小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法解讀與備課專輯

理解數(shù)學(xué)  改變課堂

——寫在前面的話

為了幫助廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教師提升專業(yè)素養(yǎng)，進一步提高實施新課程的水平，從而更有效地進行小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，全面提高教學(xué)質(zhì)量，本期特別推出《新課程小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法解讀與備課專輯》。此《專輯》以小學(xué)數(shù)學(xué)四大領(lǐng)域（數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與概率、實踐與綜合應(yīng)用）內(nèi)容為邏輯框架，兼顧了多種版本的教材，從各學(xué)段教學(xué)的重點難點內(nèi)容出發(fā)，通過豐富、精彩的案例對教師的的備課、教學(xué)給予具體的指導(dǎo)和建議，特別是對教師在教學(xué)中普遍存在的問題與困惑進行了澄清和提示。此《專輯》著眼于新課程小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵，闡釋了小學(xué)階段的核心教學(xué)理念、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，并以開闊的視野，對小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容進行了整體解讀，是教師朋友提高教學(xué)能力的良師益友。

此《專輯》的撰寫者均為對數(shù)學(xué)教學(xué)有著深刻理解、教學(xué)積累深厚、具有新課程教學(xué)實力的著名特級教師、優(yōu)秀教師，他們研究的是日常課程教學(xué)中的實踐問題，但又不囿于對日常教學(xué)的一般認識，在文章中，通過闡述和課例分析，提示了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)和規(guī)律，他們以個人的研究專長，展現(xiàn)了自己在相應(yīng)領(lǐng)域中的教學(xué)精華，使《專輯》閃爍著思想與實踐的光輝。

此《專輯》的編輯工作長達半年之久，期間我們曾請一些教學(xué)專家和一線教師試讀，聽取他們的讀后感，因此《專輯》是在反復(fù)研究和修改后面世的。

此《專輯》文章觀點精粹如下：

數(shù)與代數(shù)

理解意義  培養(yǎng)數(shù)感

——“數(shù)的認識”備課解讀與難點透視

認數(shù)教學(xué)以理解數(shù)的意義為重點。讓學(xué)生理解數(shù)的意義，建立正確的數(shù)的概念一般有兩個角度：一是從數(shù)的組成去建構(gòu)；二是聯(lián)系實際來體會。

數(shù)感需要培養(yǎng)。數(shù)感與具有數(shù)學(xué)知識的多少、理解數(shù)學(xué)知識的程度有關(guān)，但更多地表現(xiàn)為應(yīng)用數(shù)與運算的態(tài)度和意識。

如果把抽象的數(shù)學(xué)知識與具體的圖形結(jié)合起來，挖掘和利用概念中的直觀成分，能有效地降低教學(xué)難度。

把握基本矛盾  走向有效教學(xué)

——“數(shù)的運算”備課解讀與難點透視

在口算教學(xué)中，除了讓學(xué)生理解算理、掌握算法，還要注重口算訓(xùn)練的科學(xué)合理性。

基本算法并不是唯一算法，基本算法應(yīng)該是指同一思維層次上的方法群。多數(shù)學(xué)學(xué)生喜歡的方法，教師易教、學(xué)生易學(xué)的方法，對后續(xù)知識的掌握有價值的方法，是最理想的基本算法。

在算理直觀與算法抽象之間應(yīng)該架設(shè)一座橋梁，讓學(xué)生在充分體驗中逐步完成由動作思維向形象思維，再向抽象思維的發(fā)展過程。

把握“轉(zhuǎn)折”：從“算術(shù)”走向“代數(shù)”

——“式與方程”和“正比例、反比例”備課解讀與難點透視

在教學(xué)認識方程時，教師要有“建模”意識。解方程不能演繹為操作、訓(xùn)練解方程技巧的過程，而應(yīng)當成為數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換、深刻理解“相等關(guān)系”的過程。

比的教學(xué)重在理解比的意義，而不只是解決實際問題。

一個凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)領(lǐng)域

——“探索規(guī)律”備課解讀與難點透視

探索規(guī)律作為小學(xué)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)新的部分，也需要系統(tǒng)的眼光，構(gòu)建一個適合學(xué)生學(xué)習(xí)的序列。

從在一個單位時間設(shè)計一個教學(xué)活動的教學(xué)角度看，教材的編寫和課堂教學(xué)的設(shè)計都是選擇的藝術(shù)。教學(xué)目標的多元化也促使教學(xué)時要更注重效率。

空間與圖形

認識圖形世界  發(fā)展空間觀念  提升數(shù)學(xué)思考

——“圖形的認識、測量”備課解讀與難點透視

該告訴的不妨告訴；只是以怎樣的方式“告訴”，卻是一門藝術(shù)。

唯有將觀察活動與想象、推理、表達、思考有機結(jié)合為一體，觀察能力才能真正得以培養(yǎng)。

要善于引導(dǎo)學(xué)生在適當?shù)臅r候跳出具體的、直觀的解題方法，以相對抽象、更為一般的層面上認識算法、理解問題結(jié)構(gòu)。

“圖形與位置”的備課與教學(xué)

準確把握教學(xué)目標，不要偏離“初步認識”的整體定位。

要依據(jù)兒童認知空間方位的特點確立教學(xué)的難點和組織教學(xué)。

要善于借助適當?shù)那榫撑c活動，以提示數(shù)學(xué)知識的實際背景與現(xiàn)實原型。

“圖形與變換”的備課與教學(xué)

什么是變換？什么是平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱？教師先要理解這些基本的概念。

要注意選擇典型的、更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)意義的教學(xué)活動，否則就容易遮蔽數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

要注意引導(dǎo)學(xué)生對觀察對象加以適當?shù)暮喕?、抽象、忽略一些無關(guān)緊要的細節(jié)。

統(tǒng)計與概率

“所有的判斷都是統(tǒng)計學(xué)”

——“統(tǒng)計與概率”教學(xué)備課難點解析

以不確定性為研究對象的統(tǒng)計與概率有其固有的思想方法，它有別與講究因果關(guān)系的邏輯思維。

學(xué)生憑借經(jīng)驗就能判斷“可能”和“一定”，還需要做實驗嗎？鼓勵學(xué)生用真實的數(shù)據(jù)、活動以及直觀的模擬實驗去檢查、修正他們對概率的認識。實驗不僅要做，而且是要多次做。

“動手實踐，主動探索”絕不能簡單地等同于“動手活動”，二者的主要區(qū)別在于前者有著明確的目的性和高度的思維含量。

實踐與綜合應(yīng)用

是一個領(lǐng)域，更是一種數(shù)學(xué)教育價值觀

——“實踐與綜合應(yīng)用”備課解讀與難點透視

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理解意義  培養(yǎng)數(shù)感

——“數(shù)的認識”備課解讀與難點透視

深圳  黃愛華  羅忱紅

    一，內(nèi)容變化。

數(shù)的認識在小學(xué)主要分為認識整數(shù)、認識分數(shù)（正分數(shù)）和認識小數(shù)三大塊。我們知道，《數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）》對數(shù)系作了以下規(guī)定：

                正整數(shù)

         整數(shù)   0

                負整數(shù)

有理數(shù)          正分數(shù)

         分數(shù)

                負分數(shù)

（正整數(shù)和0統(tǒng)稱為自然數(shù)）

與以往相比，這個規(guī)定蘊含的主要變化有：（1）明確規(guī)定了0是自然數(shù)。過去教材把“用來表示物體個數(shù)的1，2，3，4，…的數(shù)，叫做自然數(shù)”。“0和自然數(shù)都是整數(shù)。”而現(xiàn)在則是：正整數(shù)和0統(tǒng)稱自然數(shù)。（2）增加了認識負整數(shù)的教學(xué)內(nèi)容，從而在小學(xué)階段完成了對整數(shù)的認識。

二，整數(shù)的認識。

首先認識自然數(shù)，是因為生活中存在著各種各樣不同的數(shù)量，學(xué)生在入學(xué)前，就有了一定的生活經(jīng)驗。通過數(shù)數(shù)，在認識最基本的數(shù)學(xué)符號1，2，3，…的同時知道自然數(shù)的作用是用來表示物體的個數(shù)。初步體會數(shù)學(xué)的作用和特征，即數(shù)學(xué)可以解決生活中有關(guān)數(shù)及其關(guān)系的問題以及數(shù)學(xué)的抽象性和符號性。

教材處理自然數(shù)的認識大致可以分為四大塊：認識100以內(nèi)的數(shù)、認識比100大的數(shù)、因數(shù)與倍數(shù)、認識負數(shù)。在安排認識100以內(nèi)數(shù)的時候，大多教材都會細分為三個階段：第一階段：認識10以內(nèi)的數(shù)（含10以內(nèi)數(shù)的加減）。第二階段：認識11——20之間的各數(shù)（含20以內(nèi)數(shù)的加減）。第三階段：認識100以內(nèi)的數(shù)（含相應(yīng)的加減和表內(nèi)乘除）。

認識比100大的數(shù)，不同版本有不同的處理。人教版和北師大版教材分兩段完成：（1）認識萬以內(nèi)的數(shù)；（2）認識萬級、億級的數(shù)。蘇教版教材分三段完成：（1）認識千以內(nèi)的數(shù)；（2）認識萬以內(nèi)的數(shù)；（3）認識萬級、億級的數(shù)。

“因數(shù)與倍數(shù)”的教學(xué)既幫助學(xué)生進一步理解和認識整數(shù)，又為分數(shù)的學(xué)習(xí)提供準備，一般另設(shè)單元，放在教材適當?shù)奈恢谩?/span>

“認識負數(shù)”一般另設(shè)一個單元，放在教材的某一冊中。

1，認數(shù)教學(xué)以理解數(shù)的意義為重點。

讓學(xué)生理解數(shù)的意義、建立正確的數(shù)的概念是認數(shù)教學(xué)的任務(wù)。理解數(shù)的意義一般有兩個角度：一是從數(shù)的組成去建構(gòu)，二是聯(lián)系實際來體會。傳統(tǒng)教學(xué)偏重前者，新課程則認為把這兩個角度有機地結(jié)合起來效果更好。而且聯(lián)系實際體會數(shù)的意義，更有利于學(xué)生在現(xiàn)實生活中應(yīng)用自己認識的數(shù)。

理解數(shù)的意義包括：

數(shù)的含義。如：認識整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)和負數(shù)，探索各種數(shù)之間的聯(lián)系，會進行整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化；能感受大數(shù)的意義并進行估計；知道整數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)。

計數(shù)技能。如：能認、讀、寫數(shù)；會用數(shù)表示物體的個數(shù)或事物的順序和位置；認識數(shù)位，了解十進制計數(shù)法，識別數(shù)位上數(shù)字的意義。

數(shù)的相對大小關(guān)系。如：認識“＜，=，＞”的含義，能夠用符號和詞語描述萬以內(nèi)數(shù)的大??；會比較小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)大小。

數(shù)學(xué)交流。如：能運用數(shù)表示日常生活中的一些事物，并進行交流；在熟悉的生活場景中，了解負數(shù)的意義，會用負數(shù)表示生活中一些常見的問題。

數(shù)學(xué)活動。如：能找出10以內(nèi)某個自然數(shù)的小于100的所有倍數(shù)，知道2，3，5的倍數(shù)特征；能找出10以內(nèi)兩個自然數(shù)的公倍數(shù)、最小公倍數(shù)；能找出1——100中某個自然數(shù)的所有因數(shù)；能找出兩個數(shù)的公因數(shù)、最大公因數(shù)。

（1）讓學(xué)生在生動具體的情境中認識數(shù)。

小學(xué)生，尤其是低年級學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和積極性，在一定程度上取決于他們對學(xué)習(xí)素材的感受與興趣?，F(xiàn)實的、有趣的、具有挑戰(zhàn)性的問題情境，容易激活學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)知識，激起學(xué)習(xí)的愿望，調(diào)動學(xué)生解決問題的策略與機智。因此這部分內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)該注意從學(xué)生熟悉的生活情境或童話世界出發(fā)，選擇學(xué)生身邊的、生動有趣的、有利于學(xué)生主動探索的事物，創(chuàng)設(shè)鮮明的問題情境。

案例1：“0的認識”（江蘇  談曉曄  郭慶松）

①（出示0的卡通形象）“0”自我介紹說：“小朋友，我的名字叫零，我神通廣大，無處不在。想想你在哪兒見過我呢？”（讓學(xué)生盡情地說。）

②“0”接著說：“那么你們知道我可以表示哪些意思呢？”（讓學(xué)生說說自己對0的認識。）

③今天這節(jié)課我們來認識0。

提示課題：0的認識。

●創(chuàng)設(shè)情境，探究新知。

①教師講述：“在一個天氣晴朗的星期天，四只小兔約好了到野外去采蘑菇，我們來看看，它們分別采了多少個蘑菇。”（出示下圖）

讓學(xué)生思考每只小兔采的蘑菇可以用哪一個數(shù)來表示。

學(xué)生介紹時，教師對應(yīng)寫出3，2，1，0。教師在寫0時，注意動作慢一點，讓學(xué)生看清楚0是怎么寫的。同時強調(diào)說明，“一個也沒有”用0表示，0與1，2，3一樣也是一個數(shù)。

②先出示下圖，讓學(xué)生想一想，兩幅圖表示怎樣的一件事情，再跟同桌說一說。

提問：“原來的蘿卜數(shù)用什么數(shù)表示？現(xiàn)在呢？”教師強調(diào)一個蘿卜也沒有用0表示。

“你會寫0嗎？”讓學(xué)生先想一想怎樣寫0，再讓學(xué)生嘗試在“日”字格里書寫0。

教師引導(dǎo)全班對幾個同學(xué)的書寫作出評價，同時教師強調(diào)寫0時的起筆、拐彎和收筆，強調(diào)拐彎要圓滑。

學(xué)生獨立完成書本上的描紅后繼續(xù)在田字格里寫出兩個0，教師巡視，注意對個別困難學(xué)生進行指導(dǎo)。

學(xué)生在小組內(nèi)互相對所寫的0進行評價。

③教師：“通過剛才的學(xué)習(xí)，我們知道0這個數(shù)可以表示什么？是不是所有的0都表示一個都沒有呢？請同學(xué)們拿出自己的直尺，看一看直尺開始的地方是幾？”

講述：“在這里0表示起點，用尺子量長度時，從0 開始量起。”

