中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)4

草根天地 2012-02-29

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九．幾何應(yīng)用題

幾何應(yīng)用問題是近幾年來中考的一大考點，它是把幾何知識與實際問題相結(jié)合的一類題型，一般有這樣幾類：（一）三角形在實際問題中的應(yīng)用；（二）幾何設(shè)計問題；（三）折線運動問題；（四）幾何綜合應(yīng)用問題。解決這類問題時，應(yīng)結(jié)合實際問題的背景，抽象出幾何模型，利用幾何知識加以解決，然后再回到實際問題，進行檢驗、解釋、反思，解題時應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想。

一、三角形在實際問題中的應(yīng)用

例1．某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開辟為生物園，如圖所示，∠ACB=90o，AC=80米，BC=60米。

（1）若入口E在邊AB上，且A，B等距離，求從入口E到出口C的最短路線的長；

（2）若線段CD是一條水渠，且D點在邊AB上，已知水渠的造價為10元/米，則D點在距A點多遠處時，此水渠的造價最低？最低造價是多少？

分析：本題是一道直角三角形的應(yīng)用問題，解決此題首先要弄清等距離，最短路線，最低造價幾個概念。

1．E點在AB上且與AB等距離，說明E點是AB的中點，E點到C點的最短路線即為線段CE。

2．水渠DC越短造價越低，當(dāng)DC垂直于AB時最短，此時造價最低。

本題考察了中點，點與點的距離，點與直線的距離，以及解直角三角形的知識。

解：（1）由題意知，從入口E到出口C的最短路線就是Rt△ABC斜邊上的中線CE。

在Rt△ABC中，AB= （米）。

∴CE= AB= ×100=50（米）。

即從入口E到出口C的最短路線的長為50米。

（3）當(dāng)CD是Rt△ABC斜邊上的高時，CD最短，從而水渠的造價最低。

∵CD?AB=AC?BC，∴CD= 米）。

∴AD= =64（米）。所以，D點在距A點64米的地方，水渠的造價最低，其最低造價為48 10=480元。

例2．一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5米，面積為1.5平方米，要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，甲乙兩位同學(xué)的加工方法分別如圖1，圖2所示，請你用學(xué)過的知識說明哪位同學(xué)的加工方法符合要求。（加工損耗忽略不計，計算結(jié)果中的分數(shù)可保留）。

分析：本題是一道利用相似三角形性質(zhì)來解決的幾何應(yīng)用問題?？上仍O(shè)出正方形邊長，利用對應(yīng)邊成比例，列方程求解邊長，邊長大則面積大。

解：由AB=1.5米，S_△ABC=1.5平方米，得BC=2米.設(shè)甲加工的桌面邊長為ｘ米，∵DE//AB，Rt△CDE∽Rt△CBA ,∴ ，即，解得。如圖，過點B作Rt△ABC斜邊AC的高BH，交DE于P，并AC于H。由AB＝1.5米，BC＝2米，平方米，C＝2.5米，BH＝1.2米。設(shè)乙加工的桌面邊長為y米，∵DE//AC，Rt△BDE∽Rt△BAC，∴ ，即，解得。因為，即，，所以甲同學(xué)的加工方法符合要求。

二、幾何設(shè)計問題

例3.在一服裝廠里有大量形狀為等腰三角形的邊角布料（如圖）?，F(xiàn)找出其中的一種，測得∠C＝90°，AB＝BC＝4，今要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在△ABC的邊上，且扇形與△ABC的其他邊相切。請設(shè)計出所有可能符合題意的方案示意圖，并求出扇形的半徑（只要求畫出圖形，并直接寫出扇形半徑）。

分析：本題考察分類討論，切線的性質(zhì)以及作圖能力。本題的關(guān)鍵是找出圓心和半徑，分類時應(yīng)考慮到所有情況，可以先考慮圓心的位置，在各邊上或在各頂點，然后排除相同情況。

解：可以設(shè)計如下四種方案：

例4.小明家有一塊三角形菜地，要種植面積相等的四種蔬菜，請你設(shè)計四種不同的分割方案（分成三角形或四邊形不限）。

方案一

方案二

方案三

方案四

分析：本題如從三角形面積方面考慮可以把其中一邊四等分，再分別與對角頂點連結(jié)；也可從相似三角形性質(zhì)來考慮。

解：

三、折線運動問題

例5. 如圖，客輪沿折線A—B—C從A出發(fā)經(jīng)B再到C勻速航行，貨輪從AC的中點D出發(fā)沿直線勻速航行，將一批物品送達客輪．兩船同時起航，并同時到達折線A—B—C上的某點E處．已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝90°，客輪速度是貨輪速度的2倍．

