(shí)以風(fēng)趣的語(yǔ)言及精彩的表演，贏來(lái)掌聲一片。

圖4：費(fèi)曼演示：在三維空間旋轉(zhuǎn)360度，不能復(fù)原！

量子物理中，電子的自旋不是一個(gè)矢量，物理學(xué)家們以“旋量”來(lái)稱呼它。當(dāng)3維空間中旋轉(zhuǎn)360度時(shí)，自旋群SU(2)中的元素只旋轉(zhuǎn)180度，與繆比烏斯帶的拓?fù)湫再|(zhì)有類似之處。有趣的是，在真實(shí)世界中也存在這種現(xiàn)象，旋轉(zhuǎn)360度不一定能恢復(fù)原來(lái)的狀態(tài)！狄拉克最早設(shè)計(jì)了一個(gè)剪刀實(shí)驗(yàn)（圖5），由費(fèi)曼奇妙的旋轉(zhuǎn)演示表明的，便是這種情形。楊振寧先生研究的非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)，也是相關(guān)于SU(2)群的對(duì)稱性。

目前物理學(xué)中擔(dān)任統(tǒng)一角色的“標(biāo)準(zhǔn)模型”，便是將所有61種基本粒子及3類相互作用，統(tǒng)一在規(guī)范群SU(3)×SU(2)×U(1)的框架中。由此可見(jiàn)對(duì)稱及群論于物理學(xué)的重要意義。

女科學(xué)家揭開(kāi)守恒定律奧秘

除了貢獻(xiàn)于統(tǒng)一理論之外，對(duì)稱在物理中有更為廣泛更為深刻的內(nèi)在意義。揭示這點(diǎn)的是一位杰出的德國(guó)女?dāng)?shù)學(xué)家：艾米·諾特。她不僅對(duì)抽象代數(shù)作出重要貢獻(xiàn)，也為物理學(xué)家們點(diǎn)燈指路，她有關(guān)對(duì)稱和守恒的美妙定理，揭開(kāi)了大自然規(guī)律中一片神秘的面紗。

艾米·諾特（Emmy Noether ，1882-1935）有猶太血統(tǒng)。她數(shù)學(xué)功力深厚、科研才華洋溢，曾經(jīng)受到外爾、希爾伯特、及愛(ài)因斯坦等人的高度贊揚(yáng)。當(dāng)年的希爾伯特為了極力推薦諾特得到大學(xué)教職，曾用犀利的語(yǔ)言嘲笑那些性別歧視的學(xué)究們說(shuō)：“大學(xué)又不是澡堂！”

諾特對(duì)理論物理最重要的貢獻(xiàn)是她的“諾特定理”[2]。這個(gè)定理將對(duì)稱性與物理學(xué)中的守恒定律聯(lián)系起來(lái)。表面上看起來(lái)，對(duì)稱性描述的是大自然的數(shù)學(xué)幾何結(jié)構(gòu)，守恒定律說(shuō)的是某種物理量的變化規(guī)律，兩者似乎不是一碼事。但是，這位數(shù)學(xué)才女卻從中悟出了兩者間深刻的內(nèi)在聯(lián)系。

諾特定理是理論物理的中心結(jié)果之一，它表達(dá)了每個(gè)連續(xù)可微對(duì)稱性，都存在一個(gè)對(duì)應(yīng)的守恒流，有著相應(yīng)的守恒定律。這個(gè)定理對(duì)于所有基于作用量原理的物理定律是成立的，特別是和量子力學(xué)深刻相關(guān)，因?yàn)樗鼉H用經(jīng)典力學(xué)的原理就可以認(rèn)出和海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理相關(guān)的物理量，如位置與動(dòng)量，時(shí)間與能量。

