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亞歷山德羅夫 杜 瑞 芝 (大連理工大學(xué)) 亞歷山德羅夫，П．С．(Александров，Павел Сергеевич)1896年5月7日生于俄國(guó)博戈羅茨克[Богородск，今諾金斯克(Ногинск)]；1982年11月16日卒于莫斯科．?dāng)?shù)學(xué)． 亞歷山德羅夫出生于博戈羅茨克一位著名的區(qū)段醫(yī)生(Участковыйврач)的家庭．父親謝爾蓋·亞歷山德羅維奇·亞歷山德羅夫(Сергей Александрович Александров)是沙俄末期一名進(jìn)步的知識(shí)分子，在莫斯科大學(xué)醫(yī)療系畢業(yè)后，他放棄留在大學(xué)里工作的機(jī)會(huì)，自愿到邊遠(yuǎn)地區(qū)擔(dān)任區(qū)段醫(yī)生，為普通民眾治?。?jīng)過(guò)多年的實(shí)踐，終于成為當(dāng)時(shí)俄國(guó)著名的外科專家．父親的生活道路對(duì)亞歷山德羅夫人生觀的確立有很大影響．他從小就熱愛勞動(dòng)，對(duì)自然科學(xué)有濃厚興趣．母親采扎里婭·阿基莫夫娜·亞歷山德羅娃(Чеэария Акимовна Александрова)是一位受過(guò)良好教育的婦女，她把自己的全部精力都用在照顧丈夫和撫育子女上．亞歷山德羅夫幼時(shí)體質(zhì)較弱，不便到學(xué)校就讀，母親就親自承擔(dān)他的早期教育． 在早期的家庭教育之后，亞歷山德羅夫進(jìn)入斯摩棱斯克公立中學(xué)讀書．他在13歲時(shí)開始對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)生興趣．在一堂數(shù)學(xué)課上，教師A．P．艾格斯(Эйгес)給同學(xué)們講授羅巴切夫斯基幾何．非歐幾何的創(chuàng)立及其原理使少年亞歷山德羅夫激動(dòng)不已，他在課后立即向老師追問(wèn)其中不解之處．不久，艾格斯向他的學(xué)生推薦一本關(guān)于幾何基礎(chǔ)的書，亞歷山德羅夫在老師的幫助下很快就理解了它的內(nèi)容．這本書使他大開眼界，亞歷山德羅夫從此迷戀于數(shù)學(xué)．在艾格斯老師的鼓勵(lì)和指導(dǎo)下，亞歷山德羅夫在中學(xué)期間就熟讀了非歐幾何和微積分．艾格斯學(xué)知廣博，他的文學(xué)修養(yǎng)和對(duì)人文科學(xué)的興趣對(duì)亞歷山德羅夫也有很大影響．他們師生之間建立了深厚友誼，并一直保持到亞歷山德羅夫成為著名學(xué)者之后． 1913年，亞歷山德羅夫以優(yōu)異成績(jī)從中學(xué)畢業(yè)，并獲金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)拢赀M(jìn)入莫斯科大學(xué)物理－數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)．在以前的很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，莫斯科大學(xué)的數(shù)學(xué)研究遠(yuǎn)遠(yuǎn)落在歐洲幾所一流大學(xué)之后．亞歷山德羅夫?qū)W習(xí)期間，正值H．H．魯金(Луэин)和Д．Ф．葉戈羅夫(Егоров)在實(shí)變函數(shù)論領(lǐng)域取得經(jīng)典結(jié)果之時(shí)．不久，在莫斯科大學(xué)就以魯金為核心，形成了函數(shù)論學(xué)派．亞歷山德羅夫在大學(xué)期間就開始了科學(xué)研究，并取得出色的成果． 1917年，亞歷山德羅夫大學(xué)畢業(yè)并留校工作．次年，他根據(jù)魯金的建議著手研究連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題，沒(méi)有獲得成功．這使他對(duì)自己的數(shù)學(xué)能力產(chǎn)生懷疑．在以后的兩年內(nèi)，他脫離了數(shù)學(xué)研究，先后在謝維爾諾夫戈羅德和契爾尼戈夫等地的劇團(tuán)從事編導(dǎo)工作，結(jié)交文學(xué)藝術(shù)界的名流．1920年，當(dāng)他路經(jīng)莫斯科時(shí)，受到魯金、葉戈羅夫、И．М．普里瓦洛夫(Привалов)、B．B．斯捷潘諾夫(Степанов)的親切歡迎，使他重新產(chǎn)生從事數(shù)學(xué)研究的激情． 1920—1921年，亞歷山德羅夫在斯摩棱斯克大學(xué)任教，并定期到莫斯科大學(xué)參加學(xué)術(shù)活動(dòng)．在此期間，結(jié)識(shí)了魯金教授的年輕助教——П．С．烏雷松(Урысон)，他們很快成為最親密的朋友．