《奇妙的素?cái)?shù)》【456】

    班明峰//

1966年由中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)利用篩法所取得的。他證明了：存在

無窮多個(gè)素?cái)?shù)p，使得p+2要么是素?cái)?shù)，要么是兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積。

這個(gè)結(jié)果的形式與他關(guān)于哥德巴赫猜想的結(jié)果很類似。目前一般

認(rèn)為，由于篩法本身的局限性，這一結(jié)果在篩法范圍內(nèi)很難被超

越。2005年，戈德斯坦等人提出一個(gè)重要猜想：存在無窮多間隔

小于16的素?cái)?shù)對(duì)。假設(shè)關(guān)于算術(shù)級(jí)數(shù)素?cái)?shù)分布的埃利奧特-哈伯

斯塔姆猜想成立，這一弱孿生素?cái)?shù)猜想就可以證明了。這算是一

項(xiàng)具有里程碑意義的成果，但可能存在邏輯推論上的瑕疵破綻

他們提出的弱孿生素?cái)?shù)猜想迄今尚未得到證明。

在張益唐論文被公布于眾后，短短的一個(gè)月以內(nèi)，“7000萬”就

被華裔數(shù)學(xué)家、菲爾茨獎(jiǎng)得主陶哲軒發(fā)起的網(wǎng)上討論班縮小到6

萬；在7月底前，數(shù)字已經(jīng)縮小到了5000以下。陶哲軒和英國(guó)數(shù)

學(xué)家本·格林在2004年證明了一個(gè)與孿生素?cái)?shù)猜想有關(guān)的重要命

題——存在任意長(zhǎng)的素?cái)?shù)等差數(shù)列；這是一項(xiàng)偉大的成就。

由于孿生素?cái)?shù)猜想與哥德巴赫猜想屬于“姐妹”問題，一些數(shù)學(xué)

家希望通過解決前者，進(jìn)而攻克后者。由于孿生素?cái)?shù)的分布極不

均勻，并且隨著數(shù)的增大變得越來越稀疏，研究孿生素?cái)?shù)分布模

式的難度也就非常之大。

孿生素?cái)?shù)研究的最新進(jìn)展

　　加拿大蒙特利爾大學(xué)26歲的博士后詹姆斯·梅納德最近宣稱

：他已將無窮多個(gè)素?cái)?shù)對(duì)之差縮小到600。這名前不久才從英國(guó)

牛津大學(xué)獲得博士學(xué)位的年輕數(shù)學(xué)家已收到許多來自同行的祝賀

和鼓勵(lì)；其研究成果將發(fā)表在科學(xué)刊物上。

他找到了一種用于改進(jìn)和簡(jiǎn)化張益唐的方法的新方法，更換了一

種用于估計(jì)一個(gè)數(shù)字是素?cái)?shù)的概率的新工具。他說：“張益唐和

我從同一點(diǎn)開始，但我們采取了完全不同的路徑。我使用的方法

要簡(jiǎn)單得多?！薄　∶芳{德在接受媒體采訪時(shí)表示，用他的方法

可以將無窮多個(gè)素?cái)?shù)對(duì)之差縮小到6（即k等于3），但不能縮小

到2；要縮小到2，仍需新的方法和工具。他堅(jiān)信孿生素?cái)?shù)猜想是

可以證明的。讓我們拭目以待！（作者為挪威奧斯陸大學(xué)博士后

）

素?cái)?shù)從根本上和乘法相關(guān)，理解他們和加法相關(guān)的性質(zhì)就變得很

困難。一些數(shù)學(xué)上最古老的未解之謎就和素?cái)?shù)和加法相關(guān)，其中

之一就是孿生素?cái)?shù)猜想——存在無 限多組差為2的素?cái)?shù)對(duì)。另一

個(gè)則是哥德巴赫猜想，這個(gè)猜想提出所有的偶數(shù)都可以表示為兩

個(gè)素?cái)?shù)之和。在自然數(shù)列的起始部分存在著大量的素?cái)?shù)，但是

隨著數(shù)字變大，他們變得原來越稀少。不能排除素?cái)?shù)的間隔會(huì)一

直增長(zhǎng)最終超過一個(gè)特定上限的可能。1849年，法國(guó)數(shù)學(xué)家阿爾

方·波利尼亞克提出了“波利尼亞克猜想”：對(duì)所有自然數(shù)k，

存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)對(duì)(p,p+2k)。k等于1時(shí)就是孿生素?cái)?shù)猜想，而

