［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

  1. 切線長(zhǎng)概念

    切線長(zhǎng)是在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度，“切線長(zhǎng)”是切線上一條線段的長(zhǎng)，具有數(shù)量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長(zhǎng)度。

  2. 切線長(zhǎng)定理

    對(duì)于切線長(zhǎng)定理，應(yīng)明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長(zhǎng)相等；（2）若已知兩條切線平行，則圓上兩個(gè)切點(diǎn)的連線為直徑；（3）經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，連結(jié)兩個(gè)切點(diǎn)可得到一個(gè)等腰三角形；（4）經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線的夾角與過(guò)切點(diǎn)的兩個(gè)半徑的夾角互補(bǔ)；（5）圓外一點(diǎn)與圓心的連線，平分過(guò)這點(diǎn)向圓引的兩條切線所夾的角。

  3. 弦切角、頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。

    直線AB切⊙O于P，PC、PD為弦，圖中幾個(gè)弦切角呢？（四個(gè)）

  4. 弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對(duì)的圓周角。

  5. 弄清和圓有關(guān)的角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。

  6. 遇到圓的切線，可聯(lián)想“角”弦切角，“線”切線的性質(zhì)定理及切線長(zhǎng)定理。

  7. 與圓有關(guān)的比例線段

  8. 圓冪定理：過(guò)一定點(diǎn)P向⊙O作任一直線，交⊙O于兩點(diǎn)，則自定點(diǎn)P到兩交點(diǎn)的兩條線段之積為常數(shù)||（R為圓半徑），因?yàn)?/SPAN>叫做點(diǎn)對(duì)于⊙O的冪，所以將上述定理統(tǒng)稱為圓冪定理。

【典型例題】

  例1. 如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓O，過(guò)A作半圓切線，切點(diǎn)為F，交CD于E，求DE：AE的值。

圖1

    解：由切線長(zhǎng)定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE

    設(shè)CE為x，在Rt△ADE中，由勾股定理

    ∴，，

  例2. ⊙O中的兩條弦AB與CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。

圖2

    解：由相交弦定理，得

    AE·BE＝CE·DE

    ∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，

    ，

    ∴，

    即

    ∴CE＝3cm或CE＝4cm。

    故應(yīng)填3或4。

    點(diǎn)撥：相交弦定理是較重要定理，結(jié)果要注意兩種情況的取舍。

  例3. 已知PA是圓的切線，PCB是圓的割線，則________。

    解：∵∠P＝∠P

    ∠PAC＝∠B，

    ∴△PAC∽△PBA，

    ∴，

    ∴。

    又∵PA是圓的切線，PCB是圓的割線，由切割線定理，得

    ∴，

    即  ，

    故應(yīng)填PC。

    點(diǎn)撥：利用相似得出比例關(guān)系式后要注意變形，推出所需結(jié)論。

  例4. 如圖3，P是⊙O外一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，PAB是⊙O的割線，交⊙O于A、B兩點(diǎn)，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半徑為10cm，則圓心O到AB的距離是___________cm。

圖3

    解：∵PC是⊙O的切線，PAB是⊙O的割線，且PA：PB＝1：4

    ∴PB＝4PA

    又∵PC＝12cm

    由切割線定理，得

    ∴

    ∴，

    ∴

    ∴PB＝4×6＝24（cm）

    ∴AB＝24－6＝18（cm）

    設(shè)圓心O到AB距離為d cm，

    由勾股定理，得

    故應(yīng)填。

  例5. 如圖4，AB為⊙O的直徑，過(guò)B點(diǎn)作⊙O的切線BC，OC交⊙O于點(diǎn)E，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D，（1）求證：；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的長(zhǎng)。

圖4

    點(diǎn)悟：要證，即要證△CED∽△CBE。

    證明：（1）連結(jié)BE

    （2）

。

    又∵，

    ∴厘米。

    點(diǎn)撥：有切線，并需尋找角的關(guān)系時(shí)常添輔助線，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件。

  例6. 如圖5，AB為⊙O的直徑，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延長(zhǎng)線于E。

圖5

    求證：

    證明：連結(jié)BD，

    ∵AE切⊙O于A，

    ∴∠EAD＝∠ABD

    ∵AE⊥AB，又AB∥CD，

    ∴AE⊥CD

    ∵AB為⊙O的直徑

    ∴∠ADB＝90°

    ∴∠E＝∠ADB＝90°

    ∴△ADE∽△BAD

    ∴

    ∴

    ∵CD∥AB

    ∴AD＝BC，∴

  例7. 如圖6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB為割線。求證：AD·BC＝CD·AB

圖6

    點(diǎn)悟：由結(jié)論AD·BC＝CD·AB得，顯然要證△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC

    證明：∵PA切⊙O于A，

    ∴∠PAD＝∠PBA

    又∠APD＝∠BPA，

    ∴△PAD∽△PBA

    ∴

    同理可證△PCD∽△PBC

    ∴

    ∵PA、PC分別切⊙O于A、C

    ∴PA＝PC

    ∴

    ∴AD·BC＝DC·AB

  例8. 如圖7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB邊為直徑作⊙O，交斜邊BC于點(diǎn)D，過(guò)D點(diǎn)作⊙O的切線交AC于E。