1921年，亞歷山德羅夫調(diào)到莫斯科大學(xué)工作．最初他以額外教授的資格任教，1929年晉升為教授． 1922年夏，亞歷山德羅夫和烏雷松到莫斯科郊外的波爾舍瓦度假．就是在這個(gè)暑期，他們開始了在拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域的創(chuàng)造性工作．最初的成果在國(guó)內(nèi)沒(méi)有引起重視．1923年夏和1924年夏，他們兩次共同出國(guó)留學(xué)．第一年，他們來(lái)到歐洲數(shù)學(xué)發(fā)展的中心——格丁根大學(xué)．當(dāng)時(shí)格丁根大學(xué)的學(xué)術(shù)環(huán)境與莫斯科大學(xué)魯金學(xué)派繁榮時(shí)期很相似．他們一面向各位數(shù)學(xué)大師學(xué)習(xí)，一面宣傳自己在拓?fù)鋵W(xué)研究中的新思想．他們的工作很快引起F．克萊因(Kline)和D．希爾伯特(Hilbert)的興趣，并得到贊許．1924年以后，他們的論文開始在歐洲幾種主要的數(shù)學(xué)雜志上發(fā)表．在此期間，A．E．諾特(Noether)及R．庫(kù)朗(Courant)的工作對(duì)他們有很大影響．1924年夏，亞歷山德羅夫和烏雷松先后來(lái)到波恩和阿姆斯特丹，拜訪F．豪斯多夫(Hausdorff)和L．F．布勞威爾(Brouwer)．他們對(duì)拓?fù)鋵W(xué)研究中的一些感興趣的問(wèn)題，進(jìn)行了愉快的討論． 1924年8月，亞歷山德羅夫和烏雷松在經(jīng)過(guò)巴黎時(shí)的短暫逗留之后，來(lái)到布里塔尼半島，在一個(gè)名叫巴斯(Bourg de Batz)的小漁村住下，準(zhǔn)備在這里研究一些新課題．不幸的是，1924年8月17日，年僅26歲的烏雷松在海水浴中葬身大西洋．就在出事的當(dāng)天早晨，烏雷松還寫出新的研究論文的第一頁(yè)．失去摯友的悲痛使亞歷山德羅夫幾乎不能繼續(xù)工作．1925年春到1926年夏，他在荷蘭與布勞威爾共同整理烏雷松的科學(xué)手稿，并安排了付印計(jì)劃．由于他們的努力，烏雷松的許多貢獻(xiàn)才沒(méi)有埋沒(méi)． 亞歷山德羅夫和烏雷松在20年代初的研究是蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家在拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域工作的開端，他們的工作奠定了莫斯科拓?fù)鋵W(xué)派的基礎(chǔ)．在以后的幾十年內(nèi)，亞歷山德洛夫繼續(xù)為該學(xué)派的發(fā)展和壯大做出卓越的貢獻(xiàn)． 從1925到1932年間，亞歷山德羅夫每年大約有四分之三的時(shí)間在國(guó)外度過(guò)．通常是夏末去國(guó)外，來(lái)年春天才返回．他定期到格丁根大學(xué)進(jìn)行學(xué)術(shù)交流，如開設(shè)拓?fù)鋵W(xué)講座、參加諾特的研究班、與Ｈ．霍普夫(Hopf)共同舉辦拓?fù)鋵W(xué)討論班，等等．亞歷山德羅夫在1926年與霍普夫相識(shí)，并結(jié)為好友．他們?cè)谕負(fù)鋵W(xué)方面的合作是極富成效的．1927年秋，他們一起來(lái)到普林斯頓，又結(jié)交了當(dāng)代著名拓?fù)鋵W(xué)家J．W．亞歷山大(Alexander)、S．萊夫謝茨(Lefschetz)和O．維布倫(Veblen)等人，共同探討拓?fù)鋵W(xué)中的問(wèn)題．亞歷山德羅夫在這一時(shí)期所進(jìn)行的廣泛的學(xué)術(shù)交流對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展有很大推動(dòng)作用，他所建立的國(guó)際關(guān)系促進(jìn)了蘇聯(lián)數(shù)學(xué)水平的提高． 亞歷山德羅夫從1921年起一直在莫斯科大學(xué)工作．早年他開設(shè)過(guò)實(shí)變函數(shù)論、一般拓?fù)鋵W(xué)(在莫斯科大學(xué)首次講授)和伽羅瓦理論等課程．他還主持了高等幾何和拓?fù)鋵W(xué)講座，創(chuàng)辦了拓?fù)鋵W(xué)討論班，并領(lǐng)導(dǎo)蘇聯(lián)科學(xué)院斯捷克洛夫數(shù)學(xué)所一般拓?fù)鋵W(xué)研究室的工作．1932年以來(lái)他擔(dān)任莫斯科數(shù)學(xué)會(huì)主席達(dá)33年之久，1964年開始任名譽(yù)主席．1958—1962年，擔(dān)任國(guó)際數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)副主席．