應(yīng)用諾特定理，可以幫助物理學(xué)家在一般理論中通過(guò)分析各種使得所涉及的定律的形式保持不變的變換而獲得深刻的洞察力。例如：

首先，在經(jīng)典理論中，物理系統(tǒng)對(duì)于空間平移不變的對(duì)稱性，給出了動(dòng)量守恒律；對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)的不變性給出了角動(dòng)量守恒律；對(duì)于時(shí)間平移的不變性給出了能量守恒定律。

在量子場(chǎng)論中，諾特定理被推廣而成沃德-高橋恒等式，它由理論的全域或規(guī)范對(duì)稱性來(lái)聯(lián)系不同的關(guān)聯(lián)方程，產(chǎn)生出更多的守恒定律，例如從電勢(shì)的規(guī)范不變性得出電荷守恒。

諾特是女科學(xué)家中的佼佼者，她的父親當(dāng)年是一位頗有名氣的數(shù)學(xué)教授。但盡管如此，在男性主導(dǎo)的學(xué)術(shù)界中，諾特的求學(xué)及科研之路一直充滿了坎坷。諾特于1907年獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位，1918年證明了“諾特定理”。即便是這個(gè)當(dāng)年被多位數(shù)學(xué)大師們都認(rèn)可的重要成果，也是由數(shù)學(xué)家克萊因在皇家科學(xué)院的會(huì)議上代她作的報(bào)告，因?yàn)橹Z特是女性，沒(méi)有資格在這個(gè)會(huì)議上發(fā)言！之后，在赫爾曼·外爾等的幫助下，她1922年到哥廷根大學(xué)執(zhí)教，但卻再次因?yàn)槭桥缘木壒什荒芄饷髡蟮啬眯劫Y。1933年二戰(zhàn)期間，由于她的猶太血統(tǒng)，被德國(guó)納粹驅(qū)逐出境，流亡到了相對(duì)而言更為開(kāi)放的美國(guó)，在賓夕法尼亞州的布林莫爾學(xué)院得到一個(gè)教職。

當(dāng)年的諾特對(duì)美國(guó)的生活方式充滿了好奇，新環(huán)境下她活力四射熱情洋溢。但不幸的是，她還沒(méi)來(lái)得及充分利用這優(yōu)越的學(xué)術(shù)氛圍做出更多成果便因病早逝了。在1935年的春假期間，諾特做了一個(gè)腹部的常規(guī)手術(shù)并患上了并發(fā)癥，幾天內(nèi)就去世，結(jié)束了她短暫而快樂(lè)的美國(guó)之旅，終年53歲。

愛(ài)因斯坦給《紐約時(shí)報(bào)》的悼詞中稱贊艾米·諾特是“自女性開(kāi)始接受高等教育以來(lái)，迄今為止誕生的最具創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)天才。”，由愛(ài)因斯坦之言，可見(jiàn)“諾特定理”在理論物理界的重要性。

對(duì)稱性在數(shù)學(xué)上表示某種不可分辨性，因此也意味著物理上某個(gè)力學(xué)量不因測(cè)量而改變。這樣就很自然地將對(duì)稱與守恒聯(lián)系起來(lái)，而諾特定理，則為這種聯(lián)系奠定了理論基礎(chǔ)。

諾特定理的證明不易理解，圖7給出一個(gè)簡(jiǎn)單推導(dǎo)的思路。

諾特定理在宇宙暴脹論、廣義相對(duì)論和量子力學(xué)、弦理論和萬(wàn)有理論中都發(fā)揮了基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)物理學(xué)的價(jià)值，每一個(gè)物理的對(duì)稱性都包含了一個(gè)守恒量，反之亦然。它構(gòu)成了粒子物理中標(biāo)準(zhǔn)模型的基礎(chǔ)，并使物理學(xué)中的守恒定律超越了經(jīng)驗(yàn)規(guī)則，被賦予了更深層次的理論意義。

總之，現(xiàn)代物理學(xué)及統(tǒng)一場(chǎng)論中，對(duì)稱和守恒似乎已經(jīng)成為物理學(xué)家們探索自然奧秘的強(qiáng)大秘密武器。感謝諾特這位偉大的女性，為我們揭開(kāi)了數(shù)學(xué)和物理之間這個(gè)妙不可言的神秘聯(lián)系。