談話：“直尺上的數(shù)是怎樣排列的？請你從左到右依次讀一讀。”

④小結(jié)：“通過剛才的學(xué)習(xí)，你能說說0能表示什么意思嗎？”

這節(jié)課的特色有以下幾點：一是創(chuàng)設(shè)了生動有趣的情境，以情境支撐數(shù)的理解。二是數(shù)形結(jié)合，利用實物、圖片幫助學(xué)生理解數(shù)的意義。在教學(xué)中，通過數(shù)與物一一對應(yīng)的方法，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體物體的多少到抽象出數(shù)的過程，幫助學(xué)生理解數(shù)。三是濃縮數(shù)的發(fā)生發(fā)展過程，突出“0”的教學(xué)。我們知道，在早期的美索不達米亞數(shù)學(xué)時代就有使用60進制計數(shù)法的記錄，然而到了希臘數(shù)學(xué)的黃金時代卻一度失去了它的魅力，直到公元8世紀鳊數(shù)學(xué)家認識到“0”的作用后，才真正獲得位值概念的基礎(chǔ)。從數(shù)字1——9到數(shù)字“0”的產(chǎn)生，這期間經(jīng)歷了若干世紀的發(fā)展歷程，學(xué)生卻要在短短的一課時內(nèi)解決，因此頗費心思。在本節(jié)課中，教師通過讓學(xué)生觀察物體數(shù)量從有到無的過程，分析數(shù)的變化，進而選擇合適的數(shù)值表示……這一系列過程幫助學(xué)生去認識“0”；然后從理解“0”的意義到寫“0”，再到“0”還可以表示其他的意義這些教學(xué)環(huán)節(jié)，為學(xué)生提供了在自主探索、比較、分析、判斷、概括的思維活動中體驗、理解、掌握知識。即使是寫數(shù)字，也要讓學(xué)生動腦筋想一想如何寫，然后再書寫，讓學(xué)生養(yǎng)成有步驟地思考問題、解決問題的習(xí)慣，在獨立思考、合作交流中完成學(xué)習(xí)任務(wù)。

結(jié)合情境認識10以內(nèi)的數(shù)，是認數(shù)的開始，這階段的教學(xué)對建立數(shù)的概念十分重要。有的老師認為，許多學(xué)生入學(xué)前都已經(jīng)會數(shù)數(shù)了，現(xiàn)在只要寫好數(shù)就行了。其實不然，教學(xué)10以內(nèi)數(shù)的認識應(yīng)注意：①物體個數(shù)與數(shù)一一對應(yīng)，不能允許口中按順序數(shù)數(shù)，卻不能與物體個數(shù)對應(yīng)。②物體個數(shù)與數(shù)字一一對應(yīng)，每個不同的數(shù)量與不同的數(shù)學(xué)符號（數(shù)字）對應(yīng)。③注意選擇不同的情境和不同的學(xué)具，幫助學(xué)生理解數(shù)的意義。如3可以表示所有數(shù)量是3個的物體，而與物體的大小、形狀、質(zhì)量等狀態(tài)無關(guān)。④知道數(shù)的作用不但可以用來表示數(shù)量的多少（基數(shù)），還可以表示順序（序數(shù)）和編碼，如3可以表示有3個物體，也可以表示第3個物體。

（2）理解數(shù)的意義要與數(shù)的讀寫和計算緊密結(jié)合起來。

首先，正確理解數(shù)的意義是讀好數(shù)、寫好數(shù)的基礎(chǔ)，可使學(xué)生在讀數(shù)、寫數(shù)時事半功倍。例如：在認識整百數(shù)時，可讓學(xué)生經(jīng)歷以下過程：

①親身經(jīng)歷數(shù)數(shù)的過程，真正感受100有多少?？梢宰寣W(xué)生數(shù)小棒、小方塊或其他各種不同物體，一個一個地數(shù)，十個十個地數(shù)。親身經(jīng)歷數(shù)數(shù)的過程，比起看課件演示或聽老師口頭描述，更有利于學(xué)生形成數(shù)感。

②經(jīng)歷100個一到1個一百的過程，建立計數(shù)單位的概念。親自動手把100根（或10小捆）小棒再捆成1大捆，經(jīng)歷100個一到1個一百的過程，建立以“百”做計數(shù)單位的概念。

③經(jīng)歷1個一百到幾個一百的過程。把各自的一百放到一起，就是幾個一百，通過合作得到幾百。由于有前面數(shù)數(shù)的經(jīng)歷，容易使學(xué)生明白：幾個一百是幾百，幾百就是幾百個1。

④借助計數(shù)器上的算珠與實物的對比，體會一個算珠放在不同的位置上，可以表示1個（1根小棒）、10個（10根小棒或1小捆小棒）、100個（100根小棒或10小捆小棒、1大捆小棒），實現(xiàn)以一當十、當一百的飛躍。

⑤實物、算珠與寫數(shù)、讀數(shù)對比。如真正含有300根小棒的3大捆小棒，與計數(shù)器百位上的3個算珠，和寫法300對照起來，最終完成對幾百的認識。

在活動中，學(xué)生體會到同一個數(shù)字在不同數(shù)位上表示的數(shù)值是不同的，初步滲透位值思想，幫助學(xué)生進一步理解數(shù)，從而達到更好地掌握數(shù)的讀寫的目的。

反之，熟練地讀數(shù)、寫數(shù)，也能更好地幫助學(xué)生理解數(shù)的意義。例如：在認識整萬數(shù)時，教材介紹了我國的計數(shù)習(xí)慣，根據(jù)已有知識，給出各個數(shù)位的名稱和順序，讓學(xué)生聯(lián)系數(shù)的意義，通過類比，推出數(shù)位的名稱及順序，認識新的計數(shù)單位，完善對數(shù)位順序表的認識。

教材編排一般是先認識一個范圍的數(shù)，接著就是學(xué)習(xí)這個范圍內(nèi)的數(shù)的有關(guān)運算。所以認識數(shù)的教學(xué)必須為數(shù)的運算的教學(xué)作鋪墊。讀寫教學(xué)中要注意：①在低年級，對數(shù)的分解和組成，要作為基本的技能來訓(xùn)練；在高年級，要在讀寫中體會數(shù)的分解與組成。②讀寫數(shù)教學(xué)的重點是萬以內(nèi)數(shù)的讀法和寫法。③讀寫數(shù)教學(xué)的難點是多位數(shù)的讀法和寫法，特別是中間有0的數(shù)的讀、寫。突破的方法是先分級，再從高往低逐級讀，實在了讀法，寫法也就不難了。

現(xiàn)行的課程標準實驗教科書大多沒有用文字形式總結(jié)多位數(shù)的讀法和寫法，這并不是不重視讀數(shù)與寫數(shù)的基本方法，而是為教學(xué)留出空間，由教師組成學(xué)生體驗方法、交流方法。學(xué)生總結(jié)的方法是自己真實的體會和經(jīng)驗，是主動獲得知識的表現(xiàn)。

2，了解十進制計數(shù)法對理解數(shù)的意義有重要作用。

整數(shù)的計數(shù)方法是十進制計數(shù)法，學(xué)生了解十進制計數(shù)法對理解整數(shù)的意義有重要的作用。十進制計數(shù)法的主要內(nèi)容有兩部分：一是計數(shù)單位間的關(guān)系——每相鄰兩個計數(shù)單位間的進率是10；二是計數(shù)法的位值原則——哪一個數(shù)位上的數(shù)是幾，就表示有幾個這樣的單位。

（1）認識10是關(guān)鍵。

學(xué)生從認識1，2，3…起，老師就應(yīng)幫助學(xué)生體會，數(shù)字是用來表示生活中各種不同的數(shù)量的，每一個不同的數(shù)量，都用一個不同的符號（數(shù)字）來表示。當數(shù)量從9增加1到了10，按理應(yīng)該用一個新的符號來表示，但這樣一來，如果每一個不同的數(shù)量，都用一個不同的符號（數(shù)字）來表示，就需要有無限多的符號。前人在9的后面用“10”來表示，沒有創(chuàng)造使用新符號，而是例行了一個數(shù)位，十位上的“1”就代表10，這樣就方便多了，一個10和幾個1是十幾，就有了11，12，13…，這就是位值制的基礎(chǔ)。這樣，0到9十個數(shù)字就可以表示出生活中無限多的物體的個數(shù)。這個創(chuàng)造太科學(xué)了，可以讓學(xué)生從中體會到數(shù)學(xué)的抽象性與符號性的好處。所以，教學(xué)中建立好10的概念非常重要。

（2）按單位數(shù)數(shù)。

為幫助學(xué)生了解十進制計數(shù)法，可以通過一個單位、一個單位地數(shù)，逐步建立新的計數(shù)單位。學(xué)生在學(xué)習(xí)萬以內(nèi)數(shù)的時候，就要明確地知道，10個一是一十、10個十是一百、10個百是一千、10個千是一萬，即10個單位就是一個相鄰的較大單位。學(xué)習(xí)比萬大的數(shù)，可以一邊數(shù)一邊接受10個萬是十萬、10個十萬是一百萬、10個百萬是一千萬，從而引出了新的計數(shù)單位十萬、百萬和千萬。一千萬一千萬、一億一億、十億十億…地數(shù)，教學(xué)計數(shù)單位億、十億、百億和千億。在一個單位、一個單位地數(shù)的活動中，學(xué)生充分體會每數(shù)滿10個單位就產(chǎn)生一個新的計數(shù)單位，感受了兩個相鄰計數(shù)單位間的進率都是10。

（3）不斷擴展數(shù)位順序表。

隨著認識的數(shù)越來越大，教師應(yīng)不斷擴充完善數(shù)位順序表。從認識10～20的數(shù)起，就讓學(xué)生了解個位和十位。認識百以內(nèi)數(shù)時，及時補充認識百位。在“認識萬以內(nèi)數(shù)”的時候，第一次出現(xiàn)了數(shù)位順序表。在認識整數(shù)的最后一個單元里，學(xué)生將認識萬級和億級的數(shù)以及比億更大的數(shù)。數(shù)位順序表可以分兩次擴展，先擴展到萬級，把十萬、百萬、千萬這三個計數(shù)單位引上計數(shù)器，了解個、十、百……千萬在計數(shù)時的排列順序。然后讓學(xué)生在數(shù)位順序表里填寫十萬位、百萬位和千萬位，通過填寫知道從個位到千萬位的數(shù)位順序，初步把這些數(shù)位分成個級和萬級。再擴展到億級，表里的內(nèi)容也豐富了，有數(shù)級、數(shù)位、計數(shù)單位。教材把億級及相關(guān)的數(shù)位、計數(shù)單位都留給學(xué)生填寫，讓他們知道數(shù)級、數(shù)位和計數(shù)單位間的對應(yīng)關(guān)系。在整理了數(shù)位順序表后，還應(yīng)通過“每相鄰兩個計數(shù)單位之間有什么關(guān)系”這個問題，概括地講述十進制計數(shù)法。

體會位值原則，有助于學(xué)生了解十進制計數(shù)法，理解數(shù)的意義并掌握讀數(shù)、寫數(shù)的方法。

下面的案例2中，教師通過組織學(xué)生玩抽簽游戲，使學(xué)生結(jié)合現(xiàn)實的素材，自己理解和解釋不同位值上的數(shù)所表示的意義，既有趣，又充滿了數(shù)學(xué)的味道。

案例2：“萬以內(nèi)數(shù)的大小比較”教學(xué)片斷

●第一次抽簽，從個位抽起。

游戲規(guī)則：①每次兩隊各派一個代表抽簽；②第一次抽到的數(shù)字放在個位上，第二次抽到的放在十位上，第三次……③哪一隊抽到的數(shù)字組成的四位數(shù)大，哪一隊就贏；④能確定勝負時，本輪比賽結(jié)束。

師：我們把全班同學(xué)分為兩個隊，一個叫黃河隊，另一個叫長江隊。請兩位同學(xué)代表來抽簽。

（黃河隊抽到3，長江隊抽到8。把3與8的卡片分別貼到個位上。）

師：現(xiàn)在能定勝負嗎？可以玩下一輪了嗎？

生1：雖然8比3大，但還不能確定勝負。

師：為什么？

生2：因為8是代表8個1，3是代表3個1，如果其他數(shù)位上的數(shù)字兩隊都一樣，就可能贏。

師：那我們接著抽吧！

（黃河隊抽到9，長江隊抽到5。把9與5的卡片分別貼到十位上。）

師：目前哪個隊抽到的數(shù)比較大呢？

生1：黃河隊。

師：現(xiàn)在能定勝負嗎？

生1：還要看百位。

師：是不是抽了百位就可以定勝負了呢？

生3：還不行。

生4：要所有的位都抽出來，才知道誰能贏！

學(xué)生抽出結(jié)果后，教師板書：4593＜7358。

師：長江隊贏了！請大家像老師這樣做好記錄。

師：通過剛才的游戲，你有什么話想說？

師：最關(guān)鍵的一抽是哪一抽？為什么？是不是還可以這樣想：一個是4000多，5000不到，另一個已是7000多了，當然7000多的大。（一起把4和7圈上）

師：假如黃河隊的千位上抽的也是7呢？7593和7358怎樣比較？

生：如果千位的數(shù)一樣，就看百位，百位上的數(shù)大這個數(shù)就大。

師：這時該圈哪兩個數(shù)字？（5和3）

師：如果黃河隊的千位上抽的是0呢？該怎么比較？

●第二次抽簽，從千位抽起。

游戲規(guī)則：①每次兩隊各派一個代表抽簽；②第一次抽到的數(shù)字放在千位上，第二次抽到的放在百位上，第三次……③哪一隊抽到的數(shù)字組成的四位數(shù)大，哪一隊就贏；④能確定勝負時，本輪比賽結(jié)束。

（黃河隊抽到8，長江隊抽到5。把8與5的卡片分別貼到千位上。）

師：讓我們接著抽。

生：不用抽了。黃河隊贏了，因為8個千比5個千大。

師：假如長江隊百位上抽到9，黃河隊百位上抽到6，能贏回來嗎？

生1：不能。因為百位就是抽到9，也只代表900，都不夠1000，而剛才黃河隊比長江隊多3000。

師：百位、十位和個位都抽到9呢？

生2：老師，不用再抽了，勝負已經(jīng)知道了。玩下一輪吧！

師：記錄還是要做的，怎么寫？

生：8□□□＞5□□□。

●第三次抽簽，由抽簽者自己決定放在哪一位上。

游戲規(guī)則：①每次兩隊各派一個代表抽簽；②每一次抽到的數(shù)字由抽簽者自己決定放在哪一位上；③哪一隊抽到的數(shù)字組成的四位數(shù)大，哪一隊就贏；④能確定勝負時，本輪比賽結(jié)束。