亞歷山德羅夫是蘇聯(lián)一些主要數(shù)學(xué)雜志的編委，《數(shù)學(xué)科學(xué)成就》(Успехи Математическихнаук)的主編． 亞歷山德羅夫的科學(xué)、教育和社會(huì)活動(dòng)得到社會(huì)的高度評(píng)價(jià)．他于1929年當(dāng)選為蘇聯(lián)科學(xué)院通訊院士，1953年成為正式院士．他還是許多國(guó)家的科學(xué)院和學(xué)術(shù)團(tuán)體的成員，如柏林科學(xué)院、奧地利科學(xué)院、波蘭科學(xué)院、民主德國(guó)科學(xué)院、美國(guó)國(guó)家科學(xué)院、美國(guó)哲學(xué)學(xué)會(huì)等等．蘇聯(lián)政府于1969年授予他社會(huì)主義勞動(dòng)英雄稱號(hào)，他還曾獲得多種獎(jiǎng)勵(lì)和榮譽(yù)稱號(hào)． 亞歷山德羅夫的數(shù)學(xué)研究開始于實(shí)變函數(shù)論和描述集合論．在19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們主要研究連續(xù)函數(shù)，到20世紀(jì)初，由于數(shù)學(xué)分析的發(fā)展，連續(xù)函數(shù)的許多結(jié)果被推廣到更一般的函數(shù)類上．這時(shí)，由G．康托爾(Cantor)創(chuàng)立的集合論已成為數(shù)學(xué)研究，特別是分析學(xué)研究的有力工具．法國(guó)數(shù)學(xué)家R．L．貝爾(Baire)、E．波萊爾(Borel)和H．L．勒貝格(Lebesgue)成功地用集合論方法來(lái)研究間斷函數(shù)、集合測(cè)度和積分概念的推廣等課題，特別是劃分出B－函數(shù)與B－集合類，研究了B-集合的構(gòu)造．由于這些工作，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)中一個(gè)新的研究方向——描述集合論．當(dāng)時(shí)所研究的兩個(gè)關(guān)鍵性問(wèn)題是：1．詳細(xì)研究B－集合的構(gòu)造；2．構(gòu)造出非B－集合的新集合類． 在20世紀(jì)第二個(gè)10年中，由于魯金和葉戈羅夫在實(shí)變函數(shù)論方面的工作，莫斯科大學(xué)內(nèi)集合論和函數(shù)論研究方興未艾．亞歷山德羅夫在大學(xué)一年級(jí)時(shí)就參加了葉戈羅夫領(lǐng)導(dǎo)的函數(shù)論討論班．1915年，他得到了第一個(gè)研究成果，即證明了凡不可數(shù)B－集合必包含完備子集．由此可知，凡不可數(shù)B－集合的勢(shì)必等于連續(xù)統(tǒng)的勢(shì)．為證明這個(gè)結(jié)果，他建立了A－運(yùn)算．這種運(yùn)算對(duì)集合論方法的發(fā)展產(chǎn)生了重要影響．蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Ｍ．Я．蘇斯林(Суслцн)就是借助于A－運(yùn)算作出了比B－集合類更廣的一類新集合——A－集合類．由此還引出射影集合理論、集合的一般理論的研究． 1922年以后，亞歷山德羅夫轉(zhuǎn)向拓?fù)鋵W(xué)的研究．他早期和烏雷松共同創(chuàng)立和發(fā)展了緊與列緊空間理論．之后，他又引進(jìn)了一系列基本概念和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，建立了本質(zhì)映射定理和同調(diào)維數(shù)論，導(dǎo)出一系列對(duì)偶性原理的基本規(guī)律，發(fā)展了連續(xù)映射理論，為現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)做出奠基性的貢獻(xiàn)． 自康托爾研究歐氏空間的點(diǎn)集開始，數(shù)學(xué)家們對(duì)歐氏空間的點(diǎn)集理論進(jìn)行了細(xì)致深刻的研究，到19世紀(jì)末已清楚地掌握了歐氏空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，給點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的形成提供了一個(gè)內(nèi)容豐富的模型．在此基礎(chǔ)上，法國(guó)數(shù)學(xué)家Ｍ．弗雷歇(Frechét)提出抽象空間理論(1906)．不久以后，德國(guó)數(shù)學(xué)家豪斯多夫建立了拓?fù)淇臻g理論(1914)，標(biāo)志著點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生．