“非對(duì)稱創(chuàng)造了世界”

現(xiàn)代物理學(xué)之奇妙之處，不僅僅體現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)了對(duì)稱，還體現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)了“對(duì)稱破缺”。

不是說(shuō)對(duì)稱之美嗎，為何又要“破缺”呢？其實(shí)，有對(duì)稱又有不對(duì)稱還加破缺，方為真美大美！你想想看，如果大千世界中處處都是標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)稱：太陽(yáng)和月亮像是圓規(guī)畫(huà)出來(lái)的；高低不一蜿蜒連綿的群山變成了一個(gè)個(gè)等腰三角形；每個(gè)人的臉部都嚴(yán)格地左右對(duì)稱……如此的世界不是顯得太單調(diào)了毫無(wú)情趣可言嗎？當(dāng)然也談不上能產(chǎn)生多少美感了。仔細(xì)觀察我們周圍實(shí)際的世界：人和動(dòng)物的左臉并不完全等同于右臉；大多數(shù)人的心臟長(zhǎng)在左邊，大多數(shù)的DNA分子是右旋的；地球并不是一個(gè)完全規(guī)則的球形，等等，存在許多不對(duì)稱的事實(shí)。而正是因?yàn)閷?duì)稱中有了這些不對(duì)稱的元素，對(duì)稱與不對(duì)稱的和諧交匯，才創(chuàng)造了看起來(lái)如此美麗的世界。

本文中我們僅從物理學(xué)中的“對(duì)稱破缺”這個(gè)術(shù)語(yǔ)，來(lái)探索一下產(chǎn)生不對(duì)稱的深層原因。

大自然這個(gè)“上帝”是很聰明的，它在創(chuàng)立物理定律時(shí)比較注意不偏不倚，否則叫人類如何去認(rèn)識(shí)自然規(guī)律呢？但上帝并不是將人類當(dāng)成左右不分的癡呆者，自然規(guī)律要簡(jiǎn)單，世間萬(wàn)物卻需要五彩繽紛。在創(chuàng)造世界萬(wàn)物的時(shí)候，上帝更是充分發(fā)揮他的創(chuàng)造力和想象力，否則，“萬(wàn)物之靈”的生命就不會(huì)產(chǎn)生了。

圖8：對(duì)稱性的不同等級(jí)

首先不妨深究一下對(duì)稱的種類，各種對(duì)稱有等級(jí)嗎？對(duì)稱確有不同的等級(jí)，例如，就幾何圖像而言，具有某種變換下的對(duì)稱，但對(duì)另一種變換便可能不對(duì)稱。即使是同一類型的對(duì)稱，也有對(duì)稱程度的高低之分。比如，一個(gè)正三角形，和一個(gè)等腰三角形比較，正三角形應(yīng)該更為對(duì)稱一些，如圖8a。再舉旋轉(zhuǎn)群為例：一個(gè)球面是三維旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的，在SO(3)群作用下不變，而橢球面只能看作是在二維旋轉(zhuǎn)群SO(2)的作用下不變了。用不很嚴(yán)格地說(shuō)法，SO(2)是SO(3)的子群，因此，球面比橢球面具有更多的對(duì)稱性，見(jiàn)圖8b。

現(xiàn)在我們便可以定義“對(duì)稱破缺”了：如果從對(duì)稱性的高低等級(jí)來(lái)定義的話，系統(tǒng)從對(duì)稱性高的狀態(tài)，演化到對(duì)稱性更低的狀態(tài)，便是“對(duì)稱破缺”，反之則可稱為“對(duì)稱建立”。例如，當(dāng)正三角形變形為等腰三角形，或者當(dāng)球面變成橢球面，我們便說(shuō)“對(duì)稱破缺了”。從群的觀點(diǎn)來(lái)看，SO(3)是3階的，SO(2)只是1階對(duì)稱，所以，從球面到橢球面， 2個(gè)對(duì)稱性被破缺了。仿照上面的例子，物理學(xué)家們便從群論的觀點(diǎn)來(lái)研究對(duì)稱破缺。

