小學(xué)是義務(wù)教育的一個(gè)階段，加強(qiáng)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)銜接問(wèn)題的研究與實(shí)踐，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。
    首先，從哲學(xué)層面上看，這方面的研究與實(shí)踐，是在學(xué)科教學(xué)中落實(shí)“科學(xué)發(fā)展觀”的具體體現(xiàn)。
    其次，從培養(yǎng)目標(biāo)來(lái)看，它又是實(shí)現(xiàn)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程總體目標(biāo)的需要。
    再次，從課改理念來(lái)看，新一輪課程改革的核心理念是“以學(xué)生發(fā)展為本”，研究和解決中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接問(wèn)題，其宗旨就是為了促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展。

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）的研制、頒布，為我們研究和踐行教學(xué)的銜接，提供了學(xué)科教學(xué)理論方面的支撐。

今年9月，課改首輪實(shí)驗(yàn)即將進(jìn)入小學(xué)階段的最后一學(xué)年，現(xiàn)在提出這一課題開展研究，非常及時(shí)。以研究先行，引領(lǐng)課改實(shí)踐，也是提高數(shù)學(xué)課程改革階段性成效的必要保證措施。

一、換位思考：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)需要什么樣的基礎(chǔ)

問(wèn)卷與座談?wù){(diào)研表明，初中數(shù)學(xué)教師對(duì)小學(xué)畢業(yè)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的期望，總體上排在第一的是“扎實(shí)的數(shù)值計(jì)算基本功”，其次是初步的邏輯思維能力和一定的空間觀念，然后是良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

就邏輯思維能力而言，一部分教師認(rèn)為分析與綜合、抽象與概括能力比較重要。這是邏輯思維能力的心理學(xué)內(nèi)涵中，幾個(gè)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)較為密切的因素。另一部分教師認(rèn)為清晰的概念，根據(jù)概念作出判斷，以及初步的推理能力，比較重要。這實(shí)際上是邏輯思維能力的邏輯學(xué)詮釋。

關(guān)于空間觀念的看法比較一致，希望學(xué)生會(huì)看圖，能想象。

至于對(duì)小學(xué)畢業(yè)數(shù)值計(jì)算基本功和良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的要求，后面再作討論。

二、整體分析：中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的銜接

在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的銜接主要表現(xiàn)為由算術(shù)數(shù)到有理數(shù)、實(shí)數(shù)，由算術(shù)運(yùn)算到代數(shù)運(yùn)算。前者的銜接環(huán)節(jié)是負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)，后者的銜接環(huán)節(jié)是用字母表示數(shù)。即

非負(fù)有理數(shù)→初步認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)→有理數(shù)

數(shù)的運(yùn)算→用字母表示數(shù)→式的運(yùn)算

也可以從類比的視角將中小學(xué)該領(lǐng)域主要內(nèi)容的發(fā)展，概括為由“數(shù)”到“式”。事實(shí)上，教學(xué)中有很多地方可以進(jìn)行類比。如：整數(shù)與整式的類比，整數(shù)分解（分解質(zhì)因數(shù)）與因式分解的類比，整數(shù)運(yùn)算與整式運(yùn)算的類比，還有分?jǐn)?shù)與分式的類比，分?jǐn)?shù)運(yùn)算與分式運(yùn)算的類比等。

此外，在認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)數(shù)量關(guān)系方面，從認(rèn)識(shí)常見數(shù)量關(guān)系開始，經(jīng)過(guò)認(rèn)識(shí)正比例、反比例作為過(guò)渡，進(jìn)入中學(xué)后開始較系統(tǒng)地逐步學(xué)習(xí)函數(shù)。相應(yīng)地，解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，起初全用算術(shù)解法，然后引入簡(jiǎn)單的方程，算術(shù)與方程兩種解法并存，再過(guò)渡到以方程為主的代數(shù)解法。

在空間與圖形領(lǐng)域，中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的銜接，主要體現(xiàn)為由直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何向論證幾何逐漸過(guò)渡。