（黃河隊抽到3，學(xué)生把3放到個位上，長江隊抽到7，學(xué)生把7放到百位上。）

師：請你們說說，為什么這樣放？

生1：我抽到的3太小了，放在個位比較好，讓出高位給大數(shù)字。

生2：我抽的7比較大，本來想放到千位，但要是等一下，我們組還有人手氣比我好，抽到8或9，放在千位更好，所以把7放在百位。

師：要是等一下抽到的數(shù)都比8小，怎么辦？

生2：那也沒辦法，博一博唄！

生3：也不一定輸，還得看第三組抽到什么數(shù)。

……

生：黃河隊贏了，因為9853＞6728。

師：請同學(xué)們小組交流剛才大家提出的問題：①比較的方法；②數(shù)位相同時怎樣比較；③萬以內(nèi)數(shù)的比較和千以內(nèi)數(shù)的比較有什么不同；④比較的時候有沒有簡便的方法。

師：該老師玩一玩了。我抽出四個數(shù)字，幫我記一下：3，9，2，6。用這四個數(shù)字組成一個最大的四位數(shù)是多少？最小的呢？你能組成第二大的或第二小的嗎？

在一些課堂上，老師通常把知識怎樣發(fā)生的、問題怎樣解決以及解決的策略和結(jié)果都通過講解呈現(xiàn)給學(xué)生。具體到比較數(shù)的大小，一般是先教比較數(shù)的大小的方法，再運用這個法則判斷兩個數(shù)的大小。而這節(jié)課另辟蹊徑。教師創(chuàng)設(shè)情境，利用比賽的形式，激起學(xué)生的求知欲望，脫離枯燥的比較數(shù)的大小的方法，以對數(shù)的意義和位值原理的理解支撐數(shù)的相對大小關(guān)系的比較。教師利用任務(wù)驅(qū)動的方式，設(shè)置富有挑戰(zhàn)性的教學(xué)內(nèi)容（哪一隊抽到的數(shù)字組成的四位數(shù)大，哪一隊就贏），讓學(xué)生在解決問題中感受數(shù)的意義，發(fā)展數(shù)感；教師設(shè)計的游戲規(guī)則饒有深意——①第一次從低位抽起；②第二次從高位抽起；③第三次每抽到一個數(shù)字由抽簽者自己決定放在哪一位上。游戲中教師讓學(xué)生充分交流，讓學(xué)生在游戲中自我完善對數(shù)的相對大小的認識，在不斷的比較中優(yōu)化、加深了對數(shù)位、計數(shù)單位、十進制的認識，強化對數(shù)的理解。整節(jié)課中，沒有教學(xué)比較大小的方法，但每抽出一個數(shù)位上的數(shù)，會引起孩子們的關(guān)注和思考，老師抓住這種時機及時讓他們討論（現(xiàn)在能定勝負嗎？可以玩下一輪了嗎？最關(guān)鍵的一抽是哪一抽？為什么？），這樣，數(shù)的大小比較法則背后的道理就由學(xué)生分析出來了。游戲后，老師及時讓學(xué)生總結(jié)比較兩個四位數(shù)的大小的方法，由于有了前面的活動和討論，學(xué)生就有了要說的話：“比較兩個位數(shù)相同的數(shù)的大小，先比較它們的最高位……”這樣抽象的法則，變成了學(xué)生生動的語言。

3，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中形成數(shù)感。

“數(shù)感”主要表現(xiàn)在：理解數(shù)的意義；能用多種方法來表示數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系；能用數(shù)來表達的交流信息；能為解決問題而選擇適當?shù)乃惴?，并對結(jié)果的合理性作出解釋。

“數(shù)感”并不神秘。它是人對數(shù)與運算的一般理解，這種理解使人將數(shù)與現(xiàn)實情境聯(lián)系起來，使人眼中看到的世界有了量化的意味。

“數(shù)感”十分重要。它關(guān)系到人的數(shù)學(xué)意識，即能用數(shù)學(xué)的視角去觀察現(xiàn)實，能以數(shù)學(xué)的思維研究現(xiàn)實，能用數(shù)學(xué)的方法解決實際實際問題。一句話，它關(guān)系到人擁有的數(shù)學(xué)知識是“活”的還是“死”的。

“數(shù)感”需要培養(yǎng)。數(shù)感與具有數(shù)學(xué)知識的多少、與理解數(shù)學(xué)知識的程度有關(guān)，但絕不是正比例關(guān)系。數(shù)感更多地表現(xiàn)為應(yīng)用數(shù)與運算的態(tài)度與意識，突出表現(xiàn)為主動、自覺地應(yīng)用。小學(xué)生的數(shù)感與有沒有得到培養(yǎng)成正相關(guān)。這種培養(yǎng)需要老師的精心設(shè)計。

4，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生的需要和作用。

除了“空間觀念”曾被列入原《大綱》外，數(shù)感、符號感、統(tǒng)計觀念等都是由《標準》首次明確地列為數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容?！稑藴省钒褦?shù)學(xué)思考落實到建立初步的兩“感”、兩“觀念”上，落實到學(xué)生認識并掌握重要的數(shù)學(xué)知識的過程中。

符號感主要表現(xiàn)在：能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號來表現(xiàn)；理解符號所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；會進行符號間的轉(zhuǎn)換；能選擇適當?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表達的問題。

符號感是人對符號的意義、符號的作用的理解以及主動地使用符號的意識和習(xí)慣。這里包含三層意思：一是理解各種數(shù)學(xué)符號的意義，即表示什么意思，在什么時候使用以及怎樣使用，這是發(fā)展符號感的基礎(chǔ)。二是理解數(shù)學(xué)符號的作用與價值：為什么使用符號、有哪些好處，這是發(fā)展符號感的重點。三是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)時，在獨立思考和與人交流時，都能經(jīng)常地、主動地甚至創(chuàng)造性地使用符號，這是具有符號感的表現(xiàn)。

發(fā)展學(xué)生的符號感可以從以下幾方面進行：

（1）結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)容，體會數(shù)學(xué)符號的作用。

常見的數(shù)學(xué)語言有文字語言和符號語言，符號語言是在文字語言的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，它把文字語言的主要內(nèi)容以直觀、形象的方式簡練地表示出來，方便人們進行表達、交流、思考以及解決問題。

教學(xué)常用的數(shù)學(xué)符號，首先要注意結(jié)合具體的情境，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生的需要，體會由于使用符號，才能清楚、簡便地表達這些具體情境中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。數(shù)學(xué)符號為我們進行表達和交流帶來了便捷。其次要在具體的情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號表示，使學(xué)生認識符號、會用符號，體會到符號是語言的一種形式，數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)語言的一部分。

（2）參與創(chuàng)造符號，體會符號發(fā)展過程。

數(shù)學(xué)符號在數(shù)學(xué)教科書里有很多。如表達大小關(guān)系的符號“＜”，“＞”和“=”；表達運算的符號“＋”，“－”，“×”，“÷”；表達運算順序的小括號、中括號；0，1，2，3，…，9是數(shù)字符號，它們能組成無數(shù)個數(shù)；小數(shù)點、分數(shù)線、百分號、千分號等是特定的數(shù)學(xué)符號；字母也可以作為符號，用來表達數(shù)量關(guān)系、計算公式……這些符號是人們公認的，習(xí)慣使用的，屬于數(shù)學(xué)事實。

當學(xué)生在具體的情境中體會到需要符號的時候，先讓學(xué)生經(jīng)歷自己創(chuàng)造數(shù)學(xué)符號的過程，體會到數(shù)學(xué)符號原來并不神秘，是人創(chuàng)造的，在長期的生產(chǎn)生活中不同的符號在使用時逐步發(fā)展統(tǒng)一成現(xiàn)在的符號。這也能幫助學(xué)生形成符號感。

數(shù)學(xué)符號的教學(xué)，教師一般比較多地采取簡單告訴的方法，容易使學(xué)生對數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生神秘感。下面的案例中，老師就很好地幫助學(xué)生消除了這種神秘感。

案例3：“循環(huán)小數(shù)”教學(xué)片斷

師：（指板演題）“3.333…”中不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字是哪一個？（3）在“5.32727……”中依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字是哪幾個？（2，7）在“6.416416……”中不斷地重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字是哪幾個？（4，1，6）

師：我們能不能想一個辦法，讓循環(huán)小數(shù)的寫法簡單一些，比如，去掉省略號，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字只寫一次，也依然能讓人看出這個循環(huán)小數(shù)的意思？

……

生1：我想了一個辦法，3.333…寫作3.(3)；5.32727…寫作5.3(27)；6.416416…寫作6.(416)。

生2：我的辦法是，3.333…寫作3.3；5.32727…寫作5.327；6.416416…寫作6.416。

生3：我的辦法是，3.333…寫作3.（無限）；5.32727…寫作5.3（無限）；6.416416…寫作6.（無限）。

生4：我的辦法是，3.333…寫作3.3（3無限）；5.32727…寫作5.327（27無限）；6.416416…寫作6.416（416無限）。

生5：我的辦法是，3.333…寫作；5.32727…寫作；6.416416…寫作。

師：你認為哪種符號比較好？

生1：不要有漢字比較好。

生2：第五種辦法比較好，簡潔明了。

生3：我認為，只要在循環(huán)節(jié)的第一個數(shù)字和最后一個數(shù)字上點上點就可以了。

教師不急于把簡便寫法告訴學(xué)生，而是讓學(xué)生自己想辦法去創(chuàng)造符號，使學(xué)生在想辦法的過程中體會到數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生的需要，體會到數(shù)學(xué)知識中符號是一種約定俗成，符號不再那么神秘，而當有些學(xué)生的思路接近數(shù)學(xué)上的約定俗成時，他們體會到的是一種學(xué)習(xí)成功的滿足。在此基礎(chǔ)上，組織學(xué)生對所創(chuàng)造的符號進行認論，進一步體會數(shù)學(xué)符號簡捷明了的特點。

（3）鼓勵學(xué)生創(chuàng)造性地使用自己的獨特符號。

數(shù)學(xué)符號中還有一類不容忽視。這類符號只屬于個人，是個人創(chuàng)造并習(xí)慣使用的。這類符號更有利于人開展數(shù)學(xué)思考，發(fā)現(xiàn)規(guī)律和找到解決問題的方法，更便于表達和交流。在過去的數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往忽視了這一類數(shù)學(xué)符號。在使用自己的符號時，最能體會符號的價值，最能感受符號對自己思維的幫助，也最能積累使用符號的經(jīng)驗。這些正是符號感最重要的部分。所以應(yīng)盡量鼓勵學(xué)生創(chuàng)造性地使用自己的獨特符號。

5，幫助學(xué)生認識負數(shù)，實現(xiàn)認識數(shù)的質(zhì)的飛躍。

現(xiàn)實世界中存在著許多具有相反方向的量，或某種量的增大和減小，也可用這種量的某一狀態(tài)為標準，把它們看作是向兩個方向變化的量。要確切地表示這種具有相反方向的量，僅僅運用原有數(shù)（自然數(shù)和分數(shù)）就不夠了，還必須把這兩個互為相反的方向表示出來，于是產(chǎn)生了正數(shù)和負數(shù)。數(shù)從表示數(shù)量的多少到不但表示數(shù)量的多少，還表示相反方向的量，是數(shù)的發(fā)展的一個飛躍，老師要幫助學(xué)生完成這個飛躍。

正數(shù)和負數(shù)的認識，過去安排在中學(xué)有理數(shù)中學(xué)習(xí)，《標準》高速安排在小學(xué)的第二學(xué)段初步認識負數(shù)，有利于完整地建立整數(shù)的概念。教學(xué)時要注意：（1）通過豐富多彩的現(xiàn)實生活情境，幫助學(xué)生了解負數(shù)的意義。（2）借助直觀，理解相反的分界點與“0”的關(guān)系。知道0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。（3）通過分步呈現(xiàn)數(shù)軸（不用告訴數(shù)軸名稱）等辦法，使學(xué)生認識到正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0。

案例4：“認識負數(shù)”教學(xué)片斷（江蘇  繆宇虹）

老師搜集了某天四個城市的最低溫度資料，并用溫度計圖片顯示：香港19攝氏度，請學(xué)生認讀香港的最低氣溫，并介紹如何讀溫度計。此后依次出示上海（3攝氏度）與南京（0攝氏度）的溫度計圖片，請學(xué)生分別認讀，并進行比較。再提問：在數(shù)學(xué)上怎樣區(qū)分零上3攝氏度和零下3攝氏度呢？教師講解：規(guī)定零上3攝氏度記作+3攝氏度或3攝氏度，規(guī)定零下3攝氏度記作-3攝氏度。然后詳細介紹讀法和寫法。最后總結(jié)：“現(xiàn)在，我們可以說那一天上海的氣溫是+3℃，北京的氣溫是-3℃……”

●感知生活中的正數(shù)和負數(shù)。

師：新疆吐魯番是我國海拔最低的地區(qū)，你知道它的海拔高度是多少？

出示海拔高度圖：

教師依次提問：“從圖中你知道了什么？”“以海平面為標準，珠穆朗瑪峰比海平面高，吐魯番盆地比海平面低。”“你能用今天學(xué)的知識表示這兩個地方的海拔高度嗎？”最后小結(jié)：“用正負數(shù)還可以區(qū)分海平面以上的高度和海平面以下的高度。”

此后請學(xué)生做如下練習(xí)：

（1）用正數(shù)或者負數(shù)表示下面各地的海拔高度。（出示海拔高度圖）

中國最大的咸水湖——青海湖的海拔高度高于海平面3139米。

世界最低最咸的湖——死海低于海平面400米。

世界海拔高度最低的國家——馬爾代夫比海平面高1米。

（2）說說下面的海拔高度是高于海平面還是低于海平面？

里海是世界上最大的湖，水面的海拔高度是-28米。

太平洋的馬里亞納海溝是世界上最深的海溝，最深處海拔-11034米。

●描述正數(shù)和負數(shù)的意義。

出示：+3，-3，40，-12，-400，-155，+8848

師：你能將這些數(shù)分分類嗎？

師：像+3，40，+8848這樣的數(shù)都是正數(shù)，像-3，-12，-400，-155這樣的數(shù)都是負數(shù)。

師：從溫度計上觀察，0攝氏度以上的數(shù)都是正數(shù)，0攝氏度以下的數(shù)都是負數(shù)。海平面以上的數(shù)都是正數(shù)，海平面以下的數(shù)都是負數(shù)。