例如，物質(zhì)的相變也是一種對(duì)稱破缺（或提升）。物質(zhì)三態(tài)中，液態(tài)比晶體固態(tài)具有更高的對(duì)稱性。液態(tài)分子處于完全無(wú)序的狀態(tài)，處處均勻，各向同性，凝固成固態(tài)后，分子有次序地排列起來(lái)，形成整齊漂亮的晶格結(jié)構(gòu)。因此，從液態(tài)到固態(tài)，有序程度增加了，而對(duì)稱性卻降低了，破缺了。

“對(duì)稱性的破缺”可以分為兩大類：明顯對(duì)稱破缺和自發(fā)對(duì)稱破缺。

明顯的對(duì)稱破缺：系統(tǒng)的拉格朗日量明顯違反某種對(duì)稱性，因而造成物理定律不具備這種對(duì)稱性。弱相互作用的宇稱不守恒，便是屬于這一類。

 圖9：自然界的明顯對(duì)稱破缺和自發(fā)對(duì)稱破缺

自發(fā)對(duì)稱破缺又是什么意思呢？它指的是物理系統(tǒng)的拉格朗日量具有某種對(duì)稱性，但物理系統(tǒng)本身卻并不表現(xiàn)出這種對(duì)稱性。換言之，物理定律仍然是對(duì)稱的，但物理系統(tǒng)實(shí)際上所處的某個(gè)狀態(tài)并不對(duì)稱。圖9中舉了幾個(gè)日常生活中的例子來(lái)說(shuō)明對(duì)稱性的“破缺”。

圖9a中所示是一個(gè)在山坡上的石頭，山坡造成重力勢(shì)能的不對(duì)稱性，使得石頭往右邊滾動(dòng)，這是一種明顯對(duì)稱性破缺。在圖9b的情況，一支鉛筆豎立在桌子上，它所受的力是四面八方都對(duì)稱的，它往任何一個(gè)方向倒下的幾率都相等。但是，鉛筆最終只會(huì)倒向一個(gè)方向，這就破壞了它原有的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。這種破壞不是由于物理規(guī)律或周圍環(huán)境的不對(duì)稱造成的，而是鉛筆自身不穩(wěn)定因素誘發(fā)的，所以叫自發(fā)對(duì)稱破缺。圖9c的水滴結(jié)晶成某個(gè)雪花圖案的過(guò)程也屬于自發(fā)對(duì)稱性破缺。

最早從物理學(xué)的角度來(lái)探索非對(duì)稱性和對(duì)稱破缺的，是法國(guó)物理學(xué)家皮埃爾·居里（Curie，著名居里夫人的丈夫）。皮埃爾說(shuō)：'非對(duì)稱創(chuàng)造了世界” 。后來(lái)，皮埃爾發(fā)現(xiàn)了物質(zhì)的居里點(diǎn)，當(dāng)溫度降低到居里點(diǎn)以下，物質(zhì)表現(xiàn)出自發(fā)對(duì)稱破缺。例如，順磁體到鐵磁體的轉(zhuǎn)變屬于這種對(duì)稱破缺。在居里溫度以上，磁體的磁性隨著磁場(chǎng)的有無(wú)而有無(wú)，即表現(xiàn)為順磁性。外磁場(chǎng)消失后，順磁體恢復(fù)到各向同性，是沒(méi)有磁性的，因而具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。當(dāng)溫度從居里點(diǎn)降低，磁體成為鐵磁體而有可能恢復(fù)磁性。如果這時(shí)仍然沒(méi)有外界磁場(chǎng)，鐵磁體會(huì)隨機(jī)地選擇某一個(gè)特定的方向?yàn)樽詈蟠呕姆较?。因此，物體在該方向表現(xiàn)出磁性，使得旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性不再保持。換言之，順磁體轉(zhuǎn)變?yōu)殍F磁體的相變，表現(xiàn)為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的自發(fā)破缺。