在點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展過(guò)程中，亞歷山德羅夫的貢獻(xiàn)是卓越的．他是主要的奠基人之一． 在20年代初，這一新的數(shù)學(xué)分支有兩個(gè)中心課題，一個(gè)是拓?fù)淇臻g的緊致性問(wèn)題，另一個(gè)是拓?fù)淇臻g的度量化問(wèn)題．亞歷山德羅夫在與烏雷松合作期間，在這兩方面都得到了重要結(jié)果．他們首先研究豪斯多夫空間類，提出了豐富而有趣的問(wèn)題．例如，他們提出并解決了有關(guān)H閉空間(即絕對(duì)閉于豪斯多夫空間)的問(wèn)題，給出了幾個(gè)等價(jià)條件．自1923年他們提出緊性定義之后，共同建立了緊空間和列緊空間理論．他們引進(jìn)了一系列基本概念，證明了關(guān)于緊性與列緊性的若干定理．他們給出的緊空間的三個(gè)定義如下． 定義1．拓?fù)淇臻gR稱為緊的，如果對(duì)于空間的每一個(gè)無(wú)窮集A，都存在點(diǎn)x，使A與x的任一鄰域的交的勢(shì)與A的勢(shì)相等(他們稱這種點(diǎn)為完全聚點(diǎn))． 定義2．拓?fù)淇臻gR稱為緊的，如果空間中所有的非空閉集的遞減超限序列都是不空的． 定義3．拓?fù)淇臻gR稱為緊的，如果對(duì)每一個(gè)覆蓋R的無(wú)窮開集系統(tǒng)，可從中選出有限個(gè)元的子系統(tǒng)，它也能覆蓋住R． 他們證明了定義1，2，3中所闡明的三個(gè)性質(zhì)是等價(jià)的．他們所確定的緊空間類完全獨(dú)立于奧地利數(shù)學(xué)家Ｌ．韋特利(Vieto－ris)的工作．他們還引進(jìn)“緊統(tǒng)”、“?？臻g”、“法空間”等概念，研究緊空間及與上述概念相關(guān)的性質(zhì)，建立一系列定理．他們把關(guān)于緊空間的許多結(jié)果推廣到列緊空間，建立了相仿的概念和定理． 此外，亞歷山德羅夫還建立了局部緊空間的理論，證明了關(guān)于一點(diǎn)緊化定理、關(guān)于勢(shì)斂的定理以及關(guān)于權(quán)與擬權(quán)關(guān)系的定理等． 亞歷山德羅夫和烏雷松關(guān)于緊與列緊空間的理論被許多數(shù)學(xué)家發(fā)展．例如，在他們工作的基礎(chǔ)上，A．H．吉洪諾夫(Тихонов)解決了具有緊豪斯多夫擴(kuò)張的一般空間的問(wèn)題，奠定了緊擴(kuò)張理論的基礎(chǔ)；而Ｈ．Б．韋杰尼索夫(Веденисов)則證明了在連續(xù)映射下緊性保持不變的定理． 拓?fù)淇臻g的度量化問(wèn)題就是用純拓?fù)涞恼Z(yǔ)言來(lái)表達(dá)可度量空間的特征．這個(gè)問(wèn)題由亞歷山德羅夫和烏雷松解決．他們?cè)?923年建立了第一個(gè)度量化準(zhǔn)則，即給出拓?fù)淇臻g可度量化的充要條件：該空間是具可數(shù)加細(xì)覆蓋系統(tǒng)的仿緊空間．他們還建立了幾個(gè)關(guān)于特殊空間類的度量化準(zhǔn)則．關(guān)于可數(shù)重空間和列緊空間的度量化準(zhǔn)則屬于烏雷松．對(duì)于局部列緊空間，亞歷山德羅夫證明了其可度量化的充要條件是該空間是豪斯多夫空間，并可表示成互斥開集之和，每個(gè)開集的權(quán)不超過(guò)可數(shù)．亞歷山德羅夫還對(duì)可分空間證明了關(guān)于Gδ集完全可度量化是遺傳的，這一工作不久被豪斯多夫推廣．1960年，亞歷山德羅夫引進(jìn)點(diǎn)正則基的概念，并應(yīng)用它得出新的度量化準(zhǔn)則：拓?fù)淇臻g可度量化的充要條件是它是族狀正規(guī)的且有點(diǎn)正則基．他的學(xué)生A．B．阿爾漢格爾斯基(Аргангедъский)也得到類似的結(jié)果． 1925年，亞歷山德羅夫建立了現(xiàn)在通用的拓?fù)淇臻g公理系統(tǒng)的最終形式． 在點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)中，除上述的緊空間、列緊空間、局部緊空間、H閉空間、完全聚點(diǎn)等，還有許多重要的基本概念是亞歷山德羅夫提出并研究的，如二進(jìn)空間、閉映射、局部有限族、商空間、逆向序列的極限等．還有些概念是他和烏雷松共同提出的，如林德勒夫空間、正則空間類等． 20年代中期，亞歷山德羅夫了解到布勞威爾在拓?fù)鋵W(xué)方面的工作，特別是關(guān)于維數(shù)的拓?fù)洳蛔冃缘难芯浚瑢?duì)他有很大啟示．從此以后，他的研究工作進(jìn)入一個(gè)新的階段．在此之前，數(shù)學(xué)家們?cè)谘芯客負(fù)鋯?wèn)題時(shí)，或運(yùn)用純幾何的方法(又稱組合方法)，或運(yùn)用純集合論的方法．