師：0是正數(shù)和負數(shù)的分界線，0既不是正數(shù)也不是負數(shù)。正數(shù)大于0，負數(shù)小于0。

●尋找生活中的正數(shù)和負數(shù)。

師：在生活中，哪里見過負數(shù)？

學(xué)生說出存折、電梯面板等等，老師要求學(xué)生說明這些負數(shù)的意思。

師：（電腦出示有關(guān)圖片）像零攝氏度以上與零攝氏度以下、海平面以上和海平面以下、地面以上和地面以下、存入和取出、比賽的得分和失分、股價的上漲和下跌等等，都是具有相反意義的量，都可以用正負數(shù)來表示。課后請同學(xué)們搜集有關(guān)負數(shù)在生活中應(yīng)用的資料，下節(jié)課來交流。

三、分數(shù)的認識。

在表達平均分的結(jié)果的時候，遇到了分的結(jié)果比1還要小的情況，比如一半、小半、大半等，如何表示這樣的結(jié)果呢？這時候只有自然數(shù)顯然是不夠的，于是引進了分數(shù)。這時候認識的分數(shù)，都是把一個物體平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的。這就是“分數(shù)的初步認識”。后來擴展到不但可以把一個物體平均分，如果把一些物體、一個計量單位等看作一個整體，平均分以后，其中的一份或者幾份，雖然是一個或幾個，可以用自然數(shù)來表示，但也可以理解為是這個整體的幾分之一或幾分之幾。這樣建立的分數(shù)概念就基本完整了，這也就是教材中的“分數(shù)的意義”。

分數(shù)的意義與運算的教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容。分數(shù)的意義對于小學(xué)生來說是個比較抽象的概念，教材一般是采用螺旋上升的安排，分兩次完成對分數(shù)的認識，加上最后認識的百分數(shù)，對分數(shù)的認識分成了三個階段：“分數(shù)的初步認識”一般安排在第一學(xué)段；“分數(shù)的意義”一般安排在第二學(xué)段；在這兩個單元中認識的分數(shù)都是正分數(shù)。在學(xué)習(xí)了分數(shù)的四則運算后，又安排認識百分數(shù)。

1，在與自然數(shù)的聯(lián)系中借助直觀來初步認識分數(shù)。

“分數(shù)的初步認識”，是學(xué)生第一次建立分數(shù)的概念，教材安排一般有以下特點：

（1）單位“1”由一個物體組成；即每次平均分的都是1個物體，如一個餅、一個圓等。

（2）只認識真分數(shù)以及分子分母相等的假分數(shù)。因為分得的結(jié)果，每一份都比1小。取一份或幾份或全部，所得的分數(shù)都小于1或等于1。

（3）分母都比較小。

（4）不概括分數(shù)的定義，只通過直觀描述初步建立分數(shù)概念。

由于是對分數(shù)的初步認識，應(yīng)充分運用形象和直觀手段，讓學(xué)生在具體的情境中操作感悟，如通過操作活動初步理解分數(shù)，能夠?qū)D與分數(shù)相互表示。通常見到的課堂結(jié)構(gòu)一般是：

（1）創(chuàng)設(shè)一個平均分的情境引出分數(shù)；（2）動手操作（如折紙、涂陰影等）感知和初步理解分數(shù)；（3）在練習(xí)（圖與數(shù)相互表示）中鞏固和進一步理解分數(shù)。

也有的教師在教學(xué)過程中，不但做到了讓學(xué)生通過操作活動初步理解分數(shù)，并能夠?qū)D與分數(shù)相互表示，而且還能明確相對大小，感受量變與質(zhì)變的規(guī)律。這類課的課堂結(jié)構(gòu)一般是：

（1）從自然數(shù)過渡到分數(shù)；

（2）理解二分之一的含義；

（3）學(xué)習(xí)單位“1”的大小與相應(yīng)二分之一大小的關(guān)系；

（4）在練習(xí)中不斷加深對分數(shù)的理解，出現(xiàn)分子與分母相等的分數(shù)、零分數(shù)等；

（5）歸納解決問題的思路。

案例5：“分數(shù)的初步認識”教學(xué)片斷（江蘇  張齊華）

●情境——沖突

出示主題情境圖。

引導(dǎo)學(xué)生思考：

（1）把4個蘋果平均分給2人，每人分得幾個？

（2）把2瓶礦泉水平均分給2人，每人分得幾瓶？

結(jié)合學(xué)生的交流，教師揭示：每份分得同樣多，數(shù)學(xué)上叫做“平均分”。

（3）把1個蛋糕平均分給2人，每人分得多少？

結(jié)合學(xué)生的交流，自然引出“一半”。

（4）每人分得的蘋果、礦泉水可以用以前學(xué)過的數(shù)來表示，那“一半”該用怎樣的數(shù)來表示呢？

學(xué)生交流各自的想法，教師結(jié)合學(xué)生的交流，揭示課題：認識分數(shù)。

●活動——建構(gòu)

著力建構(gòu)“二分之一”。

（1）直觀感知，初步認識。

①引導(dǎo)：我們把蛋糕平均分成了幾份？“一半”是其中的幾份？

揭示：“一半”正好是2份中的1份，可以用來表示。

②追問：這一份（指2份中的1份）是蛋糕的，另一份（指2份中的另1份）呢？

小結(jié)：把一個蛋糕平均分成2份，每份都是它的。

（2）動手操作，深化認識。

①出示一張長方形紙，引導(dǎo)學(xué)生思考：怎樣表示它的呢？

②出示操作要求：先折一折，再用斜線把它的涂上顏色。

③學(xué)生動手操作并表示出長方形紙的?？赡艹霈F(xiàn)如下表示方法：

④組織學(xué)生交流各自的表示方法。

⑤深究：折法不同，涂色部分的形狀也不同，為什么涂色部分都是長方形的？

結(jié)合學(xué)生的交流，教師小結(jié)：不管怎樣對折，只要平均分成2份，每份都是長方形的。

（3）觀察判斷，拓展認識。

①出示如下四個圖形。引導(dǎo)學(xué)生思考：下列圖形中，哪些圖形的涂色部分可以用表示？

②學(xué)生交流，并說明判斷理由。

③小結(jié)：只有把一個圖形平均分成2份，每份才是這個圖形的。

類比遷移，認識“幾分之一”。

（1）提問：認識了后，你還想認識幾分之一？

學(xué)生交流，教師板書學(xué)生交流中提到的部分分數(shù)。

（2）引導(dǎo)：能不能也用某個圖形表示出你想認識的幾分之一？

學(xué)生動手折長方形、正方形或圓形紙，并給其中的一份涂上顏色，表示幾分之一。

（3）交流：你表示出了幾分之一？你是怎么表示的？

學(xué)生結(jié)合自己的操作活動，交流自己表示的分數(shù)及其表示方法。

（4）從學(xué)生中收集長方形、正方形和圓三種不同圖形的，貼在黑板上，并引導(dǎo)學(xué)生思考：三種圖形的形狀各不相同，為什么涂色部分都能用表示？

學(xué)生交流，教師引導(dǎo)學(xué)生深入理解：不管什么圖形，只要平均分成4份，其中的每份都是這個圖形的。

……

●應(yīng)用——提升

關(guān)于分數(shù)的聯(lián)想。（教師依次出示如下三幅圖。）

（1）法國國旗讓你聯(lián)想到了幾分之一？你能具體說說哪一部分大約是法國國旗的嗎？

學(xué)生交流并小結(jié)：法國國旗中的每一部分都大約是它的。

（2）畫面中的五角星，讓你聯(lián)想到了幾分之一？

（3）圖中的巧克力，讓你聯(lián)想到了幾分之一？

①學(xué)生一般首先會聯(lián)想到，教師隨機出示如下左圖，引導(dǎo)學(xué)生思考：如果每人分得這塊巧克力的，這塊巧克力能分給幾人？

②引導(dǎo)：同樣一塊巧克力，換一個角度觀察，你還能聯(lián)想到幾分之一？

結(jié)合學(xué)生的交流，教師隨機出示如上中圖和右圖，并引導(dǎo)學(xué)生思考：如果每人分這塊巧克力的或，這塊巧克力又能分給幾人？

③小結(jié)：同樣一塊巧克力，從不同角度觀察，聯(lián)想到的分數(shù)也各不相同。

這節(jié)課，老師創(chuàng)設(shè)了學(xué)生熟悉的郊游、分東西的情境，讓學(xué)生自己在表達分的結(jié)果時體會到：自然數(shù)不能表達這樣一些結(jié)果，于是引出了數(shù)的擴展的需要，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)分數(shù)的內(nèi)在學(xué)習(xí)動機。在分蘋果、礦泉水和蛋糕這一解決問題的過程中，隨著問題發(fā)展所呈現(xiàn)的思維沖突，又自然引導(dǎo)學(xué)生的思維從“整數(shù)”突圍出來，為學(xué)生實現(xiàn)“由整數(shù)向分數(shù)”的自然過渡構(gòu)筑了良好的思維空間。“一半”是學(xué)生的生活經(jīng)驗，而“”則是這一生活經(jīng)驗數(shù)學(xué)化的結(jié)果。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生借助有意義的接受學(xué)習(xí)，在“生活經(jīng)驗”與“數(shù)學(xué)知識”之間架構(gòu)起認知橋梁。這樣處理，體現(xiàn)了教師對學(xué)生生活經(jīng)驗、認知水平和知識建構(gòu)方式的準確把握。

“平均分”是初步認識分數(shù)的基礎(chǔ)，是產(chǎn)生一個分數(shù)的前提。教師運用三個教學(xué)策略，強化學(xué)生對“平均分”的重視。第一次是教師巧妙地引導(dǎo)學(xué)生喚醒原有的“平均分”的經(jīng)驗，為初步認識分數(shù)做好適宜的認知鋪墊；第二次是圍繞不同圖形的展開第二層次的“求同比較”“（圖形不同，為什么涂色部分都是它的），再一次剝離分數(shù)的非本質(zhì)屬性，使學(xué)生進一步感受到單位“1”是什么并不重要，關(guān)鍵是“平均分成了多少份”和“表示這樣的多少份”，這才是分數(shù)最本質(zhì)的內(nèi)涵；第三次是通過“不平均”和“平均”的對比，再次強化對平均的認識。現(xiàn)實生活中許多畫面，都能引發(fā)學(xué)生對分數(shù)的聯(lián)想，法國國旗、五角星及巧克力便是教師對教學(xué)資源進行有效開發(fā)的結(jié)果。尤其是巧克力這一素材的應(yīng)用，可謂恰到好處。一方面，滲透了“觀察角度不同，聯(lián)想到的分數(shù)也不同”的思考策略；另一方面，又蘊含了同樣一塊巧克力，分的份數(shù)越多，每一份少這一反比例的函數(shù)思想；與此同時，“1”里面有n個在這里也得到了無形的鋪墊。

2，分數(shù)的意義教學(xué)要著力解決對單位“1”的深入理解。

“分數(shù)的意義”這個單元，是讓學(xué)生在對分數(shù)有了初步認識的基礎(chǔ)上，進一步系統(tǒng)地認識分數(shù)。其重點是把第一次的初步認識進一步擴展。其特點是：（1）單位“1”由“一個”變成“一些”；（2）給出分數(shù)的定義。

教學(xué)時，主要突出“也可以把一堆物體看作是一個整體來平均分”的思想。如一堆蘋果，一個班級的人數(shù)，等等，如果看成一個整體也平均分的話，分得的結(jié)果，每份也可以就是這個整體的幾分之一。而這個幾分之一，可能含有一個、兩個或若干個，表述成“表示這樣的一份或幾份的數(shù)是這個整體的幾份之幾”。我們可以通過下面的案例感受教師如何精心設(shè)計教學(xué)過程，解決單位“1”可以由多個物體組成這個教學(xué)難點的。

案例6：“分數(shù)的意義”教學(xué)片斷（江蘇  夏青峰）

（1）出示下圖：

師：陰影部分可用什么分數(shù)來表示？

生1：。

生2：

……

師：怎么都認為是呢？

生：我把這個長方形平均分成3份，陰影部分是這樣的1份，就是。

屏幕顯示三等分線：

師：那也就是說，這里的是表示________。

學(xué)生回答，老師完成下面板書：把一個長方形平均分成3份，表示這樣1份的數(shù)。

（2）屏幕出示：

師：陰影部分又可用什么分數(shù)表示：

生：。

師：這次不是了，但已經(jīng)很接近正確答案。

生：。

生：。

……

屏幕顯示八等分的虛線：

師：這次能說出是幾分之幾了吧？！

生：我認為是，因為它把這個圓平均分成8份，陰影部分占了其中的3份。

師：好的。那反過來說，這里的就是表示——

師生共同完成板書：把一個圓平均分成8份，表示這樣3份的數(shù)。

3，屏幕出示：

師：露出的部分是一個整體的，這個整體該是個什么樣子呢？你能大概地把它畫出來嗎？

學(xué)生畫。

師：誰愿意把你的作品與大家分享？

生1：（展示）

師：可以這樣畫嗎？

生：可以。因為這里一共有4個小三角形，露出來的是1個，就是它的。

師：還有不同的畫法嗎？

學(xué)生紛紛展示自己的作品。

師：判斷這些圖形是否符合要求，關(guān)鍵看什么？

生：關(guān)鍵看是否一共畫了4個三角形。

師：怎樣的4個三角形？

生：和露出來（的三角形）一樣的4個三角形。

師：好。看大家是否猜中了。這個整體究竟是什么呢？

屏幕出示下圖1。

   （圖1）                      （圖2）

（學(xué)生表現(xiàn)出詫異的神色。）

生1：老師，不對。這4個三角形不連在一起，不是一個整體。

生2：我覺得是對的。雖然它們不連在一起，但是我們可以把它看成是一個整體。

生3：我覺得它不能看成一個整體，因為一個三角形就是一個整體，而這是4個三角形。

生4：我認為它是一個整體。比如，一個人，我們可以看成是一個整體；一組人，我們與可以看成是一個整體；一個班的人，也可以看成是一個整體。

……

學(xué)生出現(xiàn)了交流與辯論，最后大家基本統(tǒng)一了意見。

屏幕出示上圖2。

在教學(xué)“分數(shù)的初步認識”的時候，我們通常是出示標好等分線的圖形，讓學(xué)生說出陰影部分占整個圖形的幾分之幾。而夏老師出示的圖形卻沒有等分線，他讓學(xué)生致病猜一猜是幾分之幾，這不僅要求學(xué)生運用分數(shù)的本質(zhì)意義去思考問題，而且對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感起著積極的作用。看部分想整體的教學(xué)環(huán)節(jié)，真是設(shè)計精妙，一箭雙雕。它在加深學(xué)生對分數(shù)的理解、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)想象能力的同時，還幫助學(xué)生實現(xiàn)了從把單個物體看成一個整體，到把一些物體看成一個整體的思維跨越，抓住了學(xué)生認知的難點，進行了有效的突破。

