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點亮校園生活

最近同學(xué)們在學(xué)習(xí)圓的過程中遇到這樣一個問題：

如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC交弦AB于點P，且AB＝10cm，PB＝4cm，PC＝2cm，求OC的長。

同學(xué)們利用垂徑定理和勾股定理構(gòu)造了等量關(guān)系，從而求出OC的長。

除了上述方法，我們還有沒有更簡單的解法呢？與圓有關(guān)的線段有哪些特殊關(guān)系呢？讓我們一起來探索：與圓有關(guān)的比例線段！

一、相交弦定理

1、在⊙O中，弦AB、CD相交于點P，則PA、PB、PC、PD之間有什么關(guān)系？

相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。

相交弦定理推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。

二、切割線定理

 2、在⊙O 中，若PA是切線，PCD是割線,則PA、PC、PD有什么等量關(guān)系？

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

三、割線定理

3、在⊙O 中，若PAB、PCD是割線,則PA、PB、PC、PD有什么等量關(guān)系？

割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。

請同學(xué)們運用我們探索出相關(guān)定理，嘗試解決最初的問題：如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC交弦AB于點P，且AB＝10cm，PB＝4cm，PC＝2cm，求OC的長。

解：延長CO交 ⊙O于點D,設(shè)CO為x，則OP=x-2，PD=2x-2，

∵PA.PB=PC.PD

即4×6=2（2x-2）

∴x=7，即OC=7。

思考：若在⊙O中，CD為直徑，CD=10，弦AB、CD相交于點P,你能求出AP.PB的最大值么？歡迎留言分享你的答案和思路。