如今看起來(lái)，自發(fā)對(duì)稱破缺的道理不難理解，但當(dāng)初卻曾經(jīng)困惑物理學(xué)家多年。自發(fā)對(duì)稱破缺就是說(shuō)，自然規(guī)律具有某種對(duì)稱性，但服從這個(gè)規(guī)律的現(xiàn)實(shí)情形卻不具有這種對(duì)稱性，因而在實(shí)驗(yàn)中沒(méi)有觀察到這種對(duì)稱性，理論似乎與實(shí)驗(yàn)不符合。如用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，就是系統(tǒng)的方程具有某種對(duì)稱性，但方程的某一個(gè)解不一定要具有這種對(duì)稱性。一切現(xiàn)實(shí)情況下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，是系統(tǒng)“自發(fā)對(duì)稱破缺”后的某種特別情形。它們只能表現(xiàn)方程的某一個(gè)解，反映的只是物理規(guī)律的一小部分側(cè)面。

繼皮埃爾·居里之后，前蘇聯(lián)物理學(xué)家朗道和金斯堡用對(duì)稱自發(fā)破缺來(lái)解釋超導(dǎo)。美國(guó)物理學(xué)家安德森擴(kuò)展了他們的工作。后來(lái)，日裔美國(guó)物理學(xué)家南部陽(yáng)一郎（1921年 -）首先將“對(duì)稱破缺”這一概念從凝聚態(tài)物理引進(jìn)到粒子物理學(xué)中[3]。南部為此和另外兩位日本物理學(xué)家，分享了2008年的諾貝爾物理獎(jiǎng)。

凝聚態(tài)物理和粒子物理，初看似乎是兩個(gè)風(fēng)馬牛不相干的兩個(gè)領(lǐng)域，在研究時(shí)所涉及的能量級(jí)別上也相差幾百億倍，但它們?cè)诒举|(zhì)上卻有一個(gè)共同之處：研究的都是維數(shù)巨大的系統(tǒng)，這是自發(fā)對(duì)稱破缺發(fā)生的必要條件。

自發(fā)對(duì)稱破缺的原因，是因?yàn)榱孔討B(tài)的簡(jiǎn)并。我們也可以從上面所說(shuō)的經(jīng)典例子來(lái)理解這點(diǎn)。比如說(shuō)圖9b所示的鉛筆，上圖中的鉛筆的平衡位置，是一個(gè)能量較高的不穩(wěn)定狀態(tài)，倒下去之后躺在桌子上的狀態(tài)能量最低，可以看作是某種穩(wěn)定的“基態(tài)”。因?yàn)殂U筆可以向任何一個(gè)方向倒下，因而基態(tài)不止一個(gè)，而是有無(wú)窮多個(gè)。也就是說(shuō)，鉛筆的“基態(tài)”是“簡(jiǎn)并”的，無(wú)限多的。就“基態(tài)”的整體而言，是和物理規(guī)律一樣具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，但是鉛筆往一邊倒下后，便只能處于一個(gè)具體的“基態(tài)”，那時(shí)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性就破缺了。

對(duì)稱破缺，解釋宇宙起源的秘密

世界為什么是現(xiàn)在這個(gè)樣子，而不是別的狀態(tài)？從物理學(xué)的角度思考這個(gè)問(wèn)題，帶給我們很多疑問(wèn)，但如上所述的對(duì)稱理論可以給我們部分解釋。

比如說(shuō)，宇宙的早期，沒(méi)有星球，沒(méi)有原子、分子、電子，整個(gè)世界是混沌的一團(tuán)，現(xiàn)有的四種相互作用力也表現(xiàn)為一種統(tǒng)一的形式。也就是說(shuō)，在大爆炸后的極早期，宇宙是完全對(duì)稱的，作用力是統(tǒng)一的，之后為什么會(huì)分裂成4種不同的相互作用呢？