3，抓住百分數(shù)的特征進行教學(xué)。

說到百分數(shù)，要分清兩種情況：一種是分母是100的分數(shù)，另一種是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。我們所說的百分數(shù)，一般指后者，它在寫法（和讀法）上與前者也有區(qū)別，用百分號（%）來表示。認識百分數(shù)要注意以下幾點：

（1）分數(shù)既可以表示兩個數(shù)之間的關(guān)系，也可以表示具體的數(shù)量。百分數(shù)只表示兩個數(shù)之間的關(guān)系，并不表示具體的數(shù)量。

（2）由于以上原因，分數(shù)可能有單位，也可能沒有單位，但百分數(shù)不能加上單位，這是它與分數(shù)的不同。

（3）分數(shù)一般用最簡分數(shù)的形式表示，但百分數(shù)為了便于比較，分母固定為100，所以當分子分母不互質(zhì)時，不用約分成最簡分數(shù)的形式，也不用化成帶分數(shù)，而且分子也可能是小數(shù)。

（4）由于百分數(shù)的廣泛應(yīng)用，認識百分數(shù)應(yīng)該聯(lián)系學(xué)生的生活實際，并通過日常生活的運用加深理解概念，體會百分數(shù)的好處。

案例7：“百分數(shù)的意義”教學(xué)片斷

（上課前一天老師布置學(xué)生在生活中找一個實際應(yīng)用的百分數(shù)。）

師：請同學(xué)們拿出在生活中找到的實際應(yīng)用的百分數(shù)，說說是在哪兒找到的。

學(xué)生匯報自己找到的百分數(shù)。

生：我在報紙上找到的。

一件上衣的布料，棉的含量是65%，滌綸的含量是35%。

……

師：聽了同學(xué)們的匯報，有的是在生活當中找到了百分數(shù)，有的是對生活當中一些現(xiàn)象做了一些分析、計算得到的百分數(shù)?？傊f明一個問題，生活之間百分數(shù)的應(yīng)用非常廣泛。我也找了，愿不愿意看看我找的？

師出示：瀘州老窖的酒精度52%，洋河大曲的酒精度38%，王子啤酒的酒精度3.1%。

師：人們屢什么那么喜歡用百分數(shù)呢？用百分數(shù)到底有什么好處？我覺得這個問題很有必要研究。

師：除了這兩個問題外，你們還想弄清楚什么問題?。?/span>

生思考后，自由提出自己想問的問題。

師：我們把這些問題稍微整理一下，寫在黑板上，作為我們今天研究的問題。

師板書：

1，百分數(shù)的意義是什么？

2，用百分數(shù)有什么好處？

3，百分數(shù)和分數(shù)有什么不同？

師：你們看，這幾個問題，是黃老師一個一個地講給你們聽呢，還是你們自己研究？

生：（異口同聲）自己研究。

●探究百分數(shù)的意義。

請同學(xué)研究你找到的生活中的百分數(shù)，并填寫在老師設(shè)計好的表格里面。

《百分數(shù)的意義和讀寫法》

調(diào)查紀要單

學(xué)生獨立研究，教師巡視。

匯報結(jié)果。

師：你是怎么比較得出瀘州老窖的酒精度含量很高，在各種酒中是比較厲害的？

（瀘州老窖的酒精度52%；洋河大曲的酒精度38%；王子啤酒的酒精度3.1%。）

生：從這些百分數(shù)中很容易看出瀘州老窖的酒精度含量很高。因為百分數(shù)的分母都是100，只要比較三個百分數(shù)的分子就可以了。

生：我認為百分數(shù)的最大好處就是分母都是100，便于比較大小。

……

●小組合作學(xué)習(xí)，比較百分數(shù)與分數(shù)的不同。

師：接下來我們就比較一下百分數(shù)和分數(shù)，到底有哪些不同。請小組合作討論，并填寫下面的表格。

學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)，教師巡視。

匯報結(jié)果。

生：我們認為它們的意義不同，百分數(shù)后面不帶單位。

生：寫法不同。百分數(shù)通常不寫成分數(shù)形式，而是采用百分號（%）來表示。

生：讀法不同。百分數(shù)一般讀作“百分之幾”，不讀“一百分之幾”。

生：百分數(shù)可以不是最簡分數(shù)，如52%。分數(shù)就不一樣，有時要約成最簡分數(shù)。

生：百分數(shù)的式子可以是小數(shù)，如3.1%，分數(shù)不同。

……

百分數(shù)是在日常生產(chǎn)和生活中使用頻率很高的知識，學(xué)生雖未正式認識百分數(shù)，但對百分數(shù)卻并非一無所知。因此，老師上課前讓學(xué)生調(diào)查生活中的百分數(shù)的做法是完全可行的，還可以讓學(xué)生從中體會到百分數(shù)在生活中的廣泛應(yīng)用，認識到知識對于個人的意義，對激發(fā)內(nèi)在的學(xué)習(xí)動機起到了很好的作用。更為可貴的是，老師在這節(jié)課中，直接把學(xué)生調(diào)查到的數(shù)據(jù)和問題作為學(xué)習(xí)和研究的對象，學(xué)生是在理解和解釋自己及同學(xué)調(diào)查得來的數(shù)據(jù)的過程中認識百分數(shù)的。

“誰和誰比？”“哪個量是單位‘1’？”“這個分數(shù)表示的意義是什么？”這本來是數(shù)學(xué)老師經(jīng)常在上課時問的問題。很多時候，學(xué)生是在老師的幫助下，通過課本例題認識百分數(shù)的，通常中老師引導(dǎo)全班共同弄清老師作為例題教學(xué)提出的問題，并以提問的方式來問，回答問題的只能是少數(shù)人。不同的是，這節(jié)課，每人一張學(xué)習(xí)表，每人收集到的事例和數(shù)據(jù)不盡相同。這種一人一表、一人一例的方法，與全班共同研究一個例題的方法相比，好就好在“迫使”每一個學(xué)生都必須獨立思考，都必須在不同的情境中回答相同的問題，既需要每個人獨立思考，也可以隨時交流，有困難的學(xué)生，可以隨時向老師或同伴請教。大量的實例有助于學(xué)生在整體上把握百分數(shù)的概念和意義，體會它的作用和好處。

有一種延續(xù)了半個世紀的教學(xué)方式，被有的專家稱為“集體作業(yè)的教學(xué)方式”。這就是先出現(xiàn)一個問題，然后請同學(xué)站起來應(yīng)答，當幾個人解決了，就相信全班都會了。這種教學(xué)方式教師之所以喜歡，是因為它既能活躍課堂氣氛，又便于控制教學(xué)節(jié)奏和進度。蘇霍姆林斯基認為“這種方式容易造成表面的積極性和一切順利的假象。在這樣的方式下，那些中等學(xué)生是否也有獨立思考、獨立解決問題的體驗，我們?nèi)圆坏枚?#8221;基礎(chǔ)既落實到位，又落實到人，體現(xiàn)了課程標準提倡的“關(guān)注每一個孩子的發(fā)展”的理念。

新課程特別強調(diào)問題在學(xué)習(xí)活動中的重要性。一方面強調(diào)通過問題來進行學(xué)習(xí)，把問題看作是學(xué)習(xí)的動力、起點和貫穿學(xué)習(xí)過程的主線；另一方面通過學(xué)習(xí)來生成問題，把學(xué)習(xí)過程看成是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程?？傊瑔栴}意識是學(xué)生進行學(xué)習(xí)特別是發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)、研究性學(xué)習(xí)的心理要素。上述案例，教師引領(lǐng)學(xué)生積極地、科學(xué)地、有創(chuàng)造性地提出問題，并嘗試去解決問題，有助于學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。

四、小數(shù)的認識。

我們現(xiàn)在常用的計數(shù)制是十進制，它的重要特征是位值制，即寫在不同位置上的數(shù)字表示著不同的值。當人們在度量可以分割的量時，常常把作為單位的量細分為它的，，，這樣就得到一種以10的冪為分母的特殊的分數(shù)，這種分數(shù)叫十進分數(shù)。為了應(yīng)用上的方便，人們把十進分數(shù)改用位值制的記法，這就是小數(shù)。在有理數(shù)范圍內(nèi)的小數(shù)實際上是一種特殊的分數(shù)，是分數(shù)的另一種表示形式。當分數(shù)的分母是10，100，1000，…時，可以用一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)等來表示。由十進分數(shù)改寫的小數(shù)都是有限小數(shù)，所以所有的有限小數(shù)都能改寫成分數(shù)。

在小學(xué)里學(xué)生還要遇到無限循環(huán)小數(shù)，它可由不能化成十進分數(shù)的分數(shù)改寫而成，所以無限循環(huán)小數(shù)也都可以改寫成分數(shù)。有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)范圍里的數(shù)。

無限不循環(huán)小數(shù)不能由分數(shù)改寫得到，它是無理數(shù)的一川表現(xiàn)形式。在小學(xué)生認識的數(shù)里，只有圓周率=3.141592…是無理數(shù)，但這并不需要告訴學(xué)生。它只是在計算圓周長的時候才被介紹到。

小數(shù)概念的引入，通常有兩種做法：一是從生活實例出發(fā)；二是從表示度量結(jié)果的需要出發(fā)。這都是小學(xué)生能夠理解的。

通常認識小數(shù)也分為兩個階段：第一階段是小數(shù)的初步認識，特點是：（1）聯(lián)系生活實際中具體的量來認識小數(shù)；（2）以一位小數(shù)為主；（3）不定義小數(shù)，只描述為：像0.5，1.06，16.85，…這樣的數(shù)叫做小數(shù)。第二階段較系統(tǒng)地認識小數(shù)的意義。特點是：（1）給出小數(shù)的定義：分母是10，100，…的分數(shù)，可以用小數(shù)表示；（2）再次擴展數(shù)位順序表，建立十分位、百分位、千分位……的概念；（3）運用小數(shù)的計數(shù)單位分析小數(shù)的組成、小數(shù)的性質(zhì)，比較小數(shù)的大小；（4）把非整萬（億）的大數(shù)改寫成以萬（億）為單位的小數(shù)等。

1，充分運用生活經(jīng)驗，建立小數(shù)概念。

雖然小數(shù)實際上是一種特殊的分數(shù)，是分數(shù)的另一種表示形式。但在生活中最常見到的是小數(shù)，如2.45元，30.8米，2.5噸等具體的數(shù)量，而不是分數(shù)。所以學(xué)生認識小數(shù)，不一定要從分數(shù)的概念入手，可以由測量長度的結(jié)果不是整米數(shù)、物品的價格不是整元數(shù)出發(fā)引入小數(shù)。也可以直接運用生活中各種鮮活的實例，讓學(xué)生感受小數(shù)的現(xiàn)實作用。學(xué)生已有的經(jīng)驗?zāi)軌蛑С謱W(xué)生理解小數(shù)的意義，發(fā)現(xiàn)小數(shù)的性質(zhì)，進行比較大小的活動，從而實現(xiàn)感性認識到理性認識的飛躍。

2，數(shù)形結(jié)合，教學(xué)小數(shù)的知識。

小數(shù)的意義是比較抽象的數(shù)學(xué)概念，小數(shù)的性質(zhì)也是抽象的數(shù)學(xué)規(guī)律，小學(xué)生掌握這些知識是有一定困難的。如果把抽象的數(shù)學(xué)知識與具體的圖形聯(lián)系起來，挖掘和利用概念中的直觀成分，能有效地降低教學(xué)的難度。如用大正方形表示整數(shù)“1”，它的十分之幾、百分之幾分別表示成一位小數(shù)、兩位小數(shù)；依托直尺顯示幾厘米是百分之幾米，是零點零幾米；在數(shù)軸上建立點與相應(yīng)的一位小數(shù)、兩位小數(shù)的聯(lián)系……這些都有助于學(xué)生領(lǐng)會小數(shù)的知識。

3，始終把小數(shù)的意義作為教學(xué)重點。

小數(shù)的意義是進一步學(xué)習(xí)小數(shù)的性質(zhì)、比較小數(shù)大小的規(guī)劃、改寫大數(shù)的方法的基礎(chǔ)。

十進分數(shù)除了可以寫成分母是10，100，1000，…的分數(shù)形式外，還可以寫成另一種形式，即小數(shù)。具體地說，分母是10的分數(shù)還可以寫成一位小數(shù)，一位小數(shù)表示十分之幾；分母是100的分數(shù)還可以寫成兩位小數(shù)，兩位小數(shù)表示百分之幾……教學(xué)小數(shù)的意義，要讓學(xué)生理解并掌握這些關(guān)系，這就是學(xué)生需要建立的小數(shù)概念。

教學(xué)小數(shù)的意義，要不要從一位小數(shù)到兩位小數(shù)，再到三位小數(shù)、四位小數(shù)依次逐一進行？我們認為不一定。因為一位小數(shù)與十分之幾的相互關(guān)系在三年級時已經(jīng)了解，只不過學(xué)生對這種關(guān)系只有初步的感受，并不是很清楚。三位小數(shù)、四位小數(shù)與一位小數(shù)、兩位小數(shù)在意義上有區(qū)別，但本質(zhì)上又是相通的，有一致的方面。一位小數(shù)與兩位小數(shù)的意義和讀寫方法，對三、四位小數(shù)具有可遷移性。因此，教學(xué)時，可以兩位小數(shù)的意義為主要研究對象，向前聯(lián)系一位小數(shù)與整數(shù)，往后發(fā)展到三位小數(shù)和四位小數(shù)，逐漸形成比較完整的小數(shù)概念以及計數(shù)方法。