k等于其他自然數(shù)時(shí)就稱為弱孿生素?cái)?shù)猜想。而最終攻破這道障

礙的，是名不見經(jīng)傳的華人數(shù)學(xué)家張益唐。他的論文顯示對(duì)于某

一個(gè)小于7千萬的數(shù)字N，存在無窮多的素?cái)?shù)對(duì)，他們之間的差小

于N。無論你在那些真正巨大素?cái)?shù)的沙漠里面步行多久——不論

這些素?cái)?shù)變得多么的稀疏，你總會(huì)不停地發(fā)現(xiàn)差小于7千萬的素

數(shù)對(duì)。雖然新發(fā)明的篩可以使得張能夠證明存在無限多組素?cái)?shù)對(duì)

差不超過7千萬，使用他的方法證明孿生素?cái)?shù)猜想?yún)s不大可能

1919年，挪威數(shù)學(xué)家布隆仿照歐拉的方法，求所有孿生素?cái)?shù)的倒

數(shù)和：

b=（1/3+1/5）+（1/5+1/7）+（1/11+1/13）+...

如果也能證明這個(gè)和比任何數(shù)都大，就證明了孿生素?cái)?shù)有無窮多

個(gè)了。這個(gè)想法很好，可是事實(shí)卻違背了布隆的意愿。他證明了

這個(gè)倒數(shù)和是一個(gè)有限數(shù)，這個(gè)常數(shù)就被稱為布隆常

數(shù):b=1.90216054...布隆還發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任何一個(gè)給定的整數(shù)m，

都可以找到m個(gè)相鄰素?cái)?shù)，其中沒有一個(gè)孿生素?cái)?shù)。

1966年由已故的我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)利用篩法 (sieve method) 所

取得的。陳景潤(rùn)證明了： 存在無窮多個(gè)素?cái)?shù) p， 使得 p+2 要

么是素?cái)?shù)， 要么是兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積。 這個(gè)結(jié)果與他關(guān)于

Goldbach 猜想的結(jié)果很類似。 一般認(rèn)為， 由于篩法本身的局

限性， 這一結(jié)果在篩法范圍內(nèi)很難被超越。

2013年，5月14日，《自然》（Nature）雜志在線報(bào)道張益唐證

明了“存在無窮多個(gè)之差小于7000萬的素?cái)?shù)對(duì)”，這一研究隨即

被認(rèn)為在孿生素?cái)?shù)猜想這一終極數(shù)論問題上取得了重大突破，甚

至有人認(rèn)為其對(duì)學(xué)界的影響將超過陳景潤(rùn)的“1+2”證明。

孿生素?cái)?shù)猜想可以弱化為“能不能找到一個(gè)正數(shù)，使得有無窮多

對(duì)素?cái)?shù)之差小于這個(gè)給定正數(shù)”，在孿生素?cái)?shù)猜想中，這個(gè)正數(shù)

就是2。而張益唐找到的正數(shù)是“7000萬”。

《自然》的報(bào)道稱，如果這個(gè)結(jié)果成立，就是第一次有人正式證

明存在無窮多組間距小于定值的素?cái)?shù)對(duì)。換言之，張益唐將給孿

生素?cái)?shù)猜想證明開一個(gè)真正的“頭”。世界頂級(jí)數(shù)學(xué)期刊《數(shù)學(xué)

年刊》（Annals of Mathematics）將準(zhǔn)備接受張益唐作出證明

的這篇文章，審稿人還評(píng)價(jià)“其證明是對(duì)的，并且是一流的數(shù)學(xué)

工作”。但是有中國(guó)人人證明孿生素?cái)?shù)猜想不可證。

張一人孤軍奮戰(zhàn)，試圖在GPY定理和孿生素?cái)?shù)定理之間架起橋梁

。張花費(fèi)了數(shù)月的時(shí)間來完善所有的細(xì)節(jié)，但是最終的論文卻是

清晰闡述的典范，Granville評(píng)價(jià)道?！彼櫦暗搅嗣恳粋€(gè)細(xì)節(jié)