亞歷山德羅夫在這一時(shí)期研究工作的主要特點(diǎn)是把上述兩種方法有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，從而把以前僅限于多面體的某些結(jié)果移植到緊與列緊空間中來(lái)，實(shí)現(xiàn)把組合拓?fù)鋵W(xué)方法向集合論對(duì)象上的轉(zhuǎn)移，奠定了同調(diào)理論的基礎(chǔ)． 亞歷山德羅夫在1925年引進(jìn)的覆蓋的網(wǎng)的概念是他進(jìn)一步研究的基礎(chǔ)．設(shè)X是拓?fù)淇臻g，w是X的有限開覆蓋，w的網(wǎng)是一個(gè)單純復(fù)形 映成網(wǎng)Nw)．所以，如果X是緊統(tǒng)，而w通過(guò)它的所有有限開覆蓋的 組成的投影譜S．S以某種自然形態(tài)確定自己的極限空間，它同胚于緊統(tǒng)X．這樣一來(lái)，空間X的所有拓?fù)湫再|(zhì)可以通過(guò)它的投影譜的性質(zhì)來(lái)描述，即通過(guò)網(wǎng)Nw及其單純映射的性質(zhì)來(lái)描述．特別地，關(guān)于維數(shù)和同調(diào)的性質(zhì)就可以這樣描述． 由這種方式所產(chǎn)生的關(guān)于點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)及其構(gòu)造方法的新觀點(diǎn)具有重要意義，這種觀點(diǎn)在很大程度上影響了拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展的方向． 覆蓋的網(wǎng)的概念的第一個(gè)應(yīng)用是亞歷山德羅夫建立的關(guān)于以同維多面體“逼近”列緊統(tǒng)的幾個(gè)著名概念定理： ε-平移：設(shè)ε＞0，A，B是度量空間X的子空間，f為A到B的連續(xù)映射，如果對(duì)任意。x∈X，ρ(x，f(x))＜ε均成立，則稱f為ε－平移． ε－平移定理：設(shè)X為m維歐氏空間Rm的有界子空間，且dimX≤n，則對(duì)任意ε＞0，存在X到多面體K Rm上的ε－平移，其中dimK≤n． ε－映射：設(shè)ε＞0，f為度量空間X到拓?fù)淇臻gY的連續(xù)映射，如果對(duì)任何y∈y，f－1(y)均為直徑小于ε的集，則稱f為ε－映射． ε－映射定理：m維歐氏空間Rm的緊子空間X滿足不等式dimX≤n，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意ε＞0，存在X到Rm中維數(shù)≤n的多面體K上的ε－映射． 后來(lái)亞歷山德羅夫把ε－映射定理推廣到更一般的空間． 亞歷山德羅夫還研究了度量空間的本質(zhì)映射，建立了關(guān)于維數(shù)的另一個(gè)重要的特征定理．拓?fù)淇臻gX到Rn＋1中的(n＋1)球的連續(xù)映射f：X→Bn＋1是本質(zhì)的，如果不存在連續(xù)映射g：X→Bn＋1，使g[f－1(Sn)]＝f[f－1(Sn)]且Bn＋1＼g(X)≠φ．亞歷山德羅夫證明了下面的本質(zhì)映射定理：空間X滿足不等式indX≤n(≥0)的充要條件是沒(méi)有連續(xù)映射f：X→Bn＋1是本質(zhì)的．這個(gè)定理又被他推廣到更廣義的空間類．本質(zhì)映射定理在維數(shù)論中有重要地位，它是聯(lián)系烏雷松－門杰(K．Menger)維數(shù)論與亞歷山德羅夫的同調(diào)維數(shù)論的中心環(huán)節(jié)． 1928—1932年，亞歷山德羅夫在上述工作基礎(chǔ)上，創(chuàng)立了同調(diào)維數(shù)論，這是同調(diào)理論的重要應(yīng)用．這項(xiàng)工作不僅使維數(shù)論得到巨大發(fā)展，而且開辟了同調(diào)論研究的嶄新途徑．這是亞歷山德羅夫在拓?fù)鋵W(xué)中最重要的貢獻(xiàn)． 20世紀(jì)初，布勞威爾以及稍后的Ｅ．切赫( ech)給出了維數(shù)的嚴(yán)格定義，稱為大歸納維數(shù)；門杰及烏雷松把上述思想局部化之后，得到另一種維數(shù)定義，即小歸納維數(shù)；勒貝格發(fā)現(xiàn)了方體覆蓋的有趣事實(shí)后，切赫又引進(jìn)了第三種維數(shù)，稱為覆蓋維數(shù)．亞歷山德羅夫所定義的同調(diào)維數(shù)是緊豪斯多夫空間關(guān)于可換群的維數(shù)，是第四種維數(shù)．他研究了同調(diào)維數(shù)的性質(zhì)，證明了一系列基本定理，如求和定理、列緊統(tǒng)必包含康托爾流形的定理、障礙定理等，研究了幾種維數(shù)的關(guān)系，特別是同調(diào)維數(shù)與小歸納維數(shù)的關(guān)系．同調(diào)維數(shù)論為拓?fù)鋵W(xué)提供了新的有力的研究工具．例如，關(guān)于積空間的龐特里亞金問(wèn)題、關(guān)于任意空間Rn的閉子集的烏雷松問(wèn)題等都在同調(diào)維數(shù)論的基礎(chǔ)上得到解決．