4，利用知識遷移，建立小數(shù)與分數(shù)的聯(lián)系。

遷移，指一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響。分數(shù)的學(xué)習(xí)對小數(shù)的學(xué)習(xí)特別是小數(shù)意義的理解有直接、顯著的影響；小數(shù)的意義和整數(shù)的大小比較或加減計算對小數(shù)的大小比較或加減計算有直接、顯著的影響。反過來，后者的學(xué)習(xí)對前也有促進作用。遷移，有時在聽教師講解的過程中實現(xiàn)。例如，“5分米和4分米分別是幾分之幾米”是學(xué)生已有的知識，只要通過提問，引起學(xué)生的回憶和思考，就不難解決。然后不妨直接告訴學(xué)生：“米還可以寫成0.5米，米還可以寫成0.4米。”注意：是“還可以寫成”，也就是同一對象的兩種不同形式，使小數(shù)和分數(shù)建立起直接的聯(lián)系，使學(xué)生進一步體會到，十分之幾和一位小數(shù)，百分之幾和兩位小數(shù)……之間的關(guān)系。用單名數(shù)或復(fù)名數(shù)表示具體的數(shù)量、把正方形平均分成10份，100份，1000份，…，表示其中的若干份以及用數(shù)軸表示數(shù)，過去曾經(jīng)是認識整數(shù)、分數(shù)時常用的模型，而現(xiàn)在又拓展到了小數(shù)。比如，把一個正方形平均分成10份，100份，其中的若干份既可以用分數(shù)表示，也可以用小數(shù)表示。到了這時，學(xué)生理解的小數(shù)已經(jīng)不是具體的量了，自然就接受了不帶單位的小數(shù)。這些做法，無論對小數(shù)意義的接受、理解，還是對小數(shù)的模型的建立，培養(yǎng)關(guān)于小數(shù)的數(shù)感，都很有幫助。

5，溝通整數(shù)與小數(shù)計數(shù)與比較方法的關(guān)系。

整數(shù)與小數(shù)的計數(shù)方法是一致的，相鄰兩個計數(shù)單位間的進率都是“十”，小數(shù)的計數(shù)方法是整數(shù)計數(shù)方法的擴展。教學(xué)中要設(shè)計相應(yīng)的教學(xué)環(huán)節(jié)，將整數(shù)的計數(shù)方法遷移到小數(shù)，為學(xué)生在計數(shù)的經(jīng)驗和方法上建立聯(lián)系。不僅如此，還要利用這些活動幫助學(xué)生整理認數(shù)系統(tǒng)，把原來認識的整數(shù)數(shù)位表擴充到小數(shù)，把分單位和小數(shù)的計數(shù)單位聯(lián)系起來，使學(xué)生逐步在頭腦中建構(gòu)起完整的認數(shù)體系。

學(xué)生已經(jīng)掌握的比較整數(shù)大小的知識，有些可以應(yīng)用于比較小數(shù)的大小，也有些需要在認識上做必要的調(diào)整。如，在整數(shù)中，位數(shù)多的數(shù)一定比位數(shù)少的數(shù)大（四位數(shù)大于三位數(shù)）。而在小數(shù)中未必一定如此（三位小數(shù)不一定比兩位小數(shù)大）。因此，從比較整數(shù)的大小到比較小數(shù)的大小，不是單純的認知同化和方法遷移。

綜上所述，理解數(shù)的意義是數(shù)學(xué)課程的重要任務(wù)。小學(xué)階段主要學(xué)習(xí)整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)等數(shù)的概念。這些概念本身是抽象的，只有為學(xué)生提供充分的可以感知的現(xiàn)實背景，才能使學(xué)生真正理解數(shù)的意義，建立數(shù)感。

把握基本矛盾  走向有效教學(xué)

——“數(shù)的運算”備課解讀與難點透視

江蘇  徐  斌

課改前，關(guān)于“數(shù)的運算”教學(xué)議論很多：

——中國學(xué)生的計算能力全球最高，為什么要進行改革？

——計算教學(xué)過于形式化、技巧化，嚴懲脫離學(xué)生生活實際；

——計算教學(xué)的訓(xùn)練單調(diào)枯燥，嚴重挫傷了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情；

——過分強調(diào)精確計算，忽視了估算能力的培養(yǎng)；

……

課改后，關(guān)于“數(shù)的運算”教學(xué)仍然議論很多：

——學(xué)生的計算能力（口算能力和筆算能力）嚴重下降；

——在計算目標（速度和正確率）方面兩極分化現(xiàn)象嚴重；

——計算器的引入干擾了學(xué)生計算能力的形成；

——“算法多樣化”影響了課堂教學(xué)的效率；

……

如何應(yīng)對“數(shù)的運算”教學(xué)改革中的問題？本文試從數(shù)的運算的重要意義與價值、教學(xué)內(nèi)容和目標的變化出發(fā)，針對目前數(shù)的運算教學(xué)中普遍存在的基本矛盾進行分析并提出解決策略。

一，“數(shù)的運算”的重要意義和價值。

“數(shù)的運算”在整個小學(xué)階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容中占有相當大的比重。正確認識計算在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，準確了解計算的內(nèi)在思想和方法，能使我們的計算教學(xué)更加科學(xué)有效。

數(shù)的運算是人們在日常生活中應(yīng)用最多的數(shù)學(xué)知識，因此它歷來是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本內(nèi)容，培養(yǎng)小學(xué)生的計算能力也一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標之一。計算教學(xué)直接關(guān)系著學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本技能的掌握，關(guān)系著學(xué)生觀察、記憶、思維等能力的發(fā)展，關(guān)系著學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣、情感、意志等非智力因素的培養(yǎng)。一定的計算能力是每個公民應(yīng)具備的基本素養(yǎng)。

1，在日常生活中有廣泛的應(yīng)用。

數(shù)的運算是人們認識客觀世界的周圍事物的重要工具之一。從抽象的觀點看，客觀世界的表現(xiàn)形式可以概括為：數(shù)量、空間和時間及相互之間的關(guān)系。從數(shù)學(xué)的角度看，主要表現(xiàn)在數(shù)、量、形三個方面，而計量是離不開數(shù)的運算的，空間形式及其關(guān)系要量化也離不開數(shù)與計算。任何學(xué)科規(guī)律歸結(jié)為公式后基本上都要運用四則混合運算來計算。

2，對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力有重要作用。

學(xué)習(xí)數(shù)的運算的過程就是發(fā)展邏輯思維能力的過程。數(shù)的運算的概念、性質(zhì)、法則、公式之間都有內(nèi)在聯(lián)系，存在著嚴密的邏輯性。每個概念、性質(zhì)、法則、公式的引入與建立，都要經(jīng)過抽象、概括、判斷、推理的思維過程。學(xué)生學(xué)習(xí)、理解和掌握這些概念、性質(zhì)、法則、公式，都要經(jīng)過從具體到抽象、從感性到理性的過程。學(xué)生把這些應(yīng)用到實際中去，還要經(jīng)過由一般到特殊的演繹過程。因此，數(shù)的運算的學(xué)習(xí)有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力。

3，有利于滲透數(shù)學(xué)思想方法的教育。

數(shù)的運算是在人類的生產(chǎn)、生活中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，由低級到高級、從簡單到復(fù)雜。而數(shù)的運算中又有很多相互依存、對立統(tǒng)一的概念和計算方法。如整數(shù)與分數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)，加與減、乘與除、通分與約分，等等。教學(xué)中闡明這些相互依存的概念與概念、計算方法與計算方法之間的關(guān)系，有利于滲透數(shù)學(xué)思想方法的教育。

二，內(nèi)容變化解讀。

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，尤其是計算機和計算器的普及，“數(shù)的運算”中哪些知識是大多數(shù)人最常用和最基礎(chǔ)的，也在發(fā)生著變化。了解和研究這種變化，重新審視相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容和要求，是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教材改革研究的任務(wù)之一。

1，加強的內(nèi)容。

（1）注重計算與日常生活的聯(lián)系。

過去一提到計算，常常和“抽象”、“單調(diào)”、“枯燥”等詞語聯(lián)系在一起，計算教學(xué)陷入了一些誤區(qū)。與傳統(tǒng)的計算相比，《數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）》注重了通過實際情境使學(xué)生體驗、感受和理解運算的意義?！稑藴省分刑岢觯?#8220;經(jīng)歷將一些實際問題抽象為數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)知識和基本技能，并能解決簡單的問題。”“經(jīng)歷運用數(shù)學(xué)符號和圖形描述現(xiàn)實世界的過程，建立初步的數(shù)感和符號感，發(fā)展抽象思維。”

誠然，計算本身具有較強的抽象性，但其反映的內(nèi)容又常常是現(xiàn)實的，與人們的生活、生產(chǎn)有著十分密切的聯(lián)系。新課程注重計算的現(xiàn)實意義，適當讓學(xué)生經(jīng)歷一些現(xiàn)實情境，使學(xué)生通過活動體驗、感受和理解運算的意義、來源、現(xiàn)實背景和本質(zhì)。

（2）加強計算器的運用。

計算器的運用一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)討論的焦點。《標準》中強調(diào)：“數(shù)學(xué)課程的設(shè)計與實施應(yīng)重視運用現(xiàn)代信息技術(shù)，特別要充分考慮計算器、計算機對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，大力開發(fā)并向?qū)W生提供更為豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強有力工具，致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂意并有更多的精力投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去。”

借助計算器不僅有利于學(xué)生進行較復(fù)雜的運算，解決實際問題，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的能力。一方面，學(xué)生可以用它進行大數(shù)目的加、減、乘、除四則運算，節(jié)約時間，提高計算的速度；另一方面，借助計算器可以引導(dǎo)學(xué)生探索一些復(fù)雜的、更為現(xiàn)實的應(yīng)用問題。計算器進入課堂，能逐步把學(xué)生從繁瑣的技巧性計算中解放出來，以學(xué)習(xí)更多有用的數(shù)學(xué)內(nèi)容。

當然，計算器的引入是一種新的改革和試驗，需要我們深入研究，防止簡單化處理，特別是在低年級學(xué)生形成基本計算能力的時候要慎用，在高年級學(xué)生學(xué)習(xí)中也要注意不能養(yǎng)成完全依賴計算器的習(xí)慣。

（3）強化估算的作用。

估算是人們在日常生活、工作和生產(chǎn)中，對一些無法或沒有必要進行精確測量和計算的數(shù)量所進行的近似或粗略估計的一種方法。

如仿，復(fù)雜的計算都可以由計算機或計算器來完成，與此同時，日常生活或工作中估算的作用也越來越突出。如，人們在使用工具進行計算時，由于操作上的失誤會使計算結(jié)果有很大的誤差，這就要求人們具有一定的估算能力，能對計算結(jié)果的合理性進行判斷，并對其合理性作出解釋。另外，估算還可以用于平時的計算，在計算前對結(jié)果進行估算，可以使學(xué)生合理、靈活地用多種方法去思考問題；在計算后對結(jié)果進行估算，可以使學(xué)生獲得一種最有價值的檢驗結(jié)果的方法。所以估算能力是現(xiàn)代化社會生活的需要，是衡量人們計算能力的一個重要標準。重視、加強估算已成為一個世界性的潮流。

《標準》中明確提出要培養(yǎng)估算能力。在第一學(xué)段中強調(diào)“能結(jié)合具體情境進行估算，并解釋估算的過程”，在第二學(xué)段中強調(diào)“在解決具體問題的過程中，能選擇合適的估算方法，養(yǎng)成估算的習(xí)慣。”

2，削弱的內(nèi)容。

（1）刪減珠算的內(nèi)容。

珠算作為我國傳統(tǒng)的計算工具，在歷史上發(fā)揮了重要的作用，同時，珠算教學(xué)的形象性對于學(xué)生智力開發(fā)也有很大的促進作用。但是隨著計算機的不斷普及，人們基本上已經(jīng)不采用珠算計算的方法。因此《標準》中基本不介紹珠算，取而代之的是計算器。

（2）刪減繁瑣的運算步驟。

在整數(shù)運算方面，《標準》明確提出：“進行簡單的整數(shù)四則混合運算（以兩步為主，不超過三步）。”而在這里“簡單”運算的含義具體包括：“加、減法以兩三位為主”，“乘法是三位數(shù)乘兩位數(shù)”，“除法是三位數(shù)除以兩位數(shù)”。在小數(shù)、分數(shù)運算方面，《標準》提出：“會分別進行簡單的小數(shù)、分數(shù)（不含帶分數(shù)）加、減、乘、除運算及混合運算（以兩步為主，不超過三步）。”

（3）刪減運算的數(shù)目要求。

在口算方面，《標準》提出：“會口算百以內(nèi)一位數(shù)乘、除兩位數(shù)。”在筆算方面，提出：“能筆算三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，三位數(shù)除以兩位數(shù)的除法。”

我們知道，同一類計算題目，數(shù)目較大的運算比數(shù)目較小的運算錯誤率有成倍的增長。因此降低計算中的數(shù)目要求，也就降低了學(xué)生的錯誤率，減輕了學(xué)生負擔(dān)。

三，教學(xué)要點。

第一學(xué)段總體要求：“應(yīng)重視口算，加強估算，提倡算法多樣化；應(yīng)減少單純的技能性訓(xùn)練，避免繁雜計算和程式化地敘述‘算理’。”

第二學(xué)段總體要求：“應(yīng)重視口算，加強估算，鼓勵算法多樣化；應(yīng)使學(xué)生經(jīng)歷從實際問題抽象出數(shù)量關(guān)系，并運用所學(xué)知識解決問題的過程；應(yīng)避免繁雜的運算，避免將運算與應(yīng)用割裂開來，避免對應(yīng)用題進行機械的程式化訓(xùn)練。”

在實際的教學(xué)中，要特別注意如下問題的解決。

1，如何建立四則運算概念？

首先，應(yīng)注重在具體情境中體會運算意義。四則運算是小學(xué)數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的知識。一般對加法的定義是：“把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。”減法的定義是：“已知兩個加數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算。”乘法的定義是：“求相同加數(shù)的和的簡便運算。”除法的定義是：“已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。”這些運算定義雖然在表述上已經(jīng)比較直觀，但對于低年級的小學(xué)生來說，仍是十分抽象的。心理學(xué)研究表明，當一個數(shù)的運算與所代表的情境中的物體相聯(lián)系時，才能在學(xué)生的頭腦中獲得真正的意義。情境可以賦予數(shù)以意義，從而使抽象的數(shù)成為具體的物體。因此《標準》提出“結(jié)合具體情境”的要求。