(1) 選擇：兩船相遇之處E點在 ( )．

（A）線段AB上（B）線段BC上（C）可以在線段AB上，也可以在線段BC上

(2) 求貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了多少海里？(結(jié)果保留根號)

分析：本題是一道折線運動問題，考察合情推理能力和幾何運算能力，首先要對兩船同時到達的E點作一個合理判斷，E點不可能在AB上，因為當(dāng)E點在AB上時，DE的最短距離為D到AB中點的距離，而此時AB=2DE，當(dāng)E不是中點時，AB<2DE，所以E點不可能在AB上。然后利用代數(shù)方法列方程求解DE

解：（1）B

（2）設(shè)貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了x海里．

過D作DF⊥CB，垂足為F，連結(jié)DE．則DE=x，AB+ BE=2x．

∵在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝200，D是AC中點，

∴DF＝100，EF＝300－2x．

在Rt△DEF中，DE ²＝DF ² +EF ²，

∴x ²＝100 ²+(300－2x)²

解之，得．

∵ ＞200，

∴DE= ．

答：貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了海里．

四、綜合類幾何應(yīng)用

例6 .如圖1，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且∠QPN=30 ，點A處有一所中學(xué)，AP=160米。假設(shè)拖拉機行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪聲的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由；如果受影響，已知拖拉機的速度為18千米/時，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？

P

N

Q

M

A

分析：本題是一道關(guān)于解直角三角形和圓的幾何綜合應(yīng)用問題

要判斷是否受到噪聲的影響，只需求出A點到直線MN

的距離AB，當(dāng)此AB≤100米時就要受到噪聲影響；第二

個問題只需要噪聲影響路段的長度，就能求出受影響的時間。

解：過點A作AB⊥MN，垂足為B

在Rt△ABP中：∠APB=∠QPN=30°

AP=160米

則AB= AP=80米，所以

學(xué)校會受到噪聲影響。

以A為圓心，100米為半徑作☉A,交MN于C、D兩點，在Rt△ABC中：AC=100米，AB=80米

則：BC= （米）

∴CD=2BC=120（米）；∵18千米/小時=5米/秒

∴受影響時間為：120米÷5米/秒=24（秒）

例7. 馬戲團演出場地的外圍圍墻是用若干塊長為5米、寬2.5米的長方形帆布縫制成的，兩塊帆布縫合的公共部分是0.1米，圍成的圍墻高2.5米（如下圖）

2.5米

5米

0.1米

(1) 若先用6塊帆布縫制成寬為2.5米的條形，求其長度；

(2) 若用x塊帆布縫制成密封的圓形圍墻，求圓形場地的周長y與所用帆布的塊數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3) 要使圍成的圓形場地的半徑為10米，至少需要買幾塊這樣的帆布縫制圍墻?

分析：本題的關(guān)鍵是弄清縫制成條形和縫制成密封的圓形后有幾塊公共部分。

解：(1)6塊帆布縫制成條形后，有5塊公共部分，所以6塊縫制后的總長度為6×5－5×0.1＝29.5(米)

(2)x塊帆布縫制成密封的圓形圍墻后有x塊公共部分，設(shè)圓形圍墻的周長為米，則y=5x-0.1x=4.9x，所以y=4.9x

(3) 要圍成半徑為10米的圓形場地，則2π×10＝4.9x

(塊)

要到商店買這樣的帆布13塊。

解幾何應(yīng)用問題要求我們必須具備扎實的幾何基礎(chǔ)知識，較強的閱讀理解能力，以及對數(shù)學(xué)思想方法的掌握，只要我們有針對性地復(fù)習(xí)，就一定能掌握好幾何應(yīng)用問題的解決方法。

練習(xí)：

1、在生活中需測量一些球（如足球、籃球…）的直徑。某校研究性學(xué)習(xí)小組，通過實驗發(fā)現(xiàn)下面的測量方法：如圖8，將球放在水平的桌面上，在陽光的斜射下，得到球的影子AB，設(shè)光線DA、CB分別與球相切于點E、F，則EF即為球的直徑。若測得AB的長為40 cm，∠ABC＝30°。請你計算出球的直徑（精確到1 cm）。