由于亞歷山德羅夫的理論具有十分明顯的幾何特征，所以它可以作為抽象維數(shù)論的直接例證．特別地，在很廣一類的列緊空間中，同調(diào)維數(shù)與其他維數(shù)的一致性證明了維數(shù)定義的正確性和自然性． 同調(diào)維數(shù)論被許多數(shù)學(xué)家繼承和發(fā)展．這一領(lǐng)域的某些結(jié)果在集合論中又得到十分美妙的推廣．如亞歷山德羅夫ε－位移定理在很多年以后又穿上了新的外衣——成為度量空間中以ω－映射描述仿緊統(tǒng)的多克爾(Dowker)定理，這一結(jié)果現(xiàn)已成為仿緊空間的基本理論之一． 同調(diào)維數(shù)論的另一個(gè)應(yīng)用是J．W．亞歷山大(Alexander)建立的對(duì)偶性理論在A．H．科爾莫戈羅夫(Колмогоров)和亞歷山大發(fā)現(xiàn)了上同調(diào)群后得到進(jìn)一步的發(fā)展．歐幾里得空間或更一般的流形中列緊統(tǒng)的同調(diào)群和它的補(bǔ)之間的對(duì)應(yīng)是這一類對(duì)偶性的例子．問(wèn)題的提出顯然包含了開集的同調(diào)群的定義——列緊統(tǒng)的補(bǔ)集．亞歷山德羅夫的理論建立了這一研究領(lǐng)域的堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．Л．С．龐特里亞金(Цонтрягин)在這個(gè)方向上發(fā)現(xiàn)并證明了著名的對(duì)偶規(guī)律． 這樣一來(lái)，在接近30年代中期的時(shí)候，拓?fù)鋵W(xué)的兩個(gè)完全不同的分支——H．龐加萊(Poincaré)的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)和由弗雷歇、豪斯多夫開創(chuàng)，亞歷山德羅夫建立了重要功績(jī)的點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)之間出現(xiàn)了實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系．亞歷山德羅夫和霍普夫合作的專著《拓?fù)鋵W(xué)》就是這兩個(gè)拓?fù)鋵W(xué)分支綜合發(fā)展的結(jié)果，是集合論方法與組合拓?fù)鋵W(xué)方法有機(jī)結(jié)合的典范．遺憾的是，戰(zhàn)爭(zhēng)干擾了這部著作的完成．原定三卷的計(jì)劃僅完成了一卷，這就是著名的《拓?fù)鋵W(xué)I》(1935)．兩位馳騁在拓?fù)鋵W(xué)不同方向上的優(yōu)秀大師所寫的這部專著已成為拓?fù)鋵W(xué)的經(jīng)典之作．它的出版是對(duì)拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展有重大影響的著名事件． 在1940—1942年間(戰(zhàn)時(shí)疏散時(shí)期)，亞歷山德羅夫在拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域的研究工作達(dá)到高峰．他完成了用同調(diào)方法研究復(fù)形和閉集的形式和分布的工作，也包括閉集及其補(bǔ)集的群的正合序列的研究．這一時(shí)期的工作總結(jié)在他的專著《復(fù)形和閉集分布的同調(diào)性質(zhì)》．這部著作在1943年榮獲蘇聯(lián)政府授予的最高獎(jiǎng)——國(guó)家一級(jí)獎(jiǎng)金． 在40年代末到50年代初，亞歷山德羅夫及其學(xué)生建立了歐幾里得空間中開集的同調(diào)理論，推動(dòng)了同調(diào)理論的進(jìn)一步發(fā)展．亞歷山德羅夫本人得到了第一個(gè)關(guān)于歐幾里得空間中開集的一般對(duì)偶性規(guī)律及一系列有關(guān)結(jié)果．這些工作發(fā)表在他的論著《關(guān)于n維空間中開集的對(duì)偶性的基本定理》中． 亞歷山德羅夫在拓?fù)淇臻g同調(diào)論方面的工作，特別是創(chuàng)立維數(shù)的同調(diào)理論的工作與他在純集合論領(lǐng)域的研究同時(shí)進(jìn)行．1939年，他開展了完全正則空間中列緊擴(kuò)張的重要研究．他提出的新觀點(diǎn)是極有啟發(fā)性的．后來(lái)為В．И．波諾馬廖夫(Пономарёв)所發(fā)展。這一時(shí)期，他在點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)方面的另一個(gè)重要結(jié)果是證明了每一個(gè)權(quán)等于τ的緊統(tǒng)是廣義康托爾不連續(xù)統(tǒng)Dτ的閉子空間的連續(xù)像．