這是因?yàn)樽园l(fā)對(duì)稱破缺在宇宙演化中扮演了一個(gè)重要的角色。

對(duì)稱破缺是我們現(xiàn)在的宇宙起源和存在的原因。時(shí)間和空間、天體、物質(zhì)、生命、大自然，世界上的一切，都是對(duì)稱破缺的產(chǎn)物。

如圖10所示，大爆炸發(fā)生之后，隨著溫度下降，對(duì)稱破缺，引力作用首先分離出來(lái)，然后是強(qiáng)作用力的分化，剩下了弱電統(tǒng)一，當(dāng)宇宙繼續(xù)變冷，弱電統(tǒng)一也開(kāi)始破缺，形成現(xiàn)在我們熟知的四種力。再后來(lái)，宇宙開(kāi)始了大范圍的變化，由于對(duì)稱性自發(fā)破缺形成了各種基本粒子，基本粒子又由于各種力的相互作用而結(jié)合成更為復(fù)雜的原子、分子、星球、星系等，直到產(chǎn)生生命，最終完成了現(xiàn)在所觀察到的宇宙圖景。

可以舉希格斯機(jī)制賦予粒子質(zhì)量為例。場(chǎng)的真空態(tài)是能量最低的狀態(tài)。但是一般來(lái)說(shuō)，能量最低的狀態(tài)對(duì)應(yīng)于場(chǎng)強(qiáng)為0。如果場(chǎng)的勢(shì)能曲線比較特別，比如通常經(jīng)常使用的所謂“墨西哥帽子”的形狀（圖11c）。這時(shí)，能量最低的狀態(tài)是無(wú)限簡(jiǎn)并的，即墨西哥帽向下凹的一圈。這一圈的能量最低，但場(chǎng)強(qiáng)卻不為0。希格斯場(chǎng)的真空態(tài)，便可以由這種勢(shì)能曲線描述的系統(tǒng)，產(chǎn)生“自發(fā)對(duì)稱破缺”而得到。因此，真空中存在著場(chǎng)強(qiáng)非零的、穩(wěn)定的希格斯場(chǎng)。這種場(chǎng)無(wú)處不在，無(wú)孔不入，質(zhì)量為零的各種基本粒子身陷其中，與希格斯場(chǎng)相互作用，并且獲得它應(yīng)該具有的質(zhì)量。

從現(xiàn)代場(chǎng)論的觀點(diǎn)，場(chǎng)的激發(fā)態(tài)便表現(xiàn)為粒子。希格斯場(chǎng)的真空態(tài)有4種激發(fā)模式（圖11c的左上圖），其中沿著勢(shì)能曲線對(duì)稱軸繞圈的相位變化模式有3種，對(duì)應(yīng)于3種質(zhì)量為0的Goldstone粒子，這些粒子在與其它粒子反應(yīng)時(shí)消失不見(jiàn)，叫做被“吃”掉了，只有一種沿著勢(shì)能曲線“徑向”振動(dòng)的激發(fā)模式對(duì)應(yīng)于有質(zhì)量的場(chǎng)粒子，也就是被大家稱之為“上帝粒子”的希格斯粒子。

圖11：質(zhì)量來(lái)源于真空自發(fā)對(duì)稱破缺

綜上所述，希格斯粒子解決了質(zhì)量的問(wèn)題，物理學(xué)家們得以在楊-米爾斯規(guī)范場(chǎng)的基礎(chǔ)上建立理論，將除了引力之外的其它三種力，統(tǒng)一在同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型中。標(biāo)準(zhǔn)模型包括了61種基本粒子，而希格斯粒子是這些粒子中，最后一個(gè)被“發(fā)現(xiàn)”的。這是驗(yàn)證標(biāo)準(zhǔn)模型的一個(gè)重要里程碑。