圖7

    求證：BC＝2OE。

    點(diǎn)悟：由要證結(jié)論易想到應(yīng)證OE是△ABC的中位線。而OA＝OB，只須證AE＝CE。

    證明：連結(jié)OD。

    ∵AC⊥AB，AB為直徑

    ∴AC為⊙O的切線，又DE切⊙O于D

    ∴EA＝ED，OD⊥DE

    ∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB

    在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B

    ∵∠ODE＝90°

    ∴

    ∴∠C＝∠EDC

    ∴ED＝EC

    ∴AE＝EC

    ∴OE是△ABC的中位線

    ∴BC＝2OE

  例9. 如圖8，在正方形ABCD中，AB＝1，是以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧。點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），過(guò)E作所在圓的切線，交邊DC于點(diǎn)F，G為切點(diǎn)。

    當(dāng)∠DEF＝45°時(shí)，求證點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)；

圖8

    解：由∠DEF＝45°，得

    ，

    ∴∠DFE＝∠DEF

    ∴DE＝DF

    又∵AD＝DC

    ∴AE＝FC

    因?yàn)?/SPAN>AB是圓B的半徑，AD⊥AB，所以AD切圓B于點(diǎn)A；同理，CD切圓B于點(diǎn)C。

    又因?yàn)?/SPAN>EF切圓B于點(diǎn)G，所以AE＝EG，FC＝FG。

    因此EG＝FG，即點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)。

【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）

一、選擇題

  1. 已知：PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，連結(jié)AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，則PA＝（    ）

    A.                  B.                   C. 5                      D. 8

  2. 下列圖形一定有內(nèi)切圓的是（    ）

    A. 平行四邊形                           B. 矩形

    C. 菱形                                     D. 梯形

  3. 已知：如圖1直線MN與⊙O相切于C，AB為直徑，∠CAB＝40°，則∠MCA的度數(shù)（    ）

圖1

    A. 50°                 B. 40°                 C. 60°                 D. 55°

  4. 圓內(nèi)兩弦相交，一弦長(zhǎng)8cm且被交點(diǎn)平分，另一弦被交點(diǎn)分為1：4，則另一弦長(zhǎng)為（    ）

    A. 8cm                  B. 10cm                C. 12cm                D. 16cm

  5. 在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，AD，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延長(zhǎng)線與△ABC的外接圓的交點(diǎn)，那么DE長(zhǎng)等于（    ）

    A.                          B.

    C.                         D.

  6. PT切⊙O于T，CT為直徑，D為OC上一點(diǎn)，直線PD交⊙O于B和A，B在線段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，則PB等于（    ）

    A. 20                    B. 10                     C. 5               D.

二、填空題

  7. AB、CD是⊙O切線，AB∥CD，EF是⊙O的切線，它和AB、CD分別交于E、F，則∠EOF＝_____________度。

  8. 已知：⊙O和不在⊙O上的一點(diǎn)P，過(guò)P的直線交⊙O于A、B兩點(diǎn)，若PA·PB＝24，OP＝5，則⊙O的半徑長(zhǎng)為_____________。

  9. 若PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，PBC割線交⊙O于B、C，若BC＝20，，則PC的長(zhǎng)為_____________。

  10. 正△ABC內(nèi)接于⊙O，M、N分別為AB、AC中點(diǎn)，延長(zhǎng)MN交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)BD交AC于P，則_____________。

三、解答題

  11. 如圖2，△ABC中，AC＝2cm，周長(zhǎng)為8cm，F、K、N是△ABC與內(nèi)切圓的切點(diǎn)，DE切⊙O于點(diǎn)M，且DE∥AC，求DE的長(zhǎng)。

圖2

  12. 如圖3，已知P為⊙O的直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求證：CB平分∠DCP。

圖3

  13. 如圖4，已知AD為⊙O的直徑，AB是⊙O的切線，過(guò)B的割線BMN交AD的延長(zhǎng)線于C，且BM＝MN＝NC，若AB，求⊙O的半徑。

圖4

【試題答案】

一、選擇題

  1. A                   2. C               3. A               4. B               5. B               6. A

二、填空題

  7. 90                 8. 1                9. 30              10.

三、解答題：

  11. 由切線長(zhǎng)定理得△BDE周長(zhǎng)為4，由△BDE∽△BAC，得DE＝1cm

  12. 證明：連結(jié)AC，則AC⊥CB

    ∵CD⊥AB，∴△ACB∽△CDB，∴∠A＝∠1

    ∵PC為⊙O的切線，∴∠A＝∠2，又∠1＝∠2，

    ∴BC平分∠DCP

  13. 設(shè)BM＝MN＝NC＝xcm

    又∵

    ∴

    又∵OA是過(guò)切點(diǎn)A的半徑，∴OA⊥AB即AC⊥AB

    在Rt△ABC中，由勾股定理，得，

    由割線定理：，又∵

    ∴

    ∴半徑為。