早在1927年，他就曾證明每一個(gè)列緊統(tǒng)都是尋?？低袪柌贿B續(xù)統(tǒng)的 連續(xù)像．與此相關(guān)，對(duì)任意τ，作為每一個(gè)廣義康托爾不連續(xù)統(tǒng)Dτ的連續(xù)像，他引進(jìn)了二重緊統(tǒng)的概念．不久后，E．馬爾切夫斯基(арчевский)證明了每一個(gè)權(quán)τ＞ 0的緊統(tǒng)都不是二重的，而當(dāng)τ＝ 0時(shí)情形卻完全相反．因此，二重緊統(tǒng)理論就顯得十分有趣和重要． 亞歷山德羅夫還提出關(guān)于任意緊群空間的二重?cái)U(kuò)張(Диадичностъ)的假設(shè)，后來(lái)由Л．Н．Ивановский(伊萬(wàn)諾夫斯基)和В．Л．庫(kù)茲明諾夫(Куэъминов)證明．他們還證明了二重緊統(tǒng)(диадический бикомпакт)的可度量性可由第一個(gè)可數(shù)公理得出．蘇聯(lián)和其他國(guó)家的一些數(shù)學(xué)家繼承了這項(xiàng)工作．50年代初，拓?fù)淇臻g映射理論在亞歷山德羅夫的直接影響下得到發(fā)展．在他20年代創(chuàng)立的連續(xù)映射以及與之相關(guān)的緊統(tǒng)的連續(xù)剖分理論中，幾乎每一個(gè)重要的結(jié)果都是進(jìn)一步研究的起點(diǎn)．例如，關(guān)于每一個(gè)列緊統(tǒng)的表示——作為康托爾完備集的連續(xù)像的理論，發(fā)展為關(guān)于每一個(gè)緊統(tǒng)是同權(quán)的零維緊統(tǒng)的連續(xù)像的定理和二重緊統(tǒng)理論．而緊統(tǒng)的連續(xù)映射理論則在任意空間的全映射理論中得到發(fā)展，等等．亞歷山德羅夫本人還得到了關(guān)于緊統(tǒng)開映射的第一批基本結(jié)果，提出這一領(lǐng)域的基本問(wèn)題，證明了緊統(tǒng)的維數(shù)當(dāng)施行可數(shù)重開映射時(shí)保持不變，這是一個(gè)與零維及有限重開映射密切相關(guān)的結(jié)果．在亞歷山德羅夫的影響下，完成了非緊度量空間到度量空間的閉連續(xù)映射理論的奠基性工作．他的學(xué)生И．?。簢?guó)施泰因(Вайнщтейн)得到了關(guān)于這種映射邊界緊性的結(jié)果，這個(gè)結(jié)果是通向閉映射理論的重要階梯． 1954年以后，亞歷山德羅夫著重研究一般連續(xù)映射理論，同時(shí)在代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)和一般拓?fù)鋵W(xué)的有關(guān)分支做出新的貢獻(xiàn)． 亞歷山德羅夫的研究工作有很大的國(guó)際影響．他先后在1961和1966年于布拉格舉辦的國(guó)際拓?fù)鋵W(xué)會(huì)議上作重要報(bào)告．在1961年的報(bào)告中，圍繞連續(xù)映射理論，他提出了三個(gè)密切相關(guān)的問(wèn)題，由此引發(fā)出大量的研究工作．在1966年的會(huì)議上，他作了關(guān)于一般拓?fù)鋵W(xué)研究的綜合報(bào)告，其中給出空間和映射分類的基本原理，提出一些未解決的問(wèn)題．這兩個(gè)報(bào)告對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展起到積極作用． 亞歷山德羅夫著述甚豐，他一生共發(fā)表論文150多篇，著作多種．除前文提到的以外，流行較廣的還有《組合拓?fù)鋵W(xué)》、《集與函數(shù)的泛論初階》、《拓?fù)鋵?duì)偶定理，第一部分：閉集》、《群論導(dǎo)引》(Введение в теорию групп，1951)、《非歐幾何是什么》(Что такое ноэвклидова геометрия，1950)，等等．他和烏雷松早年合作完成的重要論著《關(guān)于列緊空間的研究報(bào)告》已于1971年譯成俄文出版． 亞歷山德羅夫不僅是一位才思敏捷的數(shù)學(xué)家，而且是一位杰出的教育家．他在半個(gè)世紀(jì)的時(shí)間內(nèi)為莫斯科大學(xué)培養(yǎng)了好幾代數(shù)學(xué)家，其中最優(yōu)秀的是吉洪諾夫和龐特里亞金．在蘇聯(lián)，很難舉出一個(gè)在拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域做出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家，而未受過(guò)亞歷山德羅夫的教育和影響． 亞歷山德羅夫具有作為杰出的教育家所必備的優(yōu)秀品德．他的性格熱情而開朗，充滿激情，對(duì)學(xué)生和周圍的人有一種很強(qiáng)的感召力．