中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容在數(shù)與形兩大方面的相互銜接，要求小學(xué)的教學(xué)則必須注意“顧后”，當(dāng)然，也要求中學(xué)的教學(xué)必須注意“瞻前”。

三、教學(xué)反思：從“銜接”著眼改進(jìn)教學(xué)

根據(jù)我們的研究與實(shí)踐，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，著眼于“銜接”的主要教學(xué)改進(jìn)措施與教學(xué)策略是：

1.重視數(shù)學(xué)概念

針對(duì)當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀，應(yīng)當(dāng)重視：

（1）選擇有利于揭示概念本質(zhì)的素材

（2）適時(shí)適度地提升概念的抽象水平

（3）處理好概念階段性與發(fā)展性的關(guān)系

2.關(guān)注說(shuō)理、表達(dá)

這方面的教學(xué)策略要點(diǎn)是：

（1）引導(dǎo)學(xué)生有條有理地說(shuō)

（2）啟發(fā)學(xué)生有根有據(jù)地說(shuō)

（3）幫助學(xué)生符合邏輯地說(shuō)

前兩點(diǎn)比較容易理解，一般教師也都能引起重視，第（3）點(diǎn)則常被忽視。以根據(jù)圖形的特征判別圖形為例。

“特征”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的專有名詞，相當(dāng)于數(shù)學(xué)學(xué)科中的“性質(zhì)”。由于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中只講圖形的特征，也就是只給出圖形性質(zhì)定理的初步描述，不講圖形的判定定理，所以，圖形的識(shí)別，只能依據(jù)圖形的特征。我們知道，圖形的性質(zhì)，一般來(lái)說(shuō)只是必要條件，并不一定都是充分的。小學(xué)生不知道這一點(diǎn)，所以常常搞錯(cuò)。

作為教師，應(yīng)該清醒地認(rèn)識(shí)，圖形的特征，有些既是必要的，又是充分的。如“平行四邊形對(duì)邊平行”，反過(guò)來(lái)說(shuō)“對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形”也成立。這樣的特征可以用來(lái)判斷，實(shí)際上是用它的逆命題來(lái)判斷。然而，圖形的特征，有些是不充分的，亦即它們的逆命題不成立。如“長(zhǎng)方形對(duì)邊相等”，反過(guò)來(lái)說(shuō)“對(duì)邊相等的四邊形是長(zhǎng)方形”就錯(cuò)了。這樣的特征，只能用它的逆否命題來(lái)“排除”非長(zhǎng)方形，即“對(duì)邊不相等的四邊形不是長(zhǎng)方形”。

3.滲透數(shù)學(xué)思想方法

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常能夠體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法是：

（1）化歸（轉(zhuǎn)化）

（2）數(shù)形結(jié)合

（3）以簡(jiǎn)馭繁

4.加強(qiáng)計(jì)算基本功訓(xùn)練

初中數(shù)學(xué)教師對(duì)小學(xué)畢業(yè)生數(shù)值計(jì)算基本功的期望，第一是計(jì)算準(zhǔn)確；第二是計(jì)算熟練，希望不加思索或稍加思索就能完成計(jì)算，這樣便于將注意力投向數(shù)學(xué)新知識(shí)、新技能的學(xué)習(xí)和掌握上。至于計(jì)算方法，只要確保準(zhǔn)確，有利于提高速度即可。

看來(lái)，有必要從進(jìn)一步學(xué)習(xí)需要的角度，對(duì)數(shù)值計(jì)算“算法多樣化”加以再認(rèn)識(shí)。其實(shí)，早在上世紀(jì)80年代后期，全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)制訂的《美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》，就對(duì)產(chǎn)生于問(wèn)題情境的計(jì)算需求作了分析：

事實(shí)上，并非所有的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題之后都需要通過(guò)計(jì)算解決，就是需要計(jì)算，也存在多樣化的計(jì)算方式可供選擇。