案例1：“加法”（人教版《數(shù)學(xué)》一上）

教材創(chuàng)設(shè)了學(xué)生熟悉的活動情境圖“折紙游戲”：已經(jīng)折了1只紅色的紙鳥，2只藍色的紙鳥。

教學(xué)時，可以組織學(xué)生觀察并述說：紅色紙鳥的只數(shù)可以用“1”表示，藍色紙鳥的只數(shù)可以用“2”表示，一共折的紙鳥只數(shù)可以用“3”表示；要求一共有多少只紙鳥，可以把“1”和“2”合并起來，在數(shù)學(xué)上把這種運算叫做“加法”，寫成“1＋2=3”；然后讓學(xué)生聯(lián)系情境說一說“1”和“2”，“3”和“＋”各表示什么含義；最后再通過小朋友把兩只手里的氣球合并以及讓學(xué)生動手擺學(xué)具等活動，逐步形成對加法意義的認識。

這樣，學(xué)生對加法含義的理解是建立在豐富的感性積累基礎(chǔ)之上，在頭腦中形成鮮明的動態(tài)表象，從而獲得關(guān)于加法運算意義的準確理解。

案例2：“乘法”（蘇教版《數(shù)學(xué)》一下）

教材通過情境圖，首先讓學(xué)生在具體活動中感知“幾個幾”：免有3個2，雞有4個3；再讓學(xué)生用已經(jīng)學(xué)過的連加進行計算：2＋2＋2=6，3＋3＋3＋3=12。

接著通過操作學(xué)具和觀察花片活動，使學(xué)生進一步體驗“幾個幾”：3個5可以寫成5＋5＋5=15，5個3可以寫成3＋3＋3＋3＋3=15。

然后通過計算桌子上電腦的臺數(shù)：2＋2＋2＋2=8，講述——“4個2相加，可以寫成2×4=8或4×2=8”。同時結(jié)合教學(xué)乘號、乘數(shù)、積等名稱和乘法算式的讀法。

這樣的編排和教學(xué)，改變了過去強調(diào)“相同加數(shù)”、“相同加數(shù)的個數(shù)”、“每份數(shù)”、“份數(shù)”、“被乘數(shù)”、“乘數(shù)”等過分形式化的概念以及所謂被乘數(shù)和乘數(shù)不能換位置的人為障礙，強化了乘法的本質(zhì)——同數(shù)相加。學(xué)生認識乘法的過程，成了快樂的學(xué)習(xí)體驗過程，成了理解數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的過程。

2，如何重視口算教學(xué)？

口算也稱心算，是一種不借助計算工具，僅依靠記憶與思維，直接算出結(jié)果的計算方式?？谒慊趥€人對數(shù)的基本性質(zhì)和算術(shù)運算的理解，它不僅僅是筆算的基礎(chǔ)，而且也是運算中獨立的一部分，同時口算在日常生活中有著很高的應(yīng)用價值。口算還是數(shù)感發(fā)展過程中的一個重要部分。

在教學(xué)中具體落實“重視口算”的目標，應(yīng)注重如下兩點：

（1）在數(shù)形結(jié)合中理解口算原理。

數(shù)的運算，其實質(zhì)是對現(xiàn)實生活中物體的個數(shù)進行運算，可以說小學(xué)階段的每個算式都可以在生活中找到實例。在讓學(xué)生理解口算的算理時，除了要與實際情境相結(jié)合，還要逐步過渡為數(shù)學(xué)的語言符號。

案例3：“整百數(shù)加、減整百數(shù)”（北師大版《數(shù)學(xué)》二下）

首先創(chuàng)設(shè)“買電器”的情境：洗衣機500元，電冰箱1200元，電視機800元，電風(fēng)扇160元。提出問題：“爸爸買一臺洗衣機和一臺電視機共花多少錢？”列式：500＋800。接著通過具體的人民幣（都是百元面值）的呈現(xiàn)，引發(fā)學(xué)生思考：5加8等于13，500＋800=1300。

然后通過計數(shù)器演示：5個百加8個百是13個百，也就是1300。最后讓學(xué)生說說自己的思考和計算過程。

這樣，由具體實物（百元人民幣形象地表示計算單位“百”）的操作過渡到半形象半抽象的計數(shù)器（百位上算珠操作）演示，再通過學(xué)生在頭腦中的表象運演，使學(xué)生逐步理解口算的算理（5個百加8個百是13個百，就是1300）。這樣的教學(xué)符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律：直觀動作思維→抽象邏輯思維。

（2）科學(xué)合理地訓(xùn)練，強化基本口算。

在小學(xué)的口算內(nèi)容中，兩個一位數(shù)相加與其相對應(yīng)的減法、表內(nèi)乘法與其相對應(yīng)的除法是四則運算中的基本口算，俗稱“四張九九表”，這“四表”是一切計算的基礎(chǔ)，務(wù)必使學(xué)生達到“脫口而出”的熟練程度。為此，在口算教學(xué)中，除了讓學(xué)生理解算理、掌握算法，還要注重口算訓(xùn)練的科學(xué)合理性。

筆者調(diào)查了當前小學(xué)生基本口算能力的現(xiàn)狀和錯誤分布情況，發(fā)現(xiàn)在低年級階段有些老師過分提高口算的速度要求（每分鐘30道甚至50道），而中高年級則忽視基本口算訓(xùn)練，過分依賴筆算。

要強化基本口算，首先應(yīng)重視基本口算方法的教學(xué)。小學(xué)生口算的方法一般有三個層次：逐一重新計數(shù)→借數(shù)數(shù)加算或減算→按數(shù)群運算。在教學(xué)基本口算時，要重視讓學(xué)生逐步掌握按數(shù)群運算的方法。所謂數(shù)群，是指學(xué)生在計數(shù)時能將最后說出的數(shù)作為所數(shù)過的一群對象的總體來把握。所謂按群計數(shù)，就是計數(shù)時不以某個物體為單位，而是以數(shù)群為單位，如兩個兩個地數(shù)、五個五個地數(shù)，等等。同時我們還應(yīng)該注意，在教學(xué)初期，為了達到算法指導(dǎo)下的正確計算，可不做計算速度的要求。

其次，應(yīng)注重退位減法與表內(nèi)除法的思維教學(xué)。小學(xué)生正處于“具體運算階段”，思維的可逆性剛剛出現(xiàn)，只能進行初步的邏輯推理。而20以內(nèi)退位減法和表內(nèi)除法在很大程度上依賴于學(xué)生的逆向思維。因此教學(xué)口算方法時，要特別強化退位減法和表內(nèi)除法的基本計算思維（算減想加、算除想乘）的教學(xué)，以幫助學(xué)生掌握基本方法，同時有意識地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。

再次，應(yīng)注意口算訓(xùn)練的科學(xué)性。要提供訓(xùn)練材料，選擇訓(xùn)練時機，注意訓(xùn)練方法，考慮訓(xùn)練周期，做到適時、適量、適度。具體說來，一要注意加強課堂練習(xí)，采用講練結(jié)合的方式及時鞏固所學(xué)口算內(nèi)容；二要注意練習(xí)的針對性，抓住難點反復(fù)練習(xí)，不能平均用力；三要注意練習(xí)形式的多樣化，提高學(xué)生口算的積極性，避免簡單的機械重復(fù)。

3，如何加強估算意識？

做算具有重要的應(yīng)用價值，是學(xué)生應(yīng)該具備的重要的計算技能。隨著計算技術(shù)的進一步發(fā)展，大量的計算并不要求進行精確的計算，一個人在日常生活中進行估算的次數(shù)，遠比精確計算的次數(shù)多得多。在小學(xué)階段的計算教學(xué)中，與估算相關(guān)的內(nèi)容很多，如估計商的近似值、試商、估計小數(shù)乘法的結(jié)果、用估算進行驗算，等等。要體現(xiàn)《標準》中“加強估算”的要求，可以著力于以下兩方面：

（1）培養(yǎng)數(shù)感是打好估算的基礎(chǔ)。

數(shù)感是對數(shù)和數(shù)的關(guān)系的一種良好的直覺。在估算中數(shù)感主要表現(xiàn)為能在具體情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系，能為解決問題而選擇適當?shù)乃惴?，能對結(jié)果的合理性作出解釋。估算可以發(fā)展學(xué)生對數(shù)的認識，培養(yǎng)數(shù)感；同時，良好的數(shù)感又是學(xué)生進行估算的必要基礎(chǔ)。除了在數(shù)的認識時要加強數(shù)感的培養(yǎng)，在數(shù)的運算過程中更應(yīng)結(jié)合具體計算培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

（2）掌握估算方法，養(yǎng)成估算習(xí)慣。

有研究表明，小學(xué)生最常使用的估算方法主要有三種：簡約、轉(zhuǎn)換和補償。所謂“簡約”，是指學(xué)生在估算時先把數(shù)簡化成比較簡單的形式。例如估算“495＋310”，把495看作500，把310看作300，這樣估算時只要想比較簡單的形式“500＋300”即可。所謂“轉(zhuǎn)換”，是指學(xué)生在估算時把一種問題轉(zhuǎn)換成另一種問題來思考。例如，估算加法問題“602＋597＋589”，把加法問題轉(zhuǎn)換為乘法問題：“600乘3是1800，所以答案差不多是1800左右。”而所謂“補償”，則是學(xué)生在進行簡約或轉(zhuǎn)換時，進行一些調(diào)整，以補償前面運算中的不足，使估算比較準確。例如，“602＋597＋589”這一問題，學(xué)生在轉(zhuǎn)換時可能會進一步想：“答案大約是1800，而且會稍小于1800，因為我在將每一個數(shù)都簡化成600時，用加的部分比用減的更多一些。”

我們在教學(xué)中也常常發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生在計算時會出現(xiàn)一些莫名其妙的錯誤。對此，我們應(yīng)讓學(xué)生養(yǎng)成及時估算檢查的習(xí)慣，每做完一道題目，可以先估計一下數(shù)值，然后與實際計算所得的答案比較，及時覺察出錯誤并加以更正。

案例4：（北師大版《數(shù)學(xué)》三上）

一個同學(xué)說“我有一串五色珠子，共98顆，每種顏色顆數(shù)都相等。”另一位同學(xué)經(jīng)過估算指出“這是不可能的”。這里，后一位同學(xué)就是用估算進行了判斷。他可能用乘法的思路：5乘一個數(shù)的得數(shù)個位要么是0要么是5，不可能是8。也可能是用除法的思路：98除以5，是有余數(shù)的。

可見，養(yǎng)成了估算的良好習(xí)慣，能解釋結(jié)果的合理性，驗證了計算的精確度。

4，如何體現(xiàn)算法多樣化？

《標準》中指出：“由于學(xué)生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應(yīng)新生學(xué)生的想法，鼓勵學(xué)生獨立思考，提倡計算方法的多樣化。”要體現(xiàn)“算法多樣化”的思想，應(yīng)注重以下三方面：

（1）理解算法多樣化的內(nèi)涵。

所謂算法就是指解決各種數(shù)學(xué)問題的程序與方法，具體包括運算的方法與解題策略。這兩者都由一定的程序與規(guī)則組成，因此運算方法與解題策略有共性也有區(qū)別。前者更偏重于技能，可以通過練習(xí)獲得，并進而成為技巧，而后者雖然也可進行訓(xùn)練，但由于信息復(fù)雜，更多要依靠思維能力。兩者無本質(zhì)區(qū)別，只有層次之差。

（2）找準算法多樣化的前提。

現(xiàn)代學(xué)習(xí)心理學(xué)研究表明，實施算法多樣化也是有前提的，各種不同算法要建立在思維等價的基礎(chǔ)上，否則多樣化就會導(dǎo)致泛化。以學(xué)生思維憑借的依據(jù)看，可以分為基于動作的思維、基于形象的思維、基于符號與邏輯的思維。顯然這三種思維并不在同一層次上，不在同一層次上的算法就應(yīng)該提倡優(yōu)化，而且必須優(yōu)化，只是優(yōu)化的過程應(yīng)是學(xué)生不斷體驗與感悟的過程，而不是教師強制規(guī)定和主觀臆斷的過程，應(yīng)讓學(xué)生逐步找到適合自己的最優(yōu)算法。

（3）把握算法優(yōu)化的標準。

過去我們僅僅用成為認為唯一合理的方法作為基本算法教給學(xué)生?，F(xiàn)在我們認為的基本算法是什么呢？其實，基本算法并不是唯一算法，基本算法應(yīng)該是指同一思維層次上的方法群。以此為基礎(chǔ)，這里提出判定基本算法的三個維度：一是從心理學(xué)維度看，多數(shù)學(xué)生喜歡的方法；二是從教育學(xué)維度看，教師易教、學(xué)生易學(xué)的方法；三是從學(xué)科維度看，對后續(xù)知識的掌握有價值的方法。理想的基本算法是三位一體的。在小學(xué)階段，隨著年級的升高對學(xué)科維度要求會逐漸增強。

四，當前計算教學(xué)存在的基本矛盾和處理策略。

依據(jù)筆者的調(diào)查和分析，課程改革之后計算教學(xué)中出現(xiàn)了一些亟須解決的基本矛盾?，F(xiàn)分別加以分析，以尋求良好的處理策略。

1，情境創(chuàng)設(shè)與復(fù)習(xí)鋪墊。

現(xiàn)在的計算教學(xué)幾乎不見了過去教學(xué)中的“復(fù)習(xí)鋪墊”，取而代之的是“情境創(chuàng)設(shè)”。目前大多計算教學(xué)的一般教學(xué)流程常常是：教師創(chuàng)設(shè)情境、學(xué)生提出問題、獨立思考算法、反饋交流算法、自主選擇算法。為此，許計算課不是從“買東西”開始，就是到“逛商場”結(jié)束。一些教師在上課時首先關(guān)注的不是學(xué)習(xí)內(nèi)容本身，而是如何挖空心思創(chuàng)設(shè)新奇誘人的所謂“情境”?，F(xiàn)在的計算教學(xué)，很難再看到過去常見的復(fù)習(xí)鋪墊了。難道情境創(chuàng)設(shè)和復(fù)習(xí)鋪墊真是水火不相容嗎？情景創(chuàng)設(shè)和復(fù)習(xí)鋪墊之間到底是怎樣的關(guān)系？