他講課的氣氛活潑而熱烈，使人感到很親切．他的教育方式也很獨(dú)特．他經(jīng)常帶領(lǐng)他的討論班上的年輕人進(jìn)行所謂“拓?fù)鋵W(xué)旅行”：有時(shí)是遠(yuǎn)距離的、持續(xù)數(shù)日的水上旅行(劃船)，有時(shí)帶領(lǐng)他們游泳(如橫渡伏爾加河)，冬天在莫斯科近郊進(jìn)行滑雪旅行，夏天則進(jìn)行遠(yuǎn)距離的徒步郊游．在旅途中，自然要談?wù)撗赝镜慕ㄖ?、名勝古跡及民族風(fēng)俗等，但最重要的是給學(xué)生指定拓?fù)鋵W(xué)的研究課題．在旅行中他與每個(gè)人多次交談，大家也在一起討論．每次旅行，大家都能接受許多數(shù)學(xué)思想．這種方式使參加者感到既興奮又緊張，人人都在為完成自己的目標(biāo)而努力． 他的優(yōu)秀品德還體現(xiàn)在對(duì)學(xué)生的關(guān)心．他不僅在工作時(shí)間內(nèi)與學(xué)生在一起，而且許多閑暇時(shí)間也與學(xué)生共同度過(guò)．許多學(xué)生回憶道，當(dāng)他們遇到困難(學(xué)習(xí)上或生活上的)而來(lái)到亞歷山德羅夫身邊時(shí)，不僅得到一位長(zhǎng)者的深切同情和關(guān)心，而且得到科學(xué)研究方面或待人處事方面的具體建議，直到幫助他們從困境中擺脫出來(lái)． 亞歷山德羅夫這種生動(dòng)活潑的教育方式，吸引了一批又一批的年輕人來(lái)從事比較抽象的拓?fù)鋵W(xué)研究．由于他多年堅(jiān)持不懈的努力，終于使以他為核心的研究隊(duì)伍發(fā)展為世界著名的拓?fù)鋵W(xué)派． 亞歷山德羅夫還是一位音樂(lè)愛好者．當(dāng)他的學(xué)生到他的宿舍或家中來(lái)討論問(wèn)題時(shí)，常播放一些古典音樂(lè)來(lái)緩解氣氛．他還常帶幾個(gè)學(xué)生去大學(xué)的俱樂(lè)部聽音樂(lè)會(huì)，培養(yǎng)學(xué)生這方面的興趣．他還是莫斯科大學(xué)禮堂公開講演的支持者，并鼓勵(lì)學(xué)生參加這項(xiàng)活動(dòng)．總之，他認(rèn)為高等學(xué)校不僅要使學(xué)生獲取科學(xué)知識(shí)，而且要把他們培養(yǎng)成為具有高度文化修養(yǎng)的人．他在70年代莫斯科大學(xué)校報(bào)的“大學(xué)生寄語(yǔ)”中寫道：“任何科學(xué)天賦都由三部分組成——智力、意志和激情，它們形成一種能完全被激情所支配的力量，這種力量是科學(xué)創(chuàng)造必不可少的，甚至是決定性的條件．”亞歷山德羅夫的這種教育思想在莫斯科大學(xué)有很大影響． 最后還要提到亞歷山德羅夫在數(shù)學(xué)界所建立的廣泛的友誼．除了早年與烏雷松的友誼外，他在1923年以后的國(guó)際旅行中，又結(jié)交了希爾伯特、諾特、庫(kù)朗、布勞威爾、豪斯多夫、霍普夫、亞歷山大等著名數(shù)學(xué)家，與他們結(jié)下深厚的友誼并進(jìn)行了長(zhǎng)期合作．除此之外，他與科爾莫戈羅夫的友誼特別值得一提．他們?cè)?929年相識(shí)，很快結(jié)為終生朋友．他們經(jīng)常沿著伏爾加河、第聶伯河，或者到高加索、克里米亞和法國(guó)南部旅行，在旅途中探討數(shù)學(xué)問(wèn)題．1935年以后，在他們的生活中出現(xiàn)了“科馬洛夫卡時(shí)期”．在莫斯科郊區(qū)的一個(gè)名叫科馬洛夫卡的小村莊，從1935年開始，有一所屬于亞歷山德羅夫和科爾莫戈羅夫的住宅．在這里，他們規(guī)劃和完成了許多重要的數(shù)學(xué)研究．在1935年以后的40多年內(nèi)，這里發(fā)生的許多事情對(duì)莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)發(fā)展有過(guò)影響．這所住宅里經(jīng)常有他們二位的學(xué)生來(lái)訪和居住，亞歷山德羅夫與學(xué)生的很多次郊游就在科馬洛夫卡結(jié)束，然后他們共進(jìn)午餐(或晚餐)．一些外國(guó)數(shù)學(xué)家，如J．阿達(dá)馬(Hadamard)、M．R．弗雷歇、S．巴拿赫(Banach)、K．庫(kù)拉托夫斯基(Kuratowski)以及霍普夫等也曾來(lái)此訪問(wèn)并進(jìn)行學(xué)術(shù)交流．這些活動(dòng)對(duì)提高蘇聯(lián)數(shù)學(xué)科學(xué)水平起到促進(jìn)作用． (本文承蒙方嘉琳教授仔細(xì)審閱，提出許多寶貴意見，特此表示感謝．) |
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來(lái)自： l1hf > 《數(shù)學(xué)家》