上圖為我們揭示了算法多樣化的另一種詮釋，即計(jì)算方式、工具的多樣化。我們目前傾注大量精力、反復(fù)探討的只是口算、筆算方法的多樣性。

綜觀整個(gè)義務(wù)教育的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，口算和筆算，必然要從學(xué)習(xí)的主要對(duì)象退居為進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。這時(shí)，數(shù)值計(jì)算充其量是一種工具，只要結(jié)果準(zhǔn)確即可，很少再去顧及算法與過(guò)程。因?yàn)榇藭r(shí)需要集中注意力于數(shù)學(xué)的其他方面。也就是說(shuō)，在學(xué)習(xí)計(jì)算時(shí)，我們可以讓學(xué)生各展所能，想到幾種算法就交流幾種算法。因?yàn)檫@對(duì)學(xué)生的發(fā)展有利。但經(jīng)過(guò)練習(xí)鞏固最終保留下來(lái)的，就應(yīng)當(dāng)是比較實(shí)用的算法，而不再是五花八門的、表現(xiàn)性的算法了。

因此，算法的多樣化、個(gè)性化與優(yōu)化不可偏廢，計(jì)算的學(xué)習(xí)過(guò)程與學(xué)習(xí)結(jié)果都是發(fā)展的需要。

僅就計(jì)算基本功的訓(xùn)練來(lái)講，必須練好：

100以內(nèi)的四則口算；

可歸結(jié)為100以內(nèi)的小數(shù)四則口算；

簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)四則口算；

其他口算，如簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)小數(shù)互化，等。

5.培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

除了泛學(xué)科的學(xué)習(xí)習(xí)慣之外，根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，不容輕視的學(xué)習(xí)習(xí)慣還有，檢驗(yàn)、預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)，以及反思。

這里只討論預(yù)習(xí)。隨著探究學(xué)習(xí)的被提倡，出現(xiàn)了教師不希望學(xué)生預(yù)習(xí)的現(xiàn)象。老師們的疑慮是“學(xué)生先讀了課本，還有什么可探究的?”

在進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，養(yǎng)成預(yù)習(xí)習(xí)慣的積極意義不言而喻。那么，探究與預(yù)習(xí)，究竟應(yīng)該是一種怎樣的關(guān)系呢？

建構(gòu)主義心理學(xué)認(rèn)為，任何學(xué)習(xí)都是學(xué)習(xí)者自主建構(gòu)的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，離不開學(xué)習(xí)主體與文本之間的交互作用。有意義的接受學(xué)習(xí)是自主建構(gòu)，有意義的探究學(xué)習(xí)也是自主建構(gòu)。學(xué)生先讀了課本，知道了結(jié)論，但往往只知其然，不知其所以然。因此，預(yù)習(xí)之后仍然存在探究的空間，只是提高了探究的起點(diǎn)，對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)提出了新的要求，從而促使探究的深化。

一般地，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，既沒(méi)有絕對(duì)的接受學(xué)習(xí)，也沒(méi)有絕對(duì)的探究學(xué)習(xí)，總是“你中有我，我中有你”，兩者是相互交替、有機(jī)結(jié)合的。

再說(shuō)，探究學(xué)習(xí)并不排斥理解與掌握。借用美國(guó)心理學(xué)家奧蘇貝爾的二維學(xué)習(xí)分類來(lái)揭示探究學(xué)習(xí)與接受學(xué)習(xí)的關(guān)系，如下圖。

誠(chéng)如奧蘇貝爾指出的那樣，接受學(xué)習(xí)可以是有意義的學(xué)習(xí)，而發(fā)現(xiàn)（探究）學(xué)習(xí)未必一定是有意義的學(xué)習(xí)。他所作的關(guān)于學(xué)習(xí)的二維分類，對(duì)于正確理解、正確對(duì)待探究性學(xué)習(xí)，處理好探究學(xué)習(xí)與預(yù)習(xí)的關(guān)系，也是很有啟發(fā)的。

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