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認為，學(xué)習(xí)總是與一定的社會文化背景即“情境”相聯(lián)系的，在實際情境下進行學(xué)習(xí)，有利于意義建構(gòu)。的確良好的問題情境能有效地激活學(xué)生的有關(guān)經(jīng)驗、體驗。《標準》也非常強調(diào)，計算教學(xué)時“應(yīng)通過解決實際問題進一步培養(yǎng)數(shù)感，增進學(xué)生對運算意義的理解”；“應(yīng)使學(xué)生經(jīng)歷從實際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，并運用所學(xué)知識解決問題的過程”；“避免將運算與應(yīng)用割裂開來”。

然而任何事物都不是絕對的。因為數(shù)學(xué)的來源，一是來自數(shù)學(xué)外部現(xiàn)實社會的發(fā)展需要；二是來自數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾，即數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要。數(shù)學(xué)兩方面的來源都可能成為我們展開教學(xué)的背景。例如，“負數(shù)”過去很少出現(xiàn)在小學(xué)，現(xiàn)在《標準》規(guī)定要引進負數(shù)。現(xiàn)實生活中存在著大量的具有相反意義的量，可以作為提示負數(shù)的素材；同時，從數(shù)學(xué)本身出發(fā)，為了解決諸如“2－3”不夠減的矛盾，也需要引進一種新的數(shù)，同樣是小學(xué)生易于感知的問題情境。這里，選擇兩種角度之一導(dǎo)入都是可取的。

問題的另一方面，計算教學(xué)之前還要不要“復(fù)習(xí)鋪墊”呢？其實，新課前的復(fù)習(xí)鋪墊其主要目的，一是為了通過再現(xiàn)或再認等方式激活學(xué)生頭腦中已有的相關(guān)舊知，二是為新知學(xué)習(xí)分散難點。前者，只要有必要，則無可厚非。問題在于后者。常常有人為了使教學(xué)“順暢”，設(shè)計了一些過渡性、暗示性問題，甚至人為設(shè)置了一條狹隘的思維通道，使得學(xué)生無需探究或者只要稍加嘗試結(jié)論就出來了。例如，教學(xué)一年級“9加幾）時，有人精心設(shè)計了如下鋪墊：

其實，計算9加幾時，由于學(xué)生的生活背景和思考角度不同，不同的學(xué)生會想到不同的方法。教師應(yīng)允許學(xué)生采用多樣化的方法，不必把學(xué)生的思維局限在把另一個加數(shù)分成1和幾的這一種所謂“湊十法”。顯然這種把知識嚼爛再喂給學(xué)生的“鋪墊”，對于發(fā)展學(xué)生主動獲取知識的學(xué)習(xí)能力是不利的。

可見，創(chuàng)設(shè)情境和復(fù)習(xí)鋪墊并不是對立的矛盾，并不是所有的計算教學(xué)都必須從生活中找“原型”，選擇怎樣的引入方式取決于計算教學(xué)的內(nèi)容特點和學(xué)生的學(xué)習(xí)起點。

2，算理直觀與算法抽象。

曾有一些教師認為，計算教學(xué)沒有什么道理可講，只要讓學(xué)生掌握計算方法后，反復(fù)“演練”就可以達到正確、熟練的要求了。結(jié)果不少學(xué)生雖然能夠依據(jù)計算法則進行計算，但因為算理不清，知識遷移的范圍就極為有限，無法適應(yīng)計算中千變?nèi)f化的各種具體情況。

算理是指四則計算的理論依據(jù)，它是由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定律等內(nèi)容構(gòu)成的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識。算法是實施四則計算的基本程序和方法，通常是算理指導(dǎo)下的一些人為規(guī)定。算理為算法提供了理論指導(dǎo)，算法使算理具體化。學(xué)生在學(xué)習(xí)計算的過程中明確了算理和算法，就便于靈活、簡便地進行計算，計算的多樣性才有基礎(chǔ)和可能。因此在計算教學(xué)中重視算理和算法是一個十分重要的課題。

現(xiàn)在，在計算教學(xué)中教師們都十分重視讓學(xué)生理解算理，特別是讓學(xué)生在直觀形象中理解算理，讓學(xué)生不僅知道計算方法，而且知道駕馭方法的原理。

案例5：“一位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”（蘇教版《數(shù)學(xué)》二下）

首先出示情境圖——兩只猴子摘桃子，每只猴子都摘了14個。讓學(xué)生提出問題：一共摘了多少個桃？并列出乘法算式2×14。

接著，讓學(xué)生獨立思考，自主探索計算方法。有的學(xué)生看圖知道了得數(shù)，有的學(xué)生用加法算出得數(shù)，有的學(xué)生用小棒擺出了得數(shù)，也有少數(shù)學(xué)生用乘法算出了得數(shù)。

然后，組織學(xué)生交流匯報自己的計算方法。老師在分別肯定與評價的同時，結(jié)合學(xué)生的匯報，板書了這樣的豎式（下左圖）：

同時，老師結(jié)合講解，分別演示教具、學(xué)具操作過程，又結(jié)合圖片進行了數(shù)形對應(yīng)。

最后，老師引導(dǎo)學(xué)生觀察這種初始豎式，通過講解讓學(xué)生掌握簡化豎式的寫法（上右圖），再讓學(xué)生運用簡化豎式進行計算練習(xí)。

上述案例反映了現(xiàn)在計算教學(xué)中的又一對基本矛盾——算理直觀與算法抽象，在教具演示、學(xué)具操作、圖片對照等直觀刺激下，學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合的方式，對算理的理解可謂十分清晰，但是好景不長，當學(xué)生還流連在直觀形象的算理中，馬上就得面對十分抽象的算法，接下去的計算都是直接運用抽象的簡化算法進行計算。

筆者認為，在算理直觀與算法抽象之間應(yīng)該架設(shè)一座橋梁，讓學(xué)生在充分體驗中逐步完成“動作思維→形象思維→抽象思維”的發(fā)展過程。上述案例中，形成了初始豎式后，不必過早抽象出一般算法，而應(yīng)該讓學(xué)生運用這種初始模式再計算幾道題，見如下教學(xué)片斷：

師：（在學(xué)生理解了14×2的初始豎式后）我們一起來用這樣的豎式計算。

（請三名學(xué)生上臺板演，其余學(xué)生自己嘗試解答）

師：我們看黑板上的豎式。這些算式有什么共同的地方？

生1：它們都是兩位數(shù)和一位數(shù)乘。

生2：第一次乘下來都得一位數(shù)，第二次乘下來都得兩位數(shù)。

生3：我發(fā)現(xiàn)第二次乘下來都得整十的數(shù)。

生4：我發(fā)現(xiàn)得數(shù)個位上的數(shù)就是第一次乘得的數(shù)，得數(shù)十位上的數(shù)就是第二次乘得的數(shù)。

師：大家觀察得都很仔細。那么你覺得像這樣寫怎么樣？

生1：比較清楚。

生2：清楚是清楚，不過有點繁，有些好像不要寫兩次的。

師：是啊，要是能簡單些就好了。

生3：其實這個豎式積里十位上的數(shù)字可以移動到個位數(shù)字的左邊來，其余可以擦去的。

師：哦，你的想法挺好的，我們一起來看屏幕——

（屏幕上動畫演示豎式由繁到簡的過程。）

師：老師也來寫一次，你們看——這樣寫比原來是否是簡單多了？                     1 4

                     ×2

                     2 8

生：（齊）是！

師：我們以后列乘法豎式時，可以選擇簡單的方法來寫。

師：剛才寫的三道豎式，你們能不能把它們改成簡單的寫法？

（原來板演的三名學(xué)生上臺，其余學(xué)生也動手將初始寫法改成簡單寫法。）

在以上教學(xué)過程中，教師沒有簡單地讓學(xué)生用所謂簡化豎式計算，而是在實際計算中使學(xué)生進一步理解一位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，同時通過觀察、比較找出這些初始豎式的共同點，進而產(chǎn)生簡化豎式的需要，在此基礎(chǔ)上自然引出簡化模式。

可見，計算教學(xué)既需要讓學(xué)生在直觀在理解算理，也需要讓學(xué)生掌握抽象的法則，更需要讓學(xué)生充分體驗由直觀算理到抽象算法的過渡和演變過程，從而達到對算理的深層理解和對算法的切實把握。

3，算法多樣與算法優(yōu)化。

數(shù)學(xué)課程改革實施的初期，大家對“算法多樣化”感覺很新鮮，計算教學(xué)一改過去“教材選定算法→教師講解算法→學(xué)生模仿算法→練習(xí)強化算法”的機械模式，出現(xiàn)了非?？上驳淖兓?#8220;算法多樣化”已成為計算教學(xué)最明顯的特征。

案例6：“兩位數(shù)減一位數(shù)的退位減法”（北師大版《數(shù)學(xué)》一下）

首先，教師通過問題情境出示例題33-7。然后，經(jīng)過老師的精心“引導(dǎo)”，出現(xiàn)了多樣化的算法，老師花了將近一課時進行了展示（還分別用動畫式課件進行演示）：

（1）33-1-1-1-1-1-1-1=26

（2）33-3=30，30-4=26

（3）33-10=23，23+3=26

（4）13-7=6，20+6=26

（5）10-7=3，23+3=26

（6）33-13=20，20+6=26

（7）33-6=27，27-1=26

……

最后，老師說：“你們喜歡用什么用什么樣的算法就用什么樣的算法。”

課后，筆者與上課老師進行了交流，老師說：“現(xiàn)在計算教學(xué)一定要算法多樣化，算法越多越能體現(xiàn)課改精神。”筆者又詢問了課堂上想出第一種算法的學(xué)生：“你真是這樣算的嗎？”學(xué)生說：“我才不愿意用這種笨方法呢！是老師課前吩咐我這么說的。”筆者連續(xù)問了好幾個學(xué)生，竟沒有一個學(xué)生用這種逐個減1的方法。那么后面的幾種算法（特別是第六、第七種）真是學(xué)生自己想出來的嗎？

上述案例反映了在計算教學(xué)中少數(shù)老師對算法多樣和算法優(yōu)化這對基本矛盾的認識模糊。算法多樣化應(yīng)是一種態(tài)度，是一個過程，算法多樣化不是教學(xué)的最終目的，不能片面追求形式化。老師不必煞費苦心“索要”多樣化的算法，也不必為了體現(xiàn)多樣化刻意引導(dǎo)學(xué)生尋求“低思維層次算法”。即使有時是教材編排的算法，但在實際教學(xué)中沒有出現(xiàn)，即學(xué)生已經(jīng)超越了“低思維層次算法”，教師可以不再出示，沒有必要走回頭路。

4，解決問題與技能形成。

《標準》中不再設(shè)置專門的“應(yīng)用題”領(lǐng)域，而是注重讓學(xué)生“經(jīng)歷將一些實際問題抽象為數(shù)與代數(shù)問題的過程，掌握數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)知識和基本技能，并能解決簡單的問題”。

現(xiàn)在的計算課，如何處理解決實際問題與計算技能形成之間的矛盾？計算本身的問題如何解決？

我們發(fā)現(xiàn)，為了體現(xiàn)計算與應(yīng)用的密切聯(lián)系，在計算教學(xué)時不少教師總是從實際問題引入，在學(xué)生初步理解了算理后，馬上就去解決大量的實際問題。表面上看，學(xué)生的應(yīng)用意識得到了培養(yǎng)，但另一方面我們也發(fā)現(xiàn)，學(xué)生常常是算式列對了，計算錯誤率卻很高。一段時間下來，學(xué)生的計算能力并未達到目標，于是再反過來進行大量的訓(xùn)練，使得不少學(xué)生短時間內(nèi)似乎計算正確率和速度提高不少，但實際上違背了學(xué)生的認知規(guī)律，學(xué)生的計算技能并沒有實質(zhì)性的提高，更為嚴重的是，這種簡單化的處理大大挫傷了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

教育心理學(xué)認為，計算是一種智力操作技能，而知識轉(zhuǎn)化為技能是需要過程的，計算技能的形成具有自身獨特的規(guī)律。學(xué)生計算技能的形成一般要經(jīng)歷四個階段，即：認知階段、分解階段、組合階段、自動化階段。認知階段主要是讓學(xué)生理解算理、明確方法，這比較容易做到，而后面三個階段常常被老師們忽視。一般說來，復(fù)雜的計算技能總是可以分解為單一技能，對分解的單一技能進行訓(xùn)練逐漸組合，才能形成復(fù)合性技能，再通過綜合訓(xùn)練就可以達到自動化階段。

誠然，過去計算教學(xué)中單調(diào)、機械的大量重復(fù)性的過度訓(xùn)練是要不得的，但是，在計算教學(xué)時只注重算理理解和解決實際問題，對計算技能形成的過程如晴蜓點水一帶而過，也是不利于培養(yǎng)學(xué)生的計算能力的。特別需要指出的是，在學(xué)生初步理解算理、明確算法后，不必馬上去解決實際問題，因為這時正是計算技能形成的關(guān)鍵階段，應(yīng)該根據(jù)計算技能形成的規(guī)律，及時組織練習(xí)。具體地說，可以先針對重點、難點進行專項和對比練習(xí)，再根據(jù)學(xué)生的實際體驗，適時縮減中間過程，進行歸類和變式練習(xí)，最后再讓學(xué)生面對實際問題，掌握相應(yīng)的策略。

總之，計算教學(xué)的基本矛盾的平衡對于數(shù)學(xué)課程改革的成敗有重要的影響，數(shù)學(xué)課程改革的深入推進也對計算教學(xué)的基本矛盾起著緩和或激化的作用。計算教學(xué)的基本矛盾也會出現(xiàn)不同的表現(xiàn)形式。在處理這些矛盾時，應(yīng)該從數(shù)學(xué)教育本質(zhì)出發(fā)，在大膽創(chuàng)新的同時，吸取傳統(tǒng)教學(xué)中的優(yōu)勢，以計算教學(xué)基本矛盾的平衡為導(dǎo)向，促進計算教學(xué)的深入改革，為切實提高學(xué)生的計算能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)打好基礎(chǔ)。