，讓人無從質(zhì)疑，絲毫也不含糊。張?jiān)谒墓鸬难葜v上卻一點(diǎn)

兒都沒有膽怯。演講以其清晰性被出席者所稱道?！爱?dāng)我做演講

并且專注于數(shù)學(xué)時(shí)，我就把害羞丟在腦后了”他說。

“

作為一個(gè)中國(guó)移民，他從普度大學(xué)接受了博士學(xué)位。一直以來，

他都對(duì)于數(shù)論充滿興趣，即使這不是他博士論文的題目。在那些

困難的歲月，他無法獲得一份學(xué)術(shù)界的工作，他依然繼續(xù)緊跟該

領(lǐng)域的進(jìn)展。

使用埃拉托色尼篩法來尋找100以內(nèi)的素?cái)?shù)，我們從2開始，劃掉

100以內(nèi)能被2整出的數(shù)。接著來到3，劃掉所有能被3整除的數(shù)。

4已經(jīng)被劃掉，所以你直接跳到5，劃去所有能被5整出的數(shù)，以

此類推。最后剩下的數(shù)就是素?cái)?shù)。

埃拉托色尼篩在識(shí)別素?cái)?shù)上表現(xiàn)完美，但是對(duì)于解決理論問題卻

過于笨重低效。在過去的一個(gè)世紀(jì)中，針對(duì)這些問題，數(shù)論家們

發(fā)展出了一整套方法來提供近似的答案。

怎樣判斷一個(gè)數(shù)是否為素?cái)?shù)？素?cái)?shù)即只能被1和其本身整除的數(shù)

，判斷n是否為素?cái)?shù)只需用2~n/2或2~n之間的數(shù)去除就可以了，

常用2~n/2，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的一半的平方大于其本身是從5開始的，

解方程：n/2的平方>n 。即一個(gè)數(shù)n的兩個(gè)因數(shù)不能同時(shí)比n/2大

。就可以說一個(gè)數(shù)若不是素?cái)?shù)則一定在2~n/2之間有因數(shù)。而且2

，3也是符合下面程序的。

判斷依據(jù)：一個(gè)數(shù)N如果能被2～N/2之間的數(shù)整除，則該數(shù)不是

質(zhì)數(shù)；否則為質(zhì)數(shù)。雖然素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，但在自然數(shù)列中的一

個(gè)相當(dāng)長(zhǎng)的數(shù)列中，卻找不到一個(gè)素?cái)?shù)，而有時(shí)會(huì)出現(xiàn)若p是素

數(shù)，p+2也是素?cái)?shù)的情況，所以素?cái)?shù)的出現(xiàn)并無規(guī)則可言。

一個(gè)素?cái)?shù)只有1和本身這兩個(gè)約數(shù)，因此素?cái)?shù)就不能再分解了。

合數(shù)有兩個(gè)以上的素約數(shù)，奇數(shù)里的合數(shù)也能分解成“約數(shù)全部

是素?cái)?shù)的乘積”和“約數(shù)是素?cái)?shù)和偶數(shù)的乘積”及“約數(shù)是非素

數(shù)和偶數(shù)的的乘積”。

并無所求素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)之任何規(guī)律。孿生素?cái)?shù)猜想（the

conjecture of twin primes）猜測(cè)存在無窮多對(duì)孿生素?cái)?shù)（相

差2的素?cái)?shù)）。在2013年，華人數(shù)學(xué)家張益唐對(duì)這個(gè)猜想做出了

突破性貢獻(xiàn)；然而孿生素?cái)?shù)猜想尚沒有得到完全證明。

　　梅納德在接受媒體采訪時(shí)表示，用他的方法可以將無窮多個(gè)

素?cái)?shù)對(duì)之差縮小到6（即k等于3），但不能縮小到2；要縮小到2

，仍需新的方法和工具。他堅(jiān)信孿生素?cái)?shù)猜想是可以證明的。讓

我們拭目以待！