宇宙中正物質(zhì)和反物質(zhì)的數(shù)量比例是另一個(gè)使物理學(xué)家們困惑的問(wèn)題。

狄拉克將正電子的假設(shè)帶進(jìn)了物理學(xué)，安德森1932年證實(shí)了正電子的存在，1955 年，賽格雷和張伯倫發(fā)現(xiàn)了反質(zhì)子；第二年， 美國(guó)物理學(xué)家考克發(fā)現(xiàn)了反中子。反粒子的發(fā)現(xiàn)使人們對(duì)物質(zhì)世界的思考多了一個(gè)方向：反世界。狄拉克曾經(jīng)猜測(cè)，宇宙中完全有可能存在由反物質(zhì)組成的星球。但是人們從來(lái)沒(méi)有在實(shí)驗(yàn)室及天文觀測(cè)中發(fā)現(xiàn)反世界的跡象。

如果說(shuō)創(chuàng)世之初，當(dāng)宇宙開(kāi)始的時(shí)刻，一切都是對(duì)稱的、中性的話，后來(lái)也應(yīng)該產(chǎn)生等量的物質(zhì)和反物質(zhì)。但是，我們放眼望去，一直望到我們能夠看到的整個(gè)宇宙，也只是看見(jiàn)與我們的世界相類似的“正物質(zhì)”組成的天體。為什么大爆炸后形成的世界中只有這些正物質(zhì)而沒(méi)有反物質(zhì)呢？成對(duì)產(chǎn)生的另一種反粒子到哪兒去了？我們當(dāng)然并不歡迎它們回來(lái)，因?yàn)槟菢訒?huì)與我們的世界“湮滅”而毀滅一切。但是，好奇心使科學(xué)家們一直思考這個(gè)問(wèn)題。物理學(xué)家認(rèn)為這也是由自發(fā)對(duì)稱破缺造成的，最后，2008年諾貝爾物理獎(jiǎng)得主中的兩位日本物理學(xué)家小林誠(chéng)和益川敏英在這個(gè)方向上邁出了第一步。

1973年，29歲的小林誠(chéng)和33歲的益川敏英提出了“小林－益川理論”，解釋宇宙演化過(guò)程中粒子多于反粒子的原因[4]。他們研究了弱相互作用中CP對(duì)稱性的破壞，認(rèn)為粒子和反粒子之間除了電荷符號(hào)不同之外，還有一些微小的差異，這個(gè)微小差異引起CP自發(fā)對(duì)稱破缺，從而使得正粒子和反粒子衰變反應(yīng)的速率不同，之后造成正粒子數(shù)目大大多于反粒子。根據(jù)他們的理論，應(yīng)該存在6種夸克，這種對(duì)稱破缺機(jī)制才能起作用，而當(dāng)時(shí)只發(fā)現(xiàn)了3種夸克，被預(yù)言的另外3種夸克分別在1974、1977、1995年被發(fā)現(xiàn)。

圖11：2008年諾貝爾物理獎(jiǎng)得主

此外，在2001年和2004年，美國(guó)斯坦福實(shí)驗(yàn)室和日本高能加速器分別獨(dú)立地實(shí)現(xiàn)了小林－益川理論所描述的自發(fā)對(duì)稱破缺機(jī)制，這些極為引人注目的實(shí)驗(yàn)證據(jù)讓他們和南部陽(yáng)一郎一起，獲得了2008年的諾貝爾物理獎(jiǎng)。

對(duì)稱和對(duì)稱破缺的概念，像一劑又一劑的靈丹妙藥，物理研究中的很多疑問(wèn)都可用它們來(lái)解釋。欲了解更多物理中的統(tǒng)一理論與對(duì)稱的關(guān)系，請(qǐng)參考其它參考文獻(xiàn)[5，6]。

作者張?zhí)烊?，系理論物理學(xué)博士